"Interpretacions de la probabilitat: clàssica, freqüentista i subjectiva"
"Quina probabilitat hi ha que demà plogui?" no es calcula igual que "quina probabilitat hi ha de treure un 6 amb un dau?". En el segon cas pots comptar casos; en el primer, no hi ha "casos igualment probables" que comptar. Hi ha tres maneres diferents de posar un nombre a la incertesa, i cadascuna s'utilitza en un tipus de situació diferent.
Interpretació clàssica: la regla de Laplace
En una ruleta europea ($37$ caselles: $18$ vermelles, $18$ negres i el zero verd) s'han registrat $5.000$ llançaments, i la bola va caure en vermell $2.560$ vegades. a)…
En una ruleta europea ($37$ caselles: $18$ vermelles, $18$ negres i el zero verd) s'han registrat $5.000$ llançaments, i la bola va caure en vermell $2.560$ vegades.
-
a) Quina probabilitat de «vermell» assigna la interpretació clàssica (regla de Laplace)?
-
b) Quina probabilitat assigna la interpretació freqüentista a partir de les dades?
-
c) Comenta a quina de les dues donaries més credibilitat i per què.
Interpretació freqüentista i la llei dels grans nombres
I si no saps per endavant que els resultats són igualment probables, com amb un dau que podria estar trucat? Llavors experimentes moltes vegades i observes la freqüència relativa.
Un dau s'ha llançat $200$ vegades i s'han obtingut aquests resultats: | Cara | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | |---|---|---|---|---|---|---| | Freqüència | $38$ |…
Un dau s'ha llançat $200$ vegades i s'han obtingut aquests resultats:
| Cara | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Freqüència | $38$ | $33$ | $30$ | $35$ | $34$ | $30$ |
-
a) Calcula la freqüència relativa de cada cara.
-
b) Estima la probabilitat de treure un nombre parell amb aquest dau.
-
c) Coincideixen les teves estimacions amb les probabilitats que donaria la regla de Laplace? Comenta la diferència.
Es sospita que un dau d'un joc de taula està desequilibrat. Es llança $1.000$ vegades i s'obté: | Cara | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |…
Es sospita que un dau d'un joc de taula està desequilibrat. Es llança $1.000$ vegades i s'obté:
| Cara | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Freqüència | $118$ | $301$ | $41$ | $229$ | $198$ | $113$ |
-
a) Estima la probabilitat de cada cara per freqüències relatives.
-
b) Calcula les probabilitats estimades de «parell», «menor que $6$» i «treure $1$ o $2$».
-
c) A la vista de les estimacions, sembla equilibrat el dau? Justifica-ho.
Raona si cadascuna d'aquestes afirmacions sobre un dau equilibrat és vertadera o falsa: a) «Porto $20$ tirades sense treure cap $5$; per la llei dels grans nombres, en…
Raona si cadascuna d'aquestes afirmacions sobre un dau equilibrat és vertadera o falsa:
-
a) «Porto $20$ tirades sense treure cap $5$; per la llei dels grans nombres, en la tirada següent és molt probable que surti un $5$».
-
b) «Encara que en $20$ tirades no hagi sortit cap $5$, la probabilitat de treure $5$ en la tirada següent continua sent $\frac{1}{6}$».
-
c) «Si llanço el dau $6.000$ vegades, sortiran exactament $1.000$ cincs».
Interpretació subjectiva
Hi ha successos que no es poden repetir en les mateixes condicions ni tenen resultats equiprobables coneguts: "demà plourà", "aprovaràs l'examen". Tanmateix, se'ls pot assignar un nombre entre $0$ i $1$ basat en el coneixement, l'experiència o la intuïció disponibles.
Assigna una probabilitat subjectiva, entre $0$ i $1$, a cadascun d'aquests successos i justifica la teva elecció: a) «Demà plourà a la teva ciutat». b) «Aprovaràs el…
Assigna una probabilitat subjectiva, entre $0$ i $1$, a cadascun d'aquests successos i justifica la teva elecció:
-
a) «Demà plourà a la teva ciutat».
-
b) «Aprovaràs el pròxim examen de matemàtiques».
-
c) Explica per què en aquests casos no pots utilitzar ni la regla de Laplace ni les freqüències relatives.
Comparant les tres interpretacions
En un institut s'ha preguntat a $400$ estudiants triats a l'atzar i $268$ afirmen practicar esport almenys dues vegades per setmana. a) Estima la probabilitat que un…
En un institut s'ha preguntat a $400$ estudiants triats a l'atzar i $268$ afirmen practicar esport almenys dues vegades per setmana.
-
a) Estima la probabilitat que un estudiant d'aquest institut practiqui esport setmanalment.
-
b) Si l'institut té $1.200$ estudiants, quants esperaries que practiquessin esport?
-
c) Explica quina interpretació de la probabilitat has utilitzat i per què la interpretació clàssica no és aplicable aquí.
Una asseguradora fixa el preu de l'assegurança antirobatori de bicicletes a partir dels seus registres: de $20.000$ bicicletes assegurades l'any passat, $340$ van patir…
Una asseguradora fixa el preu de l'assegurança antirobatori de bicicletes a partir dels seus registres: de $20.000$ bicicletes assegurades l'any passat, $340$ van patir un robatori.
-
a) Quina interpretació de la probabilitat utilitza l'asseguradora? Raona per què les altres dues interpretacions (clàssica i subjectiva) no li servirien.
-
b) Calcula la probabilitat estimada de robatori.
-
c) Si una bicicleta val $800\ \text{€}$, calcula la «prima pura» (el preu que cobriria exactament el risc) i explica per què la prima real serà més gran.
Torna al principi: Per al dau aplices la probabilitat clàssica ($P(6) = 1/6 \approx 0{,}167$) perquè les seves sis cares són equiprobables; per saber si demà plourà fas servir probabilitat subjectiva (o freqüentista mitjançant models numèrics), assignant un grau de confiança a una situació atmosfèrica irrepetible.