Regles de derivació

Calcula la funció derivada de les funcions polinòmiques següents utilitzant les regles bàsiques de derivació:

1. a) $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 10$

1. b) $g(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - 5$

1. c) $h(x) = x^5 - \sqrt{2}x$

Un creador de contingut ha observat que el nombre de reproduccions d'un dels seus vídeos en una xarxa social segueix la funció $f(t) = t^2 + 20t + 100$, on $t$ és el temps en hores des que es va publicar.

Calcula la Taxa de Variació Mitjana (T.V.M.) del nombre de reproduccions en l'interval $[1, 4]$. Interpreta el resultat obtingut en el context del problema.

Donada la funció $f(x) = (3x - 5) \cdot e^x$, troba la seva derivada aplicant la regla del producte. Simplifica el resultat treient factor comú si és possible.

Una empresa de cosmètica ha estimat que el benefici diari (en centenars d'euros) generat per la venda d'un nou sèrum facial segueix la funció $B(t) = 20t \cdot e^{-0,2t}$, on $t$ és el temps en mesos des del seu llançament. La figura mostra el gràfic de $B(t)$ i marca el punt corresponent a $t=5$.

1. a) Obtén l'expressió de la funció $B'(t)$, que representa el ritme de variació del benefici.

1. b) Calcula el valor de la derivada als 5 mesos del seu llançament i interpreta el resultat obtingut en termes econòmics.

Calcula la derivada de la funció racional següent utilitzant la regla del quocient:

Indica per a quins valors de $x$ no existeix la derivada d'aquesta funció basant-te en el seu domini.

Es considera la funció $f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x^2 + 1}$.

1. a) Calcula la seva funció derivada $f'(x)$ simplificant l'expressió al màxim.

1. b) Determina si existeix algun punt en què la corba tingui una tangent horitzontal (pendent nul). En cas afirmatiu, indica les coordenades d'aquest punt.

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x^2 + k}{x - 1}$, calcula el valor de la constant $k$ sabent que el pendent de la recta tangent a la gràfica de $f(x)$ en el punt d'abscissa $x = 2$ és igual a $-3$. Un cop trobat $k$, escriu l'equació completa d'aquesta recta tangent.

Aplica la regla de la cadena per trobar la derivada de les funcions compostes següents:

1. a) $f(x) = (2x^2 + 1)^4$

1. b) $g(x) = \ln(5x - 2)$

1. c) $h(x) = e^{3x^2}$

Donada la funció $f(x) = \sqrt{x^2 + 9}$, calcula la seva derivada utilitzant la regla de la cadena. Un cop obtinguda, troba el valor del pendent de la recta tangent a la corba en el punt $x = 4$.

Considera la corba $y = x^3 - 6x^2 + 4$ i la recta $r: y = -9x + 2$.

1. a) Troba els punts de la corba en què la recta tangent és paral·lela a la recta $r$.

1. b) Escriu les equacions de les rectes tangents a la corba en aquests punts.

Donada la funció $f(x) = x^2 \cdot \ln(x)$, calcula:

1. a) La primera derivada $f'(x)$.

1. b) La segona derivada $f''(x)$.

1. c) L'equació de la recta normal a la gràfica en el punt d'abscissa $x = e$. (Recorda que la recta normal és perpendicular a la tangent en el punt de contacte).

Aplica la tècnica de la derivació logarítmica per trobar l'expressió de la funció derivada de:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\ln(x)}$

Calcula la funció derivada de l'expressió següent utilitzant la tècnica de derivació logarítmica. Tingues en compte que la base i l'exponent són funcions de $x$:

Indica tots els passos intermedis, aplicant correctament les propietats dels logaritmes abans de derivar.

Dada la funció racional $f(x) = \frac{1}{2x - 3}$, obtén una expressió general per a la seva derivada n-èsima, $f^{(n)}(x)$.

Per a fer-ho, calcula les derivades d'ordre 1, 2, 3 i 4, identifica el patró numèric i de signes, i escriu-lo en funció de $n$ i el factorial $n!$.