Sistemas de inecuaciones

Determina el conjunto de números reales que cumplen simultáneamente las siguientes dos condiciones. Expresa el resultado en forma de intervalo y represéntalo sobre la recta real:

1. El doble de un número es mayor que 4.

2. Ese mismo número es menor o igual que 7.

Escribe el sistema de inecuaciones correspondiente y halla su solución.

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con una sola incógnita y determina si el valor $x = 3$ forma parte de la solución:

$\begin{cases} 2x - 5 < 3 \\ 3x + 2 \ge 8 \end{cases}$

Representa en el plano cartesiano la región de puntos $(x, y)$ que satisfacen la inecuación lineal:

$x + y \le 5$

Para ello, dibuja primero la recta asociada, elige un punto de prueba (como el origen de coordenadas) y sombrea el semiplano correcto.

Identifica gráficamente la región factible (el recinto de soluciones comunes) del siguiente sistema de inecuaciones en el primer cuadrante:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + 2y \le 6 \end{cases}$

Indica las coordenadas de los tres vértices que forman el triángulo de la solución.

Comprueba si los puntos $A(1, 1)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 3)$ son soluciones del sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x + y > 2 \\ 2x - y < 5 \end{cases}$

Debes verificar cada punto en ambas inecuaciones para confirmar si pertenecen a la región de intersección.

Determina de forma gráfica la región factible del plano que satisface el siguiente sistema de inecuaciones lineales. Indica si el punto $P(1, 2)$ forma parte de la solución:

$\begin{cases} 2x + y \geq 4 \\ x - 2y < 2 \\ y \leq 3 \end{cases}$

Un estudiante de 1º de Bachillerato quiere organizar una fiesta de graduación. El coste del alquiler del local es de $200$ € y cada menú cuesta $15$ €. Si el presupuesto total disponible es de como máximo $1500$ € y esperan que asistan al menos $40$ personas:

1. a) Plantea un sistema de inecuaciones que modele esta situación, llamando $x$ al número de asistentes.
2. b) ¿Es posible que asistan $90$ personas a la fiesta? Justifica tu respuesta usando el sistema planteado.

Una pequeña empresa fabrica dos tipos de fundas para móviles: el modelo "Eco" ($x$) y el modelo "Premium" ($y$). Por razones de producción, la empresa debe cumplir estas condiciones diarias:

1. El número total de fundas fabricadas no puede superar las $100$ unidades.

2. Se deben fabricar al menos $20$ fundas del modelo "Premium".

Plantea el sistema de inecuaciones que representa estas restricciones y dibuja de forma esquemática la región donde se encuentran las posibles combinaciones de producción.

Una empresa de tecnología lanza dos nuevos modelos de auriculares inalámbricos: el modelo Sonic ($x$) y el modelo Bass ($y$). Debido a limitaciones de producción y mercado, se deben cumplir las siguientes condiciones:

1. El número total de unidades fabricadas no puede superar las 80 diarias.

2. Para mantener la exclusividad, se deben fabricar al menos 20 unidades del modelo Sonic.

3. El número de unidades del modelo Bass no puede ser superior al triple del modelo Sonic.

Escribe el sistema de inecuaciones que representa estas restricciones y dibuja la región de soluciones posibles.

Resuelve gráficamente el siguiente sistema de cuatro inecuaciones e indica si la región resultante es acotada (cerrada) o no acotada (abierta). Calcula las coordenadas de todos sus vértices:

$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ 2x - y \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$

Calcula el conjunto de valores de $x$ que satisfacen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. El doble de $x$ aumentado en 10 unidades es mayor que su triple disminuido en 5.

2. La cuarta parte de $x$ es menor o igual que 4.

3. $x$ debe ser un número positivo.

Expresa la solución mediante una única inecuación con valor absoluto si es posible, o como un intervalo.

Sea el siguiente sistema de inecuaciones dependiente de un parámetro $k \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x \geq 1 \\ y \geq 0 \\ y \leq k \end{cases}$$

Analiza cómo varía la forma de la región factible (si es un triángulo, un trapecio o si desaparece) en función de los valores que tome $k$. En particular, determina el valor de $k$ para el cual la región factible es un triángulo de área exactamente $8$ unidades cuadradas.