Regla de Laplace

S'utilitza una ruleta dividida en $12$ sectors iguals, numerats del $1$ al $12$. Calcula la probabilitat que en girar la ruleta la fletxa s'aturi en:

1. a) Un nombre divisible per $3$.
2. b) Un nombre que sigui quadrat perfecte (com ara $1, 4, 9$).
3. c) Un nombre més gran que $2$ i menor que $7$.

Llancem simultàniament dues monedes equilibrades a l'aire.

1. a) Escriu l'espai mostral de l'experiment.
2. b) Quina és la probabilitat d'obtenir exactament una cara?
3. c) Quina és la probabilitat d'obtenir almenys una creu?

En una partida d'un joc de rol, un jugador llença un dau de vuit cares (octàedre) numerades del $1$ al $8$. Si el dau està perfectament equilibrat, calcula les probabilitats següents utilitzant la regla de Laplace:

1. a) Obtenir un nombre parell.
2. b) Obtenir un nombre més gran que $5$.
3. c) Obtenir un nombre primer.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes s'extreu una carta a l'atzar. La baralla té $4$ pals (ors, copes, espases i bastos) amb $10$ cartes cadascun: de l'$1$ (as) al $7$, més la sota (S), el cavall (C) i el rei (R). Determina la probabilitat dels successos següents:

1. a) Que la carta sigui un as.

1. b) Que sigui una copa.

1. c) Que sigui el rei d'ors.

En un festival de jocs de taula, s'utilitzen dos daus cúbics equilibrats (amb cares de l'1 al 6). Un jugador llança tots dos daus alhora. La taula recull la suma de les puntuacions per a cada resultat possible (files: dau 1; columnes: dau 2).

Calcula la probabilitat que la suma de les puntuacions obtingudes sigui un nombre primer major que $5$.

En una urna de vidre per a un sorteig d'una botiga de tecnologia hi ha $12$ boles blanques i $8$ boles negres. S'extreuen tres boles a l'atzar, una a una i sense reposició. Aplicant la regla de Laplace sobre l'espai mostral de successos elementals equiprobables, determina la probabilitat que les tres boles extretes siguin del mateix color.

En un club d'esports electrònics (eSports), se seleccionarà un equip de 5 jugadors per a un torneig nacional. Al procés de selecció s'hi han presentat 15 candidats: 8 especialistes en estratègia i 7 especialistes en reflexos. El reglament del torneig exigeix que l'equip tingui, almenys, 3 especialistes en estratègia i, com a mínim, 1 especialista en reflexos. Si la directiva tria els 5 integrants a l'atzar entre tots els candidats, calcula la probabilitat que l'equip compleixi estrictament el reglament.

Utilitzant les lletres de la paraula $ALGORITMO$, es formen totes les permutacions possibles. Si se'n tria una d'aquestes ordenacions a l'atzar, calcula la probabilitat que la paraula resultant comenci i acabi per consonant, i que a més totes les vocals apareguin juntes en algun lloc de la cadena.

Un videojoc de punteria consisteix a llançar un dard virtual a una diana quadrada de $20\text{ cm}$ de costat que té inscrit un cercle de color taronja. El programa garanteix que el dard sempre impacta en algun punt del quadrat de manera aleatòria (equiprobable). Calcula la probabilitat que el dard impacti fora del cercle taronja. (Considera $\pi \approx 3,14$).

Una aplicació de disseny gràfic genera un patró aleatori col·locant un punt $P$ dins d'un cercle de radi $R = 10 \text{ cm}$. Al centre del cercle hi ha inscrit un quadrat de costat $L = 8 \text{ cm}$. L'algorisme de l'aplicació considera un "encert visual" si el punt $P$ cau dins del quadrat o en la regió del cercle que queda per sobre del diàmetre horitzontal però fora del quadrat. Utilitzant el concepte de probabilitat geomètrica (extensió de la regla de Laplace per a àrees), calcula la probabilitat d'obtenir un "encert visual" en un intent.