Rang d'una matriu
Una empresa d'estudis de mercat recull les respostes a diverses preguntes d'una enquesta en una matriu, una fila per pregunta. Pot passar que una de les preguntes sigui, en el fons, una combinació de les altres: no aporta informació nova. Saber quantes files (o columnes) d'una matriu són realment «independents» és exactament el que mesura el rang.
Què mesura el rang d'una matriu
Si una fila és múltiple d'una altra, o és la suma de dues altres, no afegeix una direcció nova: «sobra» a efectes de rang, tot i que continuï ocupant una fila de la matriu.
En una campanya de màrqueting digital, una empresa analitza l'impacte de dos anuncis a les xarxes socials. Els resultats s'organitzen en una matriu…
En una campanya de màrqueting digital, una empresa analitza l'impacte de dos anuncis a les xarxes socials. Els resultats s'organitzen en una matriu $A = \begin{pmatrix} 120 & 45 \\ 80 & 30 \end{pmatrix}$, on la primera columna representa els «clics» i la segona les «compres» fetes. La primera fila correspon a l'anunci 1 i la segona a l'anunci 2. La figura representa cada anunci com el vector (clics, compres) des de l'origen.
- a) Calcula el determinant de la matriu $A$.
- b) Explica si hi ha alguna relació de proporcionalitat entre les dades dels dos anuncis i com es relaciona amb el valor del determinant i amb la figura.
El rang mitjançant menors
Un estudiant està dissenyant un algorisme per a un videojoc i necessita que una matriu de transformació sigui "singular" (és a dir, que el seu determinant sigui igual a…
Un estudiant està dissenyant un algorisme per a un videojoc i necessita que una matriu de transformació sigui "singular" (és a dir, que el seu determinant sigui igual a zero). Si la matriu és $M = \begin{pmatrix} x & 4 \\ 9 & x \end{pmatrix}$, troba els possibles valors reals de $x$ perquè es compleixi la condició $|M| = 0$.
Calcula el valor del següent determinant d'ordre 3 utilitzant la regla de Sarrus: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$ Indica pas a pas…
Calcula el valor del següent determinant d'ordre 3 utilitzant la regla de Sarrus:
$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$Indica pas a pas els productes de les diagonals principals i les secundàries.
El mètode dels menors orlats
Es consideren les matrius $A$ i $B$ tals que: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ a) Calcula…
Es consideren les matrius $A$ i $B$ tals que:
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$- a) Calcula $|A|$ i $|B|$.
- b) Calcula $|A \cdot B|$ sense fer la multiplicació de les matrius, justificant quina propietat utilitzes.
- c) És la matriu $A$ invertible? I la matriu $B$? Justifica la teva resposta basant-te en el valor dels seus determinants.
Una empresa de ciberseguretat utilitza matrius per validar claus d'accés. Perquè una clau sigui segura, el rang de la seva matriu associada ha de ser màxim. Considera la…
Una empresa de ciberseguretat utilitza matrius per validar claus d'accés. Perquè una clau sigui segura, el rang de la seva matriu associada ha de ser màxim. Considera la matriu de la clau $K$:
$$K = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ k & 1 & -1 \\ -1 & k & 1 \end{pmatrix}$$-
Calcula els valors de $k$ per als quals la clau no és segura (és a dir, el rang de $K$ és menor que 3).
-
Si $k = -1$, estudia la dependència lineal de les files de la matriu. Quin és el rang en aquest cas?
-
Per als valors de $k$ que fan que $|K| = 0$, indica si existeix algun menor d'ordre 2 que sigui diferent de zero.
Rang segons un paràmetre
Quan la matriu depèn d'una lletra $k$, el rang pot canviar segons el valor que prengui. L'estratègia és sempre la mateixa: calcular el determinant més gran possible en funció de $k$ (per Laplace o per Gauss), factoritzar-lo i estudiar què passa en les seves arrels.
Estudia el rang de la matriu següent $M$ en funció del valor del paràmetre real $k$: $$M = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Indica per…
Estudia el rang de la matriu següent $M$ en funció del valor del paràmetre real $k$:
$$M = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$Indica per a quins valors de $k$ el rang és màxim i què passa en els casos crítics.
Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$, calcula $|A|$ i, utilitzant les propietats dels determinants, troba $|A^T|$,…
Donada la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$, calcula $|A|$ i, utilitzant les propietats dels determinants, troba $|A^T|$, $|A^{-1}|$ i $|A^2|$.
Rang, determinant i producte de matrius
Sabent que el determinant d'una matriu quadrada $A$ d'ordre 3 és $|A| = -2$, utilitza les propietats dels determinants per calcular raonadament el valor de: a) $|A^t|$…
Sabent que el determinant d'una matriu quadrada $A$ d'ordre 3 és $|A| = -2$, utilitza les propietats dels determinants per calcular raonadament el valor de:
- a) $|A^t|$ (determinant de la transposada).
- b) $|A^{-1}|$ (determinant de la inversa).
- c) $|3A|$.
- d) El determinant de la matriu resultant d'intercanviar les dues primeres columnes de $A$ i multiplicar la tercera fila per $-5$.
Torna al principi: en les dades de l'enquesta representades a la figura, la segona pregunta és proporcional a la primera ($F_2 = \frac{2}{3} \cdot F_1$), per la qual cosa només hi ha $2$ preguntes amb respostes independents i el rang de la matriu és $2$.