Mètode de Gauss per calcular determinants
A 1r de Batxillerat vas calcular determinants d'ordre 2 i 3 amb la regla de Sarrus. Aquesta regla no existeix per a l'ordre 4 o superior. El mètode de Gauss resol el problema: converteix qualsevol matriu en triangular amb operacions que no canvien el determinant (o que el canvien d'una manera controlada), i aleshores n'hi ha prou de multiplicar la diagonal.
El determinant d'una matriu triangular
Una botiga petita de videojocs porta el control de les seves vendes de dos títols ($V_1$ i $V_2$) durant els dos primers dies de la setmana. Les dades s'organitzen en la…
Una botiga petita de videojocs porta el control de les seves vendes de dos títols ($V_1$ i $V_2$) durant els dos primers dies de la setmana. Les dades s'organitzen en la matriu següent $A$:
$A = \begin{pmatrix} 12 & 5 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$
Calcula el determinant de la matriu $A$ per comprovar si els vectors de vendes són linealment independents.
Dada la matriu següent $M$, realitza l'operació elemental entre files $F_2 = F_2 - 2F_1$ per aconseguir un zero en l'element $a_{21}$ i escriu la nova matriu resultant.…
Dada la matriu següent $M$, realitza l'operació elemental entre files $F_2 = F_2 - 2F_1$ per aconseguir un zero en l'element $a_{21}$ i escriu la nova matriu resultant. Varia el valor del determinant en realitzar aquesta operació?
$M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$
Què li passa al determinant amb cada operació
Una empresa de logística organitza les seves rutes mitjançant una matriu de costos $M$. Perquè el sistema sigui eficient, el determinant d'aquesta matriu no ha de ser…
Una empresa de logística organitza les seves rutes mitjançant una matriu de costos $M$. Perquè el sistema sigui eficient, el determinant d'aquesta matriu no ha de ser nul. Aplica transformacions de fila (Gauss) per determinar si la matriu següent és regular (el seu determinant és diferent de zero):
$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 7 & 11 \end{pmatrix} $$Quina relació de dependència lineal observes entre les seves files després de realitzar el primer pas del mètode de Gauss?
Triangular pas a pas
Calcula el valor del determinant següent d'ordre 4 transformant-lo prèviament en una matriu triangular superior mitjançant el mètode de Gauss (fent zeros per sota de la…
Calcula el valor del determinant següent d'ordre 4 transformant-lo prèviament en una matriu triangular superior mitjançant el mètode de Gauss (fent zeros per sota de la diagonal principal):
$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 4 \\ -1 & -2 & 3 & -2 \\ 3 & 6 & -3 & 10 \end{vmatrix} $$Es considera la matriu d'ordre 4 dependent d'un paràmetre real $k$:…
Es considera la matriu d'ordre 4 dependent d'un paràmetre real $k$:
$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k^2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+k^3 \end{pmatrix}$
Utilitza el mètode de Gauss (triangulació) per transformar la matriu i calcula el seu determinant en funció de $k$. Posteriorment, discuteix per a quins valors de $k$ la matriu no admet inversa.
Gauss amb paràmetres
Quan la matriu depèn d'una lletra, triangular per Gauss sol ser més còmode que Sarrus o Laplace: els zeros apareixen en funció del paràmetre i el determinant queda factoritzat de manera natural, cosa que facilita discutir per a quins valors s'anul·la.
Estudia el rang de la matriu següent $A$ segons els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$, emprant el mètode de Gauss:…
Estudia el rang de la matriu següent $A$ segons els valors dels paràmetres reals $a$ i $b$, emprant el mètode de Gauss:
$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & a & a & 2 \end{pmatrix}$
Descriu detalladament totes les situacions possibles per al rang de la matriu en funció de les relacions entre $a$ i $b$.