Mètode de Laplace

Donada la matriu $A$ d'ordre $3 \times 3$ següent, identifica i calcula exclusivament el menor complementari de l'element $a_{21}$ (el número $4$) i el seu corresponent adjunt $A_{21}$, prestant especial atenció al signe.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & 0 & 5 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

A la figura es ressalten la fila i la columna a les quals pertany l'element $a_{21}$.

Per entendre el Mètode de Laplace, és vital conèixer la "Regla del tauler d'escacs" per als signes dels adjunts. Completa la matriu de signes per a una matriu d'ordre $4 \times 4$ i determina quin signe correspon a l'adjunt de l'element $a_{32}$.

Calcula el valor del determinant de la matriu $B$ desenvolupant per la segona fila. Explica per què triar aquesta línia facilita el càlcul en comparació amb la primera fila.

$$|B| = \begin{vmatrix} 5 & 7 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$

Dada la matriu $M$, calcula el seu determinant desenvolupant per la segona fila. Posteriorment, comprova si el resultat coincideix desenvolupant per la tercera columna:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 0 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Utilitza aquest exercici per verificar que el valor del determinant és independent de la línia triada per al desenvolupament per adjunts.

Calcula el valor del determinant següent d'ordre 4 utilitzant el desenvolupament pels elements de la fila o columna que consideris més adequada (mètode de Laplace):

$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 0 & -2 \end{vmatrix}$

Un algorisme d'encriptació utilitza matrius quadrades d'ordre 4. Per desencriptar un missatge, és vital que el determinant de la matriu clau $K$ no sigui nul.

Utilitza el mètode de Laplace per calcular el determinant de $K$. Nota: Abans de desenvolupar per adjunts, utilitza les propietats dels determinants per aconseguir que tots els elements de la quarta columna, excepte un, siguin zero.

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

En un estudi de mercat sobre la competència entre quatre plataformes de reproducció en línia (Netflix, HBO, Disney+ i Amazon Prime), s'ha modelitzat la transferència d'usuaris mensuals mitjançant la matriu $M$. Perquè el sistema sigui estable i no col·lapsi financerament, el determinant de la matriu de transició ha de ser nul.

Donada la matriu:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 & 1 \\ x & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 1 & 0 & 1 & x \end{pmatrix}$$

Calcula, utilitzant el Mètode de Laplace, els valors de $x$ que fan que $|M| = 0$. Suggeriment: Tria estratègicament la fila o columna per desenvolupar el determinant o aplica propietats prèvies per generar zeros addicionals.

Sigui la matriu $A$ d'ordre 4 definida per:

$A = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 & 0 \ 1 & x & 1 & 0 \ 0 & 1 & x & 1 \ 0 & 0 & 1 & x \end{pmatrix}$

Determina els valors de $x$ per als quals la matriu $A$ té inversa.