Probabilitat condicionada

En una biblioteca municipal, es sap que la probabilitat que un soci s'emporti en préstec una novel·la és $P(N) = 0,6$ i la probabilitat que s'emporti un còmic és $P(C) = 0,4$. A més, la probabilitat que s'emporti tots dos és $P(N \cap C) = 0,15$.

Calcula la probabilitat que un soci s'emporti un còmic si sabem que ja s'ha emportat una novel·la.

Un analista de xarxes socials estudia el comportament dels adolescents en dues aplicacions: TikTok ($T$) i Instagram ($I$). Les dades indiquen que:

• El $70 \%$ dels joves utilitza TikTok.

• El $50 \%$ utilitza Instagram.

• La probabilitat que un jove utilitzi Instagram sabent que utilitza TikTok és $0,4$.

Calcula la probabilitat que un jove triat a l'atzar utilitzi totes dues aplicacions ($P(T \cap I)$) i raona si els successos són independents.

En un estoig hi ha 5 subratlladors fluorescents: 3 són de color groc i 2 són de color rosa. Extraiem dos subratlladors de manera consecutiva i sense reemplaçament (sense tornar el primer a l'estoig).

Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre i calcula la probabilitat que el segon subratllador extret sigui rosa, sabent que el primer va ser groc.

Un estudiant de 2n de Batxillerat ha preparat 18 dels 25 temes de què consta l'examen final d'Història. L'examen consisteix a triar a l'atzar dos temes del total i desenvolupar-ne un.

1. a) Calcula la probabilitat que l'alumne se sàpiga els dos temes extrets.
2. b) Calcula la probabilitat que l'alumne aprovi l'examen (és a dir, que se sàpiga almenys un dels dos temes).

Disposem de dues urnes opaques. La urna $U_A$ conté 4 boles blanques i 6 boles negres. La urna $U_B$ conté 5 boles blanques i 3 de negres. L'experiment consisteix a extreure una bola de la urna $U_A$ i, sense mirar-ne el color, introduir-la a la urna $U_B$. A continuació, s'extreuen dues boles simultàniament de la urna $U_B$.

Si les dues boles extretes de la segona urna resulten ser blanques, quina és la probabilitat que la bola transferida des de la primera urna fos negra? Expressa el resultat en forma de fracció irreductible.

En un grup de 2n de Batxillerat s'ha realitzat una enquesta sobre l'ús d'ulleres i el gènere dels estudiants. Els resultats es mostren en la taula de contingència següent:

Si seleccionem un alumne a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que sigui un noi, sabent que porta ulleres.
2. b) La probabilitat que porti ulleres, sabent que és una noia.

En una enquesta realitzada a 200 alumnes d'un institut sobre l'ús de xarxes socials, s'ha observat que 120 utilitzen TikTok, 100 utilitzen Instagram i 60 utilitzen totes dues plataformes. Si seleccionem un alumne a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que utilitzi Instagram sabent que ja utilitza TikTok.
2. b) La probabilitat que no utilitzi TikTok si sabem que utilitza Instagram.
3. c) Són els successos "ser usuari de TikTok" i "ser usuari d'Instagram" independents? Justifica la resposta matemàticament.

Un centre de tecnificació esportiva classifica els seus atletes segons la seva dieta (Equilibrada o Deficient) i el seu rendiment en el darrer trimestre (Alt o Baix). Les dades es recullen en la taula de contingència següent:

Calcula:

1. a) $P(R | D)$
2. b) $P(\bar{D} | \bar{R})$
3. c) Determina si tenir una dieta equilibrada i tenir un rendiment alt són successos independents.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que la probabilitat de $A$ és $P(A) = 0,5$, la de $B$ és $P(B) = 0,3$ i la probabilitat de la seva unió és $P(A \cup B) = 0,65$.

A partir del diagrama de Venn següent, identifica la zona ombrejada i calcula $P(A|B)$.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,6$ i $P(A \cup B) = 0,8$.

1. a) Calcula $P(A | B)$.
2. b) Calcula $P(B | \bar{A})$.
3. c) Són $A$ i $B$ successos incompatibles? Són independents?

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un espai mostral tals que coneixem $P(A \cup B) = 0,9$, $P(B|A) = 0,4$ i $P(A|\overline{B}) = 0,8$, on $\overline{B}$ representa el succés contrari de $B$.

Utilitzant les propietats de l'àlgebra de successos i la definició de probabilitat condicionada, calcula:

1. $P(A \cap B)$

2. $P(A)$

3. $P(B)$

Ajuda: Planteja un sistema d'equacions utilitzant les definicions de probabilitat condicionada.