Un taller fabrica dos models de motxilla amb els mateixos dos operaris i les mateixes hores de taller. Quantes motxilles de cada model convé fabricar per guanyar el màxim possible? Aquesta pregunta —repartir uns recursos limitats entre dues activitats per maximitzar un benefici o minimitzar un cost— és un problema de programació lineal. Ja saps plantejar restriccions, dibuixar la regió factible i trobar-ne els vèrtexs; en aquest apartat ho ajuntes tot amb la funció objectiu, la quantitat que vols maximitzar o minimitzar, per resoldre el problema complet de principi a fi.
L'obrador del menjador escolar prepara pans de pessic ($x$) i magdalenes ($y$) per a la setmana cultural, amb les dades que es resumeixen a la figura. Disposa de $40$…
L'obrador del menjador escolar prepara pans de pessic ($x$) i magdalenes ($y$) per a la setmana cultural, amb les dades que es resumeixen a la figura.
Disposa de $40$ ous i de $25$ motlles per enfornar: cada pa de pessic utilitza $2$ ous i cada magdalena, $1$, i cada peça necessita un motlle. El benefici és de $1\ \text{€}$ per pa de pessic i de $0,75\ \text{€}$ per magdalena (treballa amb la funció objectiu en cèntims d'euro, $F(x, y) = 100x + 75y$).
a) Planteja el sistema de restriccions.
b) Troba els vèrtexs de la regió factible.
c) Determina quantes peces de cada tipus maximitzen el benefici i calcula aquest benefici.
Un taller tèxtil fabrica motxilles urbanes ($x$) i motxilles de muntanya ($y$). La taula resumeix els minuts que cada model necessita a cada secció i els minuts…
Un taller tèxtil fabrica motxilles urbanes ($x$) i motxilles de muntanya ($y$). La taula resumeix els minuts que cada model necessita a cada secció i els minuts disponibles al dia:
Secció
Urbana
Muntanya
Disponible
Tall
$2$
$3$
$240$
Costura
$3$
$2$
$210$
El benefici és de $12\ \text{€}$ per motxilla urbana i de $15\ \text{€}$ per motxilla de muntanya.
a) Planteja el sistema de restriccions.
b) Troba els vèrtexs de la regió factible.
c) Determina la producció diària que maximitza el benefici i el seu valor.
Una escola de dansa obre dos nivells nous: iniciació ($x$ grups) i avançat ($y$ grups). Només disposa de $8$ franges horàries setmanals, i cada grup d'iniciació té $14$…
Una escola de dansa obre dos nivells nous: iniciació ($x$ grups) i avançat ($y$ grups). Només disposa de $8$ franges horàries setmanals, i cada grup d'iniciació té $14$ alumnes i cada grup avançat, $10$, amb un màxim de $100$ alumnes en total. La quota mensual és de $50\ \text{€}$ en iniciació i de $40\ \text{€}$ en avançat.
a) Planteja les restriccions.
b) Determina quants grups de cada nivell maximitzen els ingressos mensuals i calcula l'ingrés màxim.
Els problemes de maximitzar solen venir d'una empresa amb recursos limitats (matèria primera, hores de treball, espai) que vol treure'n el màxim partit econòmic possible.
Practica★★★Sense començar
(Model d'examen.)* Una empresa envasa suc natural ($x$ litres) i suc de concentrat ($y$ litres). Cada litre de natural necessita $3$ kg de taronja, $1$ kg de mango i $2$…
(Model d'examen.) Una empresa envasa suc natural ($x$ litres) i suc de concentrat ($y$ litres). Cada litre de natural necessita $3$ kg de taronja, $1$ kg de mango i $2$ minuts de línia d'envasament; cada litre de concentrat, $2$ kg de taronja, $2$ kg de mango i $2$ minuts de línia. Diàriament es disposa de $120$ kg de taronja, $50$ kg de mango i $70$ minuts de línia (restriccions: $3x + 2y \leq 120$, $x + 2y \leq 50$, $x + y \leq 35$). El benefici és de $4\ \text{€}$ per litre de natural i de $5\ \text{€}$ per litre de concentrat.
a) Troba els vèrtexs de la regió factible.
b) Determina la producció diària de benefici màxim.
c) En la producció òptima, sobra algun recurs? Calcula quina quantitat sobra de cadascun.
En un hort urbà compartit es plantaran tomateres ($x$) i enciams ($y$), amb les dades que es resumeixen a la figura. Cada tomatera ocupa $1\ \text{m}^2$ i cada enciam,…
En un hort urbà compartit es plantaran tomateres ($x$) i enciams ($y$), amb les dades que es resumeixen a la figura.
Cada tomatera ocupa $1\ \text{m}^2$ i cada enciam, $0,5\ \text{m}^2$, i n'hi ha $12\ \text{m}^2$ disponibles (escriu la restricció com a $2x + y \leq 24$). El reg setmanal és de $3$ litres per tomatera i $1$ litre per enciam, amb un màxim de $30$ litres. S'estima un valor de collita de $5\ \text{€}$ per tomatera i de $2\ \text{€}$ per enciam.
a) Planteja el sistema de restriccions.
b) Calcula els vèrtexs de la regió factible.
c) Troba la plantació que maximitza el valor de la collita.
En els problemes de minimitzar, les restriccions solen ser de tipus $\geq$ (mínims que cal cobrir: nutrients, places, hores d'atenció), i busques el vèrtex de menor cost, no de major. La regió, en tenir restriccions $\geq$, sol ser no acotada cap amunt, però això no impedeix que hi hagi un mínim.
Practica★★☆Sense començar
Un nutricionista esportiu combina barretes energètiques ($x$) i batuts ($y$) per a la dieta d'un ciclista. La pauta exigeix un mínim de $60$ unitats de carbohidrats…
Un nutricionista esportiu combina barretes energètiques ($x$) i batuts ($y$) per a la dieta d'un ciclista. La pauta exigeix un mínim de $60$ unitats de carbohidrats (cada barreta n'aporta $4$ i cada batut, $3$) i de $30$ unitats de proteïna (cada barreta n'aporta $3$ i cada batut, $1$). Cada barreta costa $3\ \text{€}$ i cada batut, $2\ \text{€}$.
a) Planteja el sistema de restriccions i representa la regió factible.
b) Troba els seus vèrtexs.
c) Calcula la combinació setmanal de cost mínim que compleix la pauta.
Un col·legi organitza l'excursió de fi de curs i contracta furgonetes de $9$ places ($x$) i minibusos de $18$ places ($y$). S'han de transportar com a mínim $180$…
Un col·legi organitza l'excursió de fi de curs i contracta furgonetes de $9$ places ($x$) i minibusos de $18$ places ($y$). S'han de transportar com a mínim $180$ alumnes i l'empresa només disposa de $14$ vehicles en total. Cada furgoneta costa $60\ \text{€}$ i cada minibus, $150\ \text{€}$.
a) Planteja el sistema de restriccions.
b) Troba els vèrtexs de la regió factible.
c) Determina quants vehicles de cada tipus minimitzen el cost i calcula aquest cost mínim.
Alguns enunciats amaguen una restricció dins d'una frase que no és una simple suma o un simple mínim: proporcions («el doble de», «no més del triple de») o relacions entre les dues variables. Cal traduir-les amb cura abans de continuar.
Practica★★☆Sense començar
Una botiga de barri organitza els seus torns de dissabte: $x$ empleats al matí i $y$ a la tarda. Necessita almenys $4$ empleats al matí i $3$ a la tarda; el conveni no…
Una botiga de barri organitza els seus torns de dissabte: $x$ empleats al matí i $y$ a la tarda. Necessita almenys $4$ empleats al matí i $3$ a la tarda; el conveni no permet més de $12$ empleats en total, i el torn de tarda no pot tenir més del doble de persones que el de matí. La venda esperada per empleat és de $300\ \text{€}$ al matí i de $400\ \text{€}$ a la tarda.
a) Planteja el sistema de restriccions.
b) Troba els vèrtexs de la regió factible.
c) Determina la distribució de torns que maximitza la venda esperada.
Una cooperativa produeix quantitats divisibles x i y de dues mescles. Té restriccions $x,y\ge0$, $x+y\le5$ i $2x+y\le8$; el marge és $F=3x+2y$. Dibuixa les quatre inequacions amb una eina gràfica. En un full de càlcul amb optimitzador lineal, reserva dues cel·les per a x i y, una tercera per a =3*x+2*y (substitueix x i y per les seves referències) i unes altres per a les restriccions. Maximitza $F$ seleccionant un mètode lineal i les quatre restriccions. Prediu primer el vèrtex guanyador.
L'esquema mostra la recta de nivell que toca el polígon a l'òptim:
Canvia el coeficient 3 de x per c. Amb $c=1$ l'òptim és $(0,5)$; amb $c=2$ tot el costat de $(0,5)$ a $(3,2)$ és òptim; amb $c=5$ ho és $(4,0)$. Conjectura els llindars i demostra'ls comparant valors als vèrtexs; comprova també $c=4$. Lliura taula, gràfic, sortida i prova.
Algorisme alternatiu: enumera parells de fronteres, resol cada sistema si el seu determinant no és zero, descarta els encreuaments que incompleixin restriccions i avalua F en els restants. Modifica'l per conservar tots els empats i prova una regió buida. Aquest algorisme de vèrtexs només resol per si sol el cas acotat no buit; en regions no acotades cal estudiar direccions de creixement. Si les quantitats han de ser enteres, afegeix aquesta condició: arrodonir una solució contínua pot incomplir restriccions o perdre l'òptim.
A practicar! 10 exercicis de nivell mitjà en aquest apartat