Regla de la cadena

Donada la funció $f(x) = (3x^2 - 5)^4$, identifica la funció "externa" i la funció "interna". Un cop identificades, aplica la regla de la cadena per trobar la seva funció derivada $f'(x)$.

La regla de la cadena ens diu que si tenim una composició de funcions $y = f(g(x))$, la seva derivada és $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Aplica aquest concepte per derivar la funció trigonomètrica:

$f(x) = \sin(4x - 1)$

Observa l'esquema següent que representa la composició de dues funcions $u(x)$ i $v(x)$. Si sabem que $f(x) = (v \circ u)(x)$, utilitza la informació del diagrama per calcular $f'(x)$.

$u(x) = x^3 + 1 \quad \longrightarrow \quad v(u) = \sqrt{u}$

Calcula la derivada de la funció radical següent:

$g(x) = \sqrt{5x + 2}$

Utilitza l'estructura de la regla de la cadena per a potències, recordant que $\sqrt{u} = u^{1/2}$.

Troba la funció derivada de $h(x) = \ln(x^2 + 3x)$. Per fer-ho, recorda que si $y = \ln(u)$, aleshores $y' = \frac{u'}{u}$.

Calcula la funció derivada de la funció polinòmica composta següent i troba el valor del pendent de la recta tangent a la seva gràfica en el punt d'abscissa $x = 1$:

$f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^5$

Donada la funció exponencial composta $g(x) = e^{x^2 - 4x + 1}$, determina els punts de la corba en els quals la recta tangent és horitzontal.

Al departament de màrqueting d'una startup de moda, han estimat que el nombre d'usuaris registrats a la seva web segueix la funció:

$U(t) = e^{0,5t + 2}$

on $t$ és el temps en mesos. Troba l'expressió de la taxa de creixement instantani dels usuaris (és a dir, la derivada $U'(t)$).

Un fabricant de components electrònics determina que el cost total (en euros) de produir $x$ unitats d'un nou sensor ve donat per:

$C(x) = (x + 10)^{3}$

Calcula el cost marginal quan es produeixen $x$ unitats (és a dir, troba $C'(x)$).

Una empresa de fabricació de components electrònics ha estimat que el cost total (en milers d'euros) de produir $x$ unitats d'un nou model de processador ve donat per la funció:

$C(x) = \sqrt{2x^2 + 5x + 100}$

Obtén l'expressió del cost marginal $C'(x)$ utilitzant la regla de la cadena i calcula aquest cost quan es produeixen exactament $10$ unitats.

El nombre de seguidors d'una coneguda influencer en una xarxa social, mesurat en milers de persones, segueix un model de creixement donat per la funció:

$S(t) = 50 \cdot \ln(t^2 + 4t + 5)$

on $t$ és el temps en mesos des del llançament de la seva campanya publicitària. La gràfica mostra la funció i el punt corresponent a $t = 3$.

Calcula el ritme de creixement de seguidors (la derivada) al tercer mes ($t = 3$).

Troba la derivada de la funció següent, que combina la regla del quocient amb la regla de la cadena:

$h(x) = \frac{(3x - 1)^2}{x^2 + 1}$

Simplifica el resultat final tant com sigui possible.

El valor de mercat d'una acció tecnològica (en euros) ha fluctuat durant una jornada borsària de 8 hores segons la funció:

$V(t) = 10 + 2 \cdot \sqrt{(t - 4)^2 + 9}$

on $t$ és el temps en hores ($0 \le t \le 8$). Determina la taxa de variació instantània del valor de l'acció just en complir-se la sisena hora de la jornada.

Estudia l'existència de punts amb tangent horitzontal en la funció $f(x) = (x^2 - 4)^2 \cdot e^{-x^2}$. Per a això, obtén la derivada primera aplicant la regla de la cadena i el producte, i iguala a zero per trobar totes les solucions possibles en el domini real.

Calcula la funció derivada de l'expressió següent, simplificant el resultat tot el que sigui possible mitjançant l'ús d'identitats trigonomètriques o propietats dels logaritmes:

Siguin $f$ i $g$ dues funcions derivables. Es coneixen els valors següents:

• $g(2) = 5$

• $g'(2) = 3$

• $f'(5) = -4$

Utilitza la regla de la cadena per calcular el valor de la derivada de la funció composta $H(x) = (f \circ g)(x)$ en el punt $x = 2$, és a dir, troba $H'(2)$.

Determina el valor del paràmetre constant $k$ a la funció $f(x) = \ln(kx^2 + 1)$ sabent que el pendent de la recta tangent a la gràfica de la funció en el punt d'abscissa $x = 1$ és igual a $1$.

Siguin $f$ i $g$ dues funcions de les quals es coneixen les dades següents:

• $g(1) = 2$ i $g'(1) = 3$

• $f(2) = -1$ i $f'(2) = 5$

Si definim una nova funció $H(x) = \sqrt{f(g(x)) + 5}$, calcula el valor de $H'(1)$ aplicant rigorosament la regla de la cadena. Comenta què passaria amb la derivada si el valor de dins de l'arrel fos negatiu.

Donada la funció $h(x) = \log_2 \left( \sqrt[3]{x^3 + 3x^2} \right)$, calcula el valor de la seva derivada en el punt d'abscissa $x = 1$. Nota: Recorda aplicar la regla de la cadena per a logaritmes en bases diferents d'$e$.