Àrea sota una corba
Quina és l'àrea de la regió que queda entre la corba $f(x)=e^x$, l'eix $OX$ i les rectes $x=0$ i $x=1$? No hi ha cap fórmula geomètrica per a aquesta forma corba. La integral definida neix exactament per resoldre aquest tipus de problema: aproximar l'àrea amb rectangles i, en el límit, calcular-la amb una primitiva.
Aproximar l'àrea amb rectangles
La idea de la integral definida és dividir la regió en franges molt estretes i sumar-ne les àrees. Quan la funció és constant, ni tan sols cal aquest límit: l'àrea és exacta des del primer «rectangle».
Troba l'àrea del recinte limitat per la funció constant $f(x) = 4$, l'eix $OX$ i les rectes $x = -1$ i $x = 2$. Raona el resultat gràficament calculant l'àrea del…
Troba l'àrea del recinte limitat per la funció constant $f(x) = 4$, l'eix $OX$ i les rectes $x = -1$ i $x = 2$. Raona el resultat gràficament calculant l'àrea del rectangle resultant sense fer servir integrals.
Àrea sota la corba amb la regla de Barrow
El procediment habitual: si $f(x)\geq0$ en tot $[a,b]$, l'àrea és directament la integral definida calculada amb Barrow.
Un atleta està entrenant per a una marató. La seva velocitat en un tram de 15 minuts és constant i ve donada per la funció $v(t) = 12$ km/h, on $t$ és el temps en hores.…
Un atleta està entrenant per a una marató. La seva velocitat en un tram de 15 minuts és constant i ve donada per la funció $v(t) = 12$ km/h, on $t$ és el temps en hores. Utilitza la integral definida per calcular la distància recorreguda (l'àrea sota la corba de velocitat) entre els instants $t = 0$ i $t = 0,25$ hores. Comprova el resultat utilitzant la fórmula geomètrica de l'àrea d'un rectangle.
Calcula l'àrea de la regió plana limitada per la paràbola $f(x) = x^2 + 2$, l'eix d'abscisses i les rectes $x = 0$ i $x = 2$. Com que la funció és sempre positiva en…
Calcula l'àrea de la regió plana limitada per la paràbola $f(x) = x^2 + 2$, l'eix d'abscisses i les rectes $x = 0$ i $x = 2$. Com que la funció és sempre positiva en aquest interval, planteja directament la integral definida segons la regla de Barrow.
Donada la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 + 2x$, troba l'àrea limitada per la seva gràfica i l'eix $OX$ en l'interval $[1, 2]$. Comprova que, en aquest interval, la…
Donada la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 + 2x$, troba l'àrea limitada per la seva gràfica i l'eix $OX$ en l'interval $[1, 2]$. Comprova que, en aquest interval, la funció no talli l'eix $OX$ (és a dir, sempre és positiva), la qual cosa facilita el càlcul directe.
El signe de la integral: partir en trams
Si $f$ canvia de signe dins de $[a,b]$, la integral sobre tot l'interval barreja parts positives i negatives i no dona l'àrea real: cal localitzar on s'anul·la $f$ i trossejar.
Troba l'àrea del recinte limitat per la corba $f(x) = x^3 - 4x$ i l'eix d'abscisses. Tingues en compte que la funció pot prendre valors positius i negatius, per la qual…
Troba l'àrea del recinte limitat per la corba $f(x) = x^3 - 4x$ i l'eix d'abscisses. Tingues en compte que la funció pot prendre valors positius i negatius, per la qual cosa hauràs de calcular l'àrea de cada regió per separat i sumar-les en valor absolut.
Donada la funció definida a trossos: $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$ Calcula l'àrea de la regió…
Donada la funció definida a trossos:
$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\ 3 - x & \text{si } 1 < x \le 3 \end{cases}$
Calcula l'àrea de la regió limitada per la gràfica de $f(x)$ i l'eix d'abscisses en l'interval $[0, 3]$.
Troba l'àrea del recinte limitat per la funció $f(x) = |x^2 - 4|$, l'eix d'abscisses i les rectes $x = -1$ i $x = 3$. Consell: Identifica els intervals on l'expressió de…
Troba l'àrea del recinte limitat per la funció $f(x) = |x^2 - 4|$, l'eix d'abscisses i les rectes $x = -1$ i $x = 3$.
Consell: Identifica els intervals on l'expressió de dins del valor absolut canvia de signe i divideix la integral definida en la suma de diverses integrals segons correspongui.
Aplicacions: ingressos, paràmetres i magnituds acumulades
Àrea sota una corba i «import total acumulat» són, en el fons, el mateix compte quan la funció representa un ritme (ingrés marginal, consum, estalvi).
El departament de màrqueting d'una nova aplicació de música ha determinat que l'ingrés marginal per cada mil subscriptors nous és $I'(x) = 10 - x$ (en centenars…
El departament de màrqueting d'una nova aplicació de música ha determinat que l'ingrés marginal per cada mil subscriptors nous és $I'(x) = 10 - x$ (en centenars d'euros), on $x$ és el nombre de milers de subscriptors. Calcula el benefici total acumulat (àrea sota la corba) quan el nombre de subscriptors passa de $x = 1$ a $x = 4$ mil.
Troba el valor d'un paràmetre positiu $k$ perquè l'àrea del recinte limitat per la funció $f(x) = kx^2$, l'eix $OX$ i la recta vertical $x=3$ sigui igual a 18 unitats…
Troba el valor d'un paràmetre positiu $k$ perquè l'àrea del recinte limitat per la funció $f(x) = kx^2$, l'eix $OX$ i la recta vertical $x=3$ sigui igual a 18 unitats quadrades.
La funció d'ingressos marginals d'una cooperativa agrícola ve donada per $I'(x) = 100 - 0,2x^2$ (en euros per unitat venuda), on $x$ representa el nombre de tones de…
La funció d'ingressos marginals d'una cooperativa agrícola ve donada per $I'(x) = 100 - 0,2x^2$ (en euros per unitat venuda), on $x$ representa el nombre de tones de producte.
- a) Calcula la funció d'ingressos totals $I(x)$ sabent que per a una venda nul·la els ingressos són zero.
- b) Determina l'àrea tancada per la corba $I'(x)$ i l'eix d'abscisses en l'interval on l'ingrés marginal és positiu. Explica el significat econòmic d'aquest valor.
Torna al principi: L'àrea exacta sota $f(x)=e^x$ entre $0$ i $1$ és $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = \big[e^x\big]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1{,}72\text{ u}^2$.