Monotonia d'una funció
Una gràfica et diu d'un cop d'ull si una funció puja o baixa. Però quan no tens el dibuix —només la fórmula d'un benefici, un cost o una audiència— necessites una altra manera de saber-ho. La derivada te la dona: el seu signe, en cada punt, diu si la funció creix o decreix just allà.
El signe de $f'$ decideix la monotonia
Donada la funció $f(x) = 2x^3 - 6x$, volem saber com es comporta a prop de l'origen. Calcula el pendent de la recta tangent (la derivada) en els punts $x = -2$, $x = 0$…
Donada la funció $f(x) = 2x^3 - 6x$, volem saber com es comporta a prop de l'origen. Calcula el pendent de la recta tangent (la derivada) en els punts $x = -2$, $x = 0$ i $x = 2$. Basant-te únicament en el signe d'aquests resultats, indica si la funció és creixent o decreixent en cadascun d'aquests punts.
Sabem que una funció $g(x)$ té com a derivada $g'(x) = x - 4$. Sense necessitat de conèixer l'expressió de $g(x)$, determina per a quins valors de $x$ la funció original…
Sabem que una funció $g(x)$ té com a derivada $g'(x) = x - 4$. Sense necessitat de conèixer l'expressió de $g(x)$, determina per a quins valors de $x$ la funció original $g(x)$ és creixent i per a quins és decreixent. Justifica la teva resposta utilitzant el concepte de derivada.
Allò lineal sempre creix o sempre decreix
Comprova si la funció lineal $f(x) = 5x - 3$ és sempre creixent en tot el seu domini. Per a fer-ho, calcula la seva derivada i explica quina relació té el resultat…
Comprova si la funció lineal $f(x) = 5x - 3$ és sempre creixent en tot el seu domini. Per a fer-ho, calcula la seva derivada i explica quina relació té el resultat obtingut amb el pendent de la recta.
Estudiar la monotonia en un punt concret
Quan una funció no és lineal, el signe de $f'$ canvia segons el punt. Per saber què passa en $x_0$ n'hi ha prou amb calcular $f'(x_0)$: no cal resoldre l'equació $f'(x)=0$ ni estudiar tota la funció.
L'altura d'una pilota de bàsquet (en metres) quan és llançada ve modelitzada per la funció $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, on $t$ és el temps en segons. 1. Calcula la velocitat…
L'altura d'una pilota de bàsquet (en metres) quan és llançada ve modelitzada per la funció $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$, on $t$ és el temps en segons.
-
Calcula la velocitat instantània de la pilota derivant la funció altura.
-
Determina l'interval de temps en què la pilota està pujant (creixement de la funció altura).
Estudia la monotonia de la funció racional $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$. Aquest tipus de funcions solen modelar el cost mitjà de producció en Ciències Socials. Indica…
Estudia la monotonia de la funció racional $f(x) = \dfrac{x^2 + 9}{x}$. Aquest tipus de funcions solen modelar el cost mitjà de producció en Ciències Socials. Indica raonadament els intervals on el cost mitjà està disminuint i aquells on està augmentant, tenint en compte que en aquest context només tenen sentit els valors de $x > 0$.
A la figura tens la gràfica de $f$ per a $x > 0$; pots usar-la per comprovar el teu resultat.
Monotonia en un interval: benefici creixent
Un estudi de mercat indica que el benefici diari d'una petita empresa tèxtil (en centenars d'euros) ve donat per la funció $B(t) = -t^2 + 10t - 16$, on $t$ és el temps…
Un estudi de mercat indica que el benefici diari d'una petita empresa tèxtil (en centenars d'euros) ve donat per la funció $B(t) = -t^2 + 10t - 16$, on $t$ és el temps en hores des de l'obertura. Utilitza la derivada per trobar en quin interval de temps el benefici de l'empresa està augmentant.
Una empresa de serveis de streaming* ha detectat que el nombre de nous subscriptors diaris, en milers, segueix la funció $S(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t + 100$, on $t$…
Una empresa de serveis de streaming ha detectat que el nombre de nous subscriptors diaris, en milers, segueix la funció $S(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t + 100$, on $t$ representa el temps en mesos des de l'inici d'una campanya publicitària ($0 \leq t \leq 15$).
a) Determina els intervals de temps en què el creixement de nous subscriptors és positiu (la funció és creixent).
b) A partir de quin mes la tendència canvia i el nombre de nous subscriptors diaris comença a disminuir? Justifica la resposta mitjançant l'estudi de la primera derivada.