Teorema de Rouché-Frobenius

Donat el sistema d'equacions següent ja esglaonat després d'aplicar el mètode de Gauss:

$\begin{cases} x - y + 3z = 5 \\ \quad \quad 2y + z = 1 \\ \quad \quad \quad \quad 0z = 0 \end{cases}$

Determina, sense resoldre'l, el valor de $rg(A)$ i $rg(A^*)$. És el sistema compatible determinat o indeterminat? Justifica la teva resposta segons el nombre d'incògnites.

Dues empreses de missatgeria analitzen les seves rutes en un mapa. Les seves trajectòries venen definides per les equacions següents en un sistema de dues dimensions:

$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases}$

A partir de la representació gràfica mostrada, indica el rang de la matriu de coeficients $A$ i de la matriu ampliada $A^*$, i classifica el sistema utilitzant el Teorema de Rouché-Frobenius.

Un analista financer utilitza un model de tres variables (estalvis, inversió i deute). Després de calcular els rangs de les matrius associades al sistema, obté que:

• $rg(A) = 2$

• $rg(A^*) = 3$

Explica raonadament, basant-te en el Teorema de Rouché-Frobenius, si l'analista podrà trobar una combinació de valors que satisfaci totes les condicions del model.

En una botiga de videojocs, el preu de tres productes $x$, $y$, $z$ es regeix pel sistema d'equacions següent:

$\begin{cases} x + y + z = 60 \\ 2x - y + z = 20 \\ 3x + 2z = 80 \end{cases}$

Observa la relació entre les files de la matriu ampliada. Si la tercera equació és la suma de les dues primeres, quin és el rang màxim que pot tenir la matriu de coeficients? Classifica el sistema.

Donades les matrius d'un sistema d'equacions lineals amb incògnites $x$ i $y$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 2 \end{pmatrix}$

Determina per a quin valor de $k$ el rang de la matriu $A$ és igual a 1. Per a aquest valor de $k$, què passa amb el rang de $A^*$? Classifica el sistema resultant.

Una empresa de missatgeria utilitza tres tipus de vehicles: furgonetes, camions lleugers i camions pesants. El nombre total de vehicles és 25. Es sap que el nombre de furgonetes és el doble que el de camions pesants i que, a causa d'una restricció pressupostària, el cost de manteniment mensual segueix aquesta relació: $x + my + z = 100$, on $x, y, z$ són les unitats de cada vehicle i $m$ és un factor de cost variable.

1. a) Escriu el sistema d'equacions que representa la situació.
2. b) Discuteix per a quins valors de $m$ el sistema té una solució única (és a dir, quan podem saber exactament quants vehicles de cada tipus hi ha).

Estudia la compatibilitat del següent sistema de 4 equacions amb 3 incògnites:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + y + 2z = 5 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$

És possible eliminar una de les equacions sense que canviï la solució del sistema? Justifica la teva resposta comparant els rangs de la matriu de coeficients i la matriu ampliada.

Analitza la compatibilitat del sistema següent de 4 equacions amb 3 incògnites en funció del paràmetre $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 11 \\ x - y + 2z = 3 \end{cases}$$

Hi ha algun valor de $m$ per al qual el sistema tingui infinites solucions? I perquè sigui incompatible? Argumenta la teva resposta basant-te en el rang de les matrius.

Un inversor reparteix 100.000 € entre tres tipus de productes financers: bons de l'Estat al 3%, accions tecnològiques al 5% i criptoactius al 10%.

En acabar l'any, els beneficis totals han estat de 6.000 €. L'inversor observa que si les rendibilitats haguessin estat del 4% en bons, del 6% en accions i de l'11% en criptoactius, els seus beneficis totals haurien estat de $B$ euros.

1. a) Planteja el sistema d'equacions associat al problema (anomenant $x, y, z$ les quantitats invertides en cada producte).
2. b) Discuteix la compatibilitat del sistema segons el valor de $B$.
3. c) Determina el valor de $B$ que fa que el sistema sigui Compatible Indeterminat i explica què significa aquesta situació per a l'inversor.