Contrast d'hipòtesis

En el control de qualitat d'una fàbrica de patates fregides, es vol comprovar si el pes mitjà de les bosses és realment de $150$ grams, com indica l'envàs. Es sap que la desviació típica poblacional és $\sigma = 5$ grams. Si es sospita que les bosses poden pesar tant més com menys del que s'indica:

1. a) Planteja les hipòtesis $H_0$ i $H_1$.

1. b) Si fixem un nivell de significació de $\alpha = 0,05$, calcula els valors crítics $z_{\alpha/2}$ que delimiten la zona d'acceptació.

S'està provant un nou model de sabatilles de running dissenyat per augmentar el rendiment. El fabricant estableix la hipòtesi nul·la $H_0$: "El rendiment mitjà amb el nou model és igual al del model anterior" enfront de l'alternativa $H_1$: "El rendiment mitjà és superior".

Explica raonadament què significaria cometre un error de tipus I i un error de tipus II en aquest context pràctic. Quin dels dos errors creus que seria més perjudicial per a la imatge de marca de l'empresa si es descobreix posteriorment?

Estem fent un contrast d'hipòtesis bilateral per a la mitjana d'una població normal amb $\sigma$ coneguda. Després de calcular l'estadístic de contrast amb les dades d'una mostra, obtenim un valor de $z_{exp} = 2,15$.

Si els valors crítics per a un nivell de significació $\alpha = 0,05$ són $-1,96$ i $1,96$, raona si hem d'acceptar o rebutjar la hipòtesi nul·la.

Un estudi sobre salut mental juvenil indica que el temps mitjà diari que els estudiants de 2n de Batxillerat passen a TikTok és de $120$ minuts, amb una desviació típica de $30$ minuts. Un orientador d'un institut creu que al seu centre, a causa de la pressió de les PAU, el temps mitjà és significativament menor. Pren una mostra aleatòria de $50$ alumnes i obté una mitjana de $112$ minuts.

1. a) Defineix el contrast d'hipòtesis adequat per a la creença de l'orientador.
2. b) Calcula el p-valor de la mostra obtinguda.
3. c) Si s'utilitza un nivell de significació del $1\%$, quina conclusió hauria d'extreure l'orientador? I si el nivell de significació fos del $5\%$?

Es vol investigar si un nou mètode d'estudi millora el rendiment en Matemàtiques. La nota mitjana històrica en una comunitat és de $6,4$ amb una desviació típica $\sigma = 1,2$. S'aplica el nou mètode a un grup experimental de $36$ alumnes i s'obté una nota mitjana de $6,9$.

1. a) Fes un contrast d'hipòtesis unilateral per a un nivell de significació $\alpha = 0,05$ (planteja $H_0$ i $H_1$, calcula el valor crític i la regió de rebuig, i conclou).

1. b) Si l'interval de confiança al $95\%$ per a la mitjana d'aquest grup fos $(6,508 ; 7,292)$, hauries pogut respondre l'apartat anterior sense calcular l'estadístic de contrast? Explica la relació entre intervals de confiança i contrast d'hipòtesis.

En un debat sobre sostenibilitat, s'afirma que el $75\%$ dels joves d'una ciutat separen els envasos de plàstic de la resta de les escombraries. Per verificar-ho, es selecciona una mostra de $150$ joves i s'observa que $105$ d'ells reciclen correctament.

1. a) Planteja el test d'hipòtesis per comprovar si la proporció real és inferior a l'afirmada.
2. b) És acceptable l'afirmació inicial per a un nivell de significació del $10\%$?
3. c) Suposem que la proporció real fos del $65\%$. Quina decisió es prendria més probablement amb aquest test si la mostra fos de només $20$ persones? Raona sobre la importància de la mida de la mostra en la potència del test.

En un estudi sobre sostenibilitat, es sap que fa dos anys el $30\ \%$ dels joves d'una localitat utilitzava el transport públic per anar a l'institut. Després d'una campanya de conscienciació ambiental, es vol comprovar si aquest percentatge ha augmentat. Es pren una mostra aleatòria de $150$ joves i s'observa que $54$ d'ells utilitzen ara el transport públic.

A partir d'aquestes dades, i amb un nivell de significació del $5\ \%$, es pot concloure que la campanya ha estat efectiva i la proporció d'usuaris ha augmentat? Planteja el contrast corresponent.

Un centre de salut afirmen que la proporció de fumadors en la població de joves d'entre 16 i 18 anys és del $15\ \%$. Per verificar-ho, es fa un estudi sobre una mostra de $400$ joves d'aquest rang d'edat, i resulta que $72$ d'ells fumen.

Calcula el p-valor (probabilitat d'obtenir un resultat tan extrem o més que l'observat sota la hipòtesi nul·la) per a un contrast bilateral. A la vista del resultat, rebutjaries l'afirmació del centre de salut per a un nivell de significació estàndard de $\alpha = 0,05$?

S'ha realitzat un estudi sobre la despesa mensual en oci dels estudiants universitaris d'una ciutat, assumint que segueix una distribució normal amb $\sigma = 20$ euros. S'ha obtingut per a la mitjana un interval de confiança al $95\ \%$ de $(75,1; 84,9)$.

Sense fer nous càlculs de tipificació, utilitza la relació entre intervals de confiança i contrasts d'hipòtesis per respondre: Es rebutjaria la hipòtesi nul·la $H_0: \mu = 70$ euros enfront de $H_1: \mu \neq 70$ euros amb un nivell de significació de $\alpha = 0,05$? I si la hipòtesi nul·la fos $H_0: \mu = 80$ euros? Justifica la teva resposta.

Explica amb les teves pròpies paraules què significa cometre un Error de Tipus I en el context d'un estudi que intenta provar si un nou mètode d'estudi millora les notes de matemàtiques (on $H_0$ és que el mètode no produeix millores).