El mètode de Gauss
El mètode de Gauss converteix un sistema en un altre d'equivalent molt més fàcil de resoldre: un d'esglaonat, on cada fila té un zero més que l'anterior. Un cop allà, la solució surt gairebé sola, de baix cap amunt.
Triangular pas a pas
Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant el mètode de Gauss. Observa que la primera incògnita ja té coeficient $1$, la qual cosa en facilita l'ús com a…
Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant el mètode de Gauss. Observa que la primera incògnita ja té coeficient $1$, la qual cosa en facilita l'ús com a pivot:
$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ x - y - z = -1 \end{cases}$
Resol el sistema d'equacions següent utilitzant el mètode de reducció de Gauss: $$ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases} $$ a)…
Resol el sistema d'equacions següent utilitzant el mètode de reducció de Gauss:
$$ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases} $$- a) Escriu la matriu ampliada del sistema i transforma-la, mitjançant operacions entre files, en una matriu esglaonada.
- b) A partir de la matriu esglaonada, classifica el sistema (compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible) i justifica la teua resposta.
- c) Si el sistema és compatible, troba'n la solució.
Triar el pivot i operar entre files
Donada la matriu ampliada següent, que ja ha estat parcialment transformada mitjançant el mètode de Gauss, indica quina operació elemental entre files realitzaries per…
Donada la matriu ampliada següent, que ja ha estat parcialment transformada mitjançant el mètode de Gauss, indica quina operació elemental entre files realitzaries per obtenir un zero a la posició marcada amb el cercle taronja i escriu com quedaria la nova fila $F_3$.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & 5 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \end{pmatrix}$
Per resoldre el sistema següent, el primer pas del mètode de Gauss sol ser aconseguir que el coeficient de la $x$ a la primera equació sigui $1$ o $-1$. Quina…
Per resoldre el sistema següent, el primer pas del mètode de Gauss sol ser aconseguir que el coeficient de la $x$ a la primera equació sigui $1$ o $-1$. Quina transformació elemental faries primer perquè el càlcul sigui més senzill? Justifica la teva resposta.
$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y - z = 2 \\ 2x + 3y + 2z = 15 \end{cases}$
De la matriu esglaonada a la solució
Un estudiant ha aplicat el mètode de Gauss a un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites i ha arribat a la matriu esglaonada següent:…
Un estudiant ha aplicat el mètode de Gauss a un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites i ha arribat a la matriu esglaonada següent:
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 & | & 6 \end{pmatrix}$
Finalitza la resolució del sistema calculant els valors de $x$, $y$ i $z$ mitjançant la substitució cap enrere.
Sistemes homogenis: sempre tenen la trivial
Aplica el mètode de Gauss per resoldre el sistema homogeni següent. Recorda que aquest tipus de sistemes sempre tenen, almenys, la solució trivial:…
Aplica el mètode de Gauss per resoldre el sistema homogeni següent. Recorda que aquest tipus de sistemes sempre tenen, almenys, la solució trivial:
$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ 3x + 4z = 0 \end{cases}$
Gauss amb un paràmetre
Quan el sistema porta una lletra, triangules exactament igual, però vigilant per quin valor del paràmetre algun pivot es pot anul·lar: aquest valor necessita el seu propi cas a part.
Aplica el mètode de Gauss per discutir i resoldre el sistema d'equacions lineals següent. Si el sistema resulta ser compatible indeterminat, escriu la solució general en…
Aplica el mètode de Gauss per discutir i resoldre el sistema d'equacions lineals següent. Si el sistema resulta ser compatible indeterminat, escriu la solució general en funció d'un paràmetre $\lambda$:
$$ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y - z = 2 \\ 4x - y + 3z = 10 \end{cases} $$Es considera el següent sistema d'equacions dependent del paràmetre real $k$: $\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$ Utilitza…
Es considera el següent sistema d'equacions dependent del paràmetre real $k$:
$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$
Utilitza el mètode de Gauss per discutir la compatibilitat del sistema segons els diferents valors de $k$. En els casos en què el sistema sigui compatible indeterminat, obtén la solució general.
Crear i verificar un algorisme d'eliminació
L'algorisme ha de funcionar també si el primer candidat a pivot és zero. Abans de dividir, busca una fila inferior amb entrada no nul·la en aquesta columna i intercanvia-la. Si tota la columna restant és zero, passa a la columna següent sense augmentar el nombre de pivots.
fila_pivote ← 0
para cada columna de coeficientes:
buscar desde fila_pivote una fila con entrada no nula
si no existe: continuar con la siguiente columna
intercambiar esa fila con fila_pivote
para cada fila inferior:
factor ← entrada / pivote
restar factor * fila_pivote a toda la fila (incluido B)
fila_pivote ← fila_pivote + 1
examinar filas nulas y términos independientes
Tria entre aquests desenllaços després d'eliminar:
*Única solució si hi ha n pivots als coeficients i cap fila incompatible. Amb menys de n pivots i sense incompatibilitat hi ha variables lliures.
Modifica el pseudocodi per convertir cada pivot en 1 i anul·lar també les entrades superiors: obtens Gauss-Jordan. Executa'l a mà o programa'l, compara el nombre d'operacions i contrasta les tres proves amb una eina de càlcul matricial. Lliura matrius intermèdies i comprova les solucions a les equacions originals. Amb dades decimals, selecciona preferentment el pivot de major valor absolut disponible i declara una tolerància per decidir què és aproximadament zero; els rangs exactes amb paràmetres requereixen casos algebraics separats.
Revisar el procés en equip
Rotau les tasques de disseny, execució, comprovació i explicació. Cada integrant prediu el tipus de solució abans de calcular. Si apareix una discrepància, localitzau la primera fila diferent i reconstruïu l'operació sense atribuir l'error a la capacitat de ningú. Davant d'un bloqueig, anotau què sabeu, separau un cas senzill i demanau una pista concreta. Lliurau un error corregit, l'estratègia que ha ajudat a superar-lo i una alternativa proposada per un altre integrant. Compareu mètodes amb arguments, no per qui acaba primer.