Primitiva d'una funció
Una empresa coneix el seu cost marginal: el que costa produir una unitat més. El que de debò li interessa és el cost total. Passar de l'un a l'altre és exactament el problema que aprendràs a resoldre: et donen una derivada i has de recuperar la funció de la qual ve. És la mateixa taula de derivades de sempre, llegida en sentit contrari.
Derivar al revés: què és una primitiva
Donada la funció $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$, comprova raonadament si la funció $F(x) = x^4 - 3x^2 + x + 5$ és una de les seves primitives. Per fer-ho, utilitza la definició…
Donada la funció $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$, comprova raonadament si la funció $F(x) = x^4 - 3x^2 + x + 5$ és una de les seves primitives. Per fer-ho, utilitza la definició de primitiva basada en la derivació.
Donada la funció $f(x) = \dfrac{6x}{x^2+3} + 4e^{2x}$, comprova si la funció $F(x) = 3 \ln(x^2+3) + 2e^{2x} + \pi$ és una de les seves primitives. Justifica la teva…
Donada la funció $f(x) = \dfrac{6x}{x^2+3} + 4e^{2x}$, comprova si la funció $F(x) = 3 \ln(x^2+3) + 2e^{2x} + \pi$ és una de les seves primitives. Justifica la teva resposta utilitzant la definició de primitiva i explica quin paper juga la constant $\pi$ en aquest context.
La família de primitives: la constant $C$
Per quedar-te amb una primitiva concreta de tota la família, n'hi ha prou amb una dada extra: un punt pel qual passi.
Troba el conjunt de totes les primitives de la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Recorda incloure la constant d'integració $C$ i explicar què representa…
Troba el conjunt de totes les primitives de la funció polinòmica $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$. Recorda incloure la constant d'integració $C$ i explicar què representa geomètricament aquest valor en el gràfic de les funcions resultants.
Determina la funció $F(x)$ la derivada de la qual és $f(x) = \sqrt{x}$ i que compleix la condició que $F(1) = 2$. Expressa el resultat final amb l'exponent en forma de…
Determina la funció $F(x)$ la derivada de la qual és $f(x) = \sqrt{x}$ i que compleix la condició que $F(1) = 2$. Expressa el resultat final amb l'exponent en forma de fracció.
De la variació al total: cost, ingrés, posició
Al departament de màrqueting d'una coneguda marca de sabatilles, han determinat que l'ingrés marginal (la derivada de l'ingrés total) ve donat per la funció…
Al departament de màrqueting d'una coneguda marca de sabatilles, han determinat que l'ingrés marginal (la derivada de l'ingrés total) ve donat per la funció $I'(x) = 100 - 4x$, on $x$ representa el nombre d'unitats venudes. Calcula la funció d'ingrés total $I(x)$ sabent que si no es ven cap unitat, l'ingrés és zero ($I(0) = 0$).
Un dron es desplaça de manera que la seva velocitat en metres per segon segueix la funció $v(t) = 2t + 3$. Si en l'instant inicial ($t = 0$) el dron es troba en la…
Un dron es desplaça de manera que la seva velocitat en metres per segon segueix la funció $v(t) = 2t + 3$. Si en l'instant inicial ($t = 0$) el dron es troba en la posició $s = 10$ metres, obtén la funció de posició $s(t)$ integrant la funció de velocitat.
Un dron de vigilància es desplaça de forma lineal i la seva velocitat en metres per segon, transcorreguts $t$ segons, ve donada per la funció $v(t) = 3t^2 - 6t + 10$.…
Un dron de vigilància es desplaça de forma lineal i la seva velocitat en metres per segon, transcorreguts $t$ segons, ve donada per la funció $v(t) = 3t^2 - 6t + 10$. Sabent que en l'instant inicial ($t=0$) el dron es troba a una distància de 15 metres del punt de control, troba l'expressió de la funció de posició $s(t)$.
Condicions que fixen una primitiva: punts, pendents i extrems
Com més dades et donen (un punt, un pendent en un altre punt, un extrem), més condicions pots plantejar per aïllar també paràmetres que apareguessin dins de $f$, no només la constant $C$.
La derivada d'una funció $f(x)$ és $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$. Troba l'expressió de $f(x)$ sabent que la seva gràfica talla l'eix d'ordenades (eix $Y$) en el punt $y = 7$.
La derivada d'una funció $f(x)$ és $f'(x) = 6x^2 - 10x + 1$. Troba l'expressió de $f(x)$ sabent que la seva gràfica talla l'eix d'ordenades (eix $Y$) en el punt $y = 7$.
De totes les primitives de la funció $f(x) = \dfrac{2}{x-2} + 3x^2$, troba aquella la gràfica de la qual passa pel punt $(3, 10)$. Expressa el resultat de forma…
De totes les primitives de la funció $f(x) = \dfrac{2}{x-2} + 3x^2$, troba aquella la gràfica de la qual passa pel punt $(3, 10)$. Expressa el resultat de forma simplificada utilitzant logaritmes neperians.
Una empresa de logística ha calculat que el cost marginal de mantenir un paquet al seu magatzem central (en euros per dia) depèn del temps $t$ (en dies) segons la…
Una empresa de logística ha calculat que el cost marginal de mantenir un paquet al seu magatzem central (en euros per dia) depèn del temps $t$ (en dies) segons la funció:
$$C'(t) = \frac{4t^2}{2t+1}$$Calcula la funció de cost total $C(t)$ si es sap que els costos fixos d'entrada al magatzem (cost en $t=0$) ascendeixen a $50$ euros.
Nota: Fes la divisió polinòmica prèvia per obtenir una integral immediata o gairebé immediata.
Torna al principi: Si una empresa té un cost marginal $C'(x) = 4x + 10$ i uns costos fixos de $100$ € ($C(0) = 100$), el seu cost total és la primitiva que compleix aquesta condició: $C(x) = 2x^2 + 10x + 100$.