Successos dependents i independents

En un experiment aleatori es llença una moneda equilibrada (amb les cares $C$ i $X$) i un dau de sis cares numerades de l'1 al 6. Es consideren els successos següents:

• $A$: "Obtenir cara a la moneda".

• $B$: "Obtenir un nombre parell al dau".

Raona si els successos $A$ i $B$ són dependents o independents i calcula la probabilitat que ocorrin tots dos a la vegada, és a dir, $P(A \cap B)$.

Un jugador de bàsquet té una probabilitat d'encistellar un tir lliure de $0,8$. Si llança dos tirs lliures seguits i assumim que l'èxit en el segon llançament és independent del resultat del primer, calcula:

1. a) La probabilitat que encistelli tots dos tirs.
2. b) La probabilitat que falli tots dos tirs.
3. c) La probabilitat que n'encistelli almenys un.

Una urna conté 5 boles de color taronja i 3 boles de color violeta. S'extreuen dues boles de manera consecutiva amb reemplaçament (es retorna la primera bola a l'urna abans d'extreure la segona).

1. a) Calcula la probabilitat que les dues boles extretes siguin de color taronja.

1. b) El resultat de la primera extracció influeix en la probabilitat de la segona? Justifica la resposta.

Utilitzant la mateixa urna de l'exercici anterior (5 boles taronges i 3 violetes), s'extreuen ara dues boles sense reemplaçament.

1. a) Calcula la probabilitat que la segona bola sigui taronja sabent que la primera va ser violeta.
2. b) Són aquests successos independents? Justifica la teva resposta comparant aquest resultat amb la probabilitat d'extreure una bola taronja en la primera posició.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un espai mostral tals que en coneixem les probabilitats: $P(A) = 0,6$ i $P(B) = 0,4$. Si sabem que els successos són independents, calcula:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$

Considera dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori dels quals es coneixen les probabilitats següents: $P(A) = 0,5$, $P(B | A) = 0,4$ i $P(B | \bar{A}) = 0,4$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$ i $P(\bar{A} \cap B)$.
2. b) A partir dels resultats anteriors, calcula $P(B)$.
3. c) Demostra si els successos $A$ i $B$ són independents. Quina conclusió pots treure sobre la probabilitat de $B$ quan aquesta no varia encara que sabem que $A$ ha ocorregut o no ha ocorregut?

D'una baralla espanyola de 40 cartes (hi ha 4 Reis) s'extreuen dues cartes successivament i sense reposició. Siguin els successos:

• $A$: "La primera carta és un Rei".

• $B$: "La segona carta és un Rei".

El diagrama d'arbre mostra la situació. Les probabilitats de la primera extracció ja són escrites; les de la segona extracció, marcades amb «?», les has de determinar tu.

Calcula la probabilitat de $B$ condicionada a $A$, és a dir, $P(B|A)$. És aquesta probabilitat igual a la probabilitat d'obtenir un Rei en la primera extracció? Justifica si els successos són dependents o independents.

Una marca de roba esportiva sap que el $70\%$ dels seus clients compren sabates de running. D'aquells que compren sabates, el $40\%$ també adquireix una samarreta tècnica. D'altra banda, entre els qui no compren sabates, només el $15\%$ adquireix la samarreta tècnica.

1. a) Si triem un client a l'atzar, quina és la probabilitat que compri la samarreta tècnica?
2. b) Són els successos "comprar sabates" i "comprar samarreta" independents? Raona la resposta analitzant si el fet de comprar sabates modifica la probabilitat de comprar la samarreta.

En un estoig hi ha 10 retoladors: 6 són de color blau i 4 són de color vermell. S'extreuen successivament i sense devolució dos retoladors.

1. a) Quina és la probabilitat que tots dos siguin blaus?
2. b) Quina és la probabilitat que el segon sigui vermell si el primer va ser blau?
3. c) Són els successos "el primer retolador és blau" i "el segon retolador és blau" independents? Justifica la teva resposta comparant les probabilitats condicionades.