Exercicis: Successos

Un estudiant de 2n de Batxillerat està organitzant les seues carpetes digitals d'apunts. A la seua carpeta d'"Economia" té 12 arxius PDF, 8 documents de text i 5 esquemes en format imatge. Si tria un arxiu a l'atzar per repassar-lo abans d'un examen, determina:

1. a) L'espai mostral de l'experiment.

1. b) La probabilitat que l'arxiu triat siga un esquema en format imatge.

1. c) La probabilitat que l'arxiu triat no siga un document de text.

En una classe de 2n de Batxillerat, s'ha realitzat una enquesta sobre l'ús de xarxes socials. Es sap que el succés $A$ és "utilitzar Instagram" i el succés $B$ és "utilitzar TikTok". Defineix mitjançant operacions de successos (unió, intersecció o complementari) les situacions següents:

1. a) L'alumne utilitza totes dues xarxes socials.
2. b) L'alumne utilitza almenys una de les dues xarxes.
3. c) L'alumne no utilitza Instagram.
4. d) L'alumne utilitza Instagram però no TikTok.

Considera dos successos $A$ i $B$ associats a un experiment aleatori. Si sabem que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ i $P(A \cap B) = 0,2$, calcula les probabilitats següents:

1. a) $P(A \cup B)$

1. b) $P(\bar{A})$ (probabilitat del succés contrari d'$A$).

1. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilitzant les Lleis de Morgan.

El diagrama de Venn recull només les dades de l'enunciat.

Un equip d'e-sports té a la seva plantilla jugadors de tres nacionalitats: 5 espanyols, 3 francesos i 2 italians. Si es selecciona a l'atzar un capità per al pròxim torneig, calcula:

1. a) La probabilitat que sigui francès.
2. b) La probabilitat que no sigui espanyol.
3. c) Són els successos "ser espanyol" i "ser italià" compatibles o incompatibles? Justifica la teva resposta.

Donats dos successos $M$ i $N$ tals que són incompatibles entre si, amb $P(M) = 0,35$ i $P(N) = 0,45$, troba la probabilitat que:

1. a) Ocorri el succés $M$ o el succés $N$.
2. b) No ocorri cap dels dos successos.
3. c) Ocorrin $M$ i $N$ simultàniament.

En una plataforma de streaming, el $70\%$ dels usuaris veu sèries d'acció ($S$), el $40\%$ veu documentals ($D$) i el $25\%$ veu tots dos tipus de contingut. Calcula la probabilitat que un usuari triat a l'atzar:

1. a) Vegi sèries d'acció o documentals.

1. b) No vegi cap d'aquests dos continguts.

Siguin $A$ i $B$ dos successos tals que $P(A) = 0,5$, $P(\bar{B}) = 0,7$ i $P(A \cup B) = 0,65$. Calcula la probabilitat de la intersecció $P(A \cap B)$ i determina si els successos són compatibles.

Extraiem una bola d'una urna que conté 10 boles numerades de l'1 al 10. Considerem els successos:

$A = \{ \text{treure un nombre parell} \}$

$B = \{ \text{treure un nombre múltiple de 3} \}$

1. a) Escriu els elements que formen els successos $A \cup B$ i $A \cap B$.
2. b) Calcula $P(A \cup B)$ utilitzant la Regla de Laplace sobre el recompte dels seus elements.
3. c) Comprova el resultat anterior aplicant la fórmula $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

En un institut de secundària, el departament d'orientació analitza les opcions de matrícula a 2n de Batxillerat respecte a dues matèries optatives: Francès ($F$) i Tecnologies de la Informació ($T$). Se sap que el $30\,\%$ de l'alumnat cursa Francès, el $45\,\%$ cursa Tecnologies de la Informació i el $15\,\%$ cursa totes dues.

L'Alejandro, per calcular la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar no cursi cap de les dues matèries, escriu al seu examen:

1. a) Identifica l'error conceptual que ha comès l'Alejandro amb les lleis de De Morgan o les operacions amb esdeveniments i explica raonadament per què la seva fórmula no és correcta.
2. b) Corregeix el procediment i calcula el valor real de $P(\overline{F} \cap \overline{T})$.
3. c) A partir de les dades, justifica si els esdeveniments $F$ i $T$ són compatibles o incompatibles, i si són esdeveniments contraris.

A partir de les dades de l'Enquesta sobre Equipament i Ús de Tecnologies d'Informació a les Llars de l'INE, s'estima que entre els joves de 16 a 24 anys a Espanya el $92\,\%$ utilitza xarxes socials diàriament (esdeveniment $R$) i el $68\,\%$ accedeix a plataformes de banca digital o moneders mòbils (esdeveniment $B$). A més, el $65\,\%$ afirma fer ambdues accions diàriament.

Si se selecciona a l'atzar una persona d'aquest col·lectiu:

1. a) Expressa formalment amb operacions d'esdeveniments ($R$, $B$ i els seus complementaris) cadascuna de les situacions següents:

i) Utilitza xarxes socials diàriament però no banca digital.

ii) No fa diàriament cap de les dues activitats.

iii) Fa diàriament almenys una de les dues activitats.

1. b) Calcula la probabilitat de cadascun dels tres esdeveniments de l'apartat anterior.
2. c) Justifica formalment si els esdeveniments «utilitzar xarxes socials diàriament» i «utilitzar banca digital diàriament» són esdeveniments contraris, indicant les dues condicions que haurien de complir per ser-ho.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un mateix experiment aleatori dels quals es coneixen les probabilitats següents: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ i $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

Basant-te en les propietats de la probabilitat i les lleis de De Morgan, calcula:

1. a) La probabilitat de la unió dels successos, $P(A \cup B)$.
2. b) La probabilitat de la intersecció, $P(A \cap B)$.
3. c) Indica raonadament si els successos $A$ i $B$ són compatibles o incompatibles.

En un estudi sobre el consum de continguts digitals entre joves de 16 anys, s'ha detectat que el $70 \%$ utilitza la plataforma StreamVibe i el $45 \%$ utilitza CloudMusic. A més, es sap que un $25 \%$ dels joves no utilitza cap de les dues plataformes. Si triem un jove a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que utilitzi totes dues plataformes.
2. b) La probabilitat que utilitzi només StreamVibe.
3. c) La probabilitat que utilitzi CloudMusic però no StreamVibe.

Disposem de la taula de contingència parcial següent que mostra la distribució d'un grup de 120 alumnes de Batxillerat segons la seva participació en activitats extraescolars (Esport o Música):

1. a) Completa la taula de contingència a la teva llibreta.
2. b) Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar no faci cap de les dues activitats.
3. c) Són els successos "Participar en Música" i "Participar en Esport" independents? Justifica la teva resposta matemàticament.

Un estudiant de 2n de Batxillerat ha preparat 18 dels 25 temes de què consta el temari de Geografia. A l'examen final, el professor tria dos temes a l'atzar (sense reemplaçament). Calcula:

1. a) La probabilitat que l'alumne se sàpiga tots dos temes.
2. b) La probabilitat que no se'n sàpiga cap.
3. c) La probabilitat que se sàpiga almenys un dels dos temes seleccionats.

Siguin $A$ i $B$ dos successos tals que $P(A) = 0,4$ i $P(B) = 0,3$. Calcula la probabilitat de la unió $P(A \cup B)$ en cadascun dels supòsits següents:

1. a) $A$ i $B$ són successos incompatibles.
2. b) $A$ i $B$ són successos independents.
3. c) El succés $B$ està contingut en el succés $A$ ($B \subset A$).

En un joc de rol, un jugador ha de superar dues proves consecutives. La probabilitat de superar la primera prova és de $0,7$. Si supera la primera, la probabilitat de superar la segona és de $0,8$, però si falla la primera, la probabilitat de superar la segona cau a $0,4$.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre que representi aquesta situació.
2. b) Calcula la probabilitat que el jugador superi totes dues proves.
3. c) Calcula la probabilitat que el jugador superi només una de les dues proves.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

D'una baralla espanyola de 40 cartes s'extreuen dues cartes de manera successiva i sense retornar la primera a la baralla. Determina les probabilitats següents:

1. a) Que les dues cartes siguin figures (Sota, Cavall o Rei).
2. b) Que la primera carta sigui un As i la segona sigui un Rei.
3. c) Que almenys una de les dues cartes sigui d'Oros.

Considera els successos $A$ i $B$ tals que $P(A) = 0,5$, $P(B|A) = 0,4$ i $P(A \cup B) = 0,65$. A partir d'aquestes dades:

1. a) Troba el valor de la probabilitat de la intersecció $P(A \cap B)$.
2. b) Calcula el valor de $P(B)$.
3. c) Determina raonadament si els successos $A$ i $B$ són independents.

Segons els registres climatològics de l'AEMET per a una capital del nord d'Espanya el mes de novembre, la probabilitat que un dia qualsevol plogui és $P(L) = 0{,}70$ i la probabilitat que es registrin ràfegues de vent fort és $P(V) = 0{,}50$. Així mateix, la probabilitat que un dia no presenti pluja ni vent fort és $P(\overline{L} \cap \overline{V}) = 0{,}10$.

1. a) Abans de calcular cap valor exacte, fes una estimació raonada: pot ser la probabilitat que plogui i faci vent alhora, $P(L \cap V)$, menor que $0{,}20$? Justifica la teva estimació deduint una cota inferior obligatòria a partir de la suma $P(L) + P(V)$ i el fet que una probabilitat mai no pot superar $1$.
2. b) Fent servir les lleis de De Morgan i les propietats de l'addició de probabilitats, calcula el valor exacte de la unió $P(L \cup V)$ i de la intersecció $P(L \cap V)$.
3. c) Comprova si el resultat obtingut confirma la teva estimació prèvia i calcula la probabilitat que en un dia de novembre es produeixi exactament un dels dos fenòmens meteorològics (pluja sense vent fort, o vent fort sense pluja).

Una flota de furgonetes de repartiment de comerç electrònic opera a l'àrea metropolitana de València. En una jornada de treball, la probabilitat que un vehicle pateixi una avaria mecànica és $P(M) = 0{,}18$ i la que pateixi un retard greu per retencions de trànsit és $P(T) = 0{,}32$. Se sap a més que la probabilitat que experimenti almenys un d'aquests dos problemes és $P(M \cup T) = 0{,}40$.

Es vol calcular la probabilitat que un vehicle finalitzi la jornada patint com a molt (com a màxim) una de les dues incidències.

1. a) Desenvolupa el càlcul seguint el Mètode 1: definir l'esdeveniment demanat com el complementari de patir ambdós problemes simultàniament, aplicant la relació amb l'esdeveniment contrari.
2. b) Desenvolupa el càlcul seguint el Mètode 2: descompondre l'esdeveniment en la unió de tres esdeveniments incompatibles (només avaria, només trànsit, o cap de les dues incidències) i sumar-ne les probabilitats utilitzant la diferència d'esdeveniments i les lleis de De Morgan.
3. c) Compara ambdós mètodes: comprova que donen el mateix resultat i argumenta quin dels dos camins consideres més eficient i segur de cara a una prova d'accés a la universitat, justificant la teva elecció.

En una plataforma de reproducció en línia, s'ha observat que el $65\%$ dels usuaris meors de 20 anys veu sèries d'animació (succés $A$) i el $40\%$ veu documentals de natura (succés $D$). A més, es sap que la probabilitat que un usuari no vegi sèries d'animació sabent que no veu documentals de natura és de $0,5$.

Calcula raonadament:

1. a) La probabilitat que un usuari vegi tots dos tipus de contingut.
2. b) La probabilitat que un usuari vegi sèries d'animació però no documentals de natura.
3. c) Són els successos $A$ i $D$ independents? Justifica la teva resposta utilitzant els resultats anteriors.

Un equip de desenvolupadors de videojocs està analitzant els errors (bugs) de la seva última versió. Han classificat els errors en tres categories: Crítics ($C$), Gràfics ($G$) i de So ($S$). Després d'un test massiu, s'han obtingut les dades següents:

• El $10\%$ dels errors són dels tres tipus alhora.

• La probabilitat que un error sigui Crític és $P(C) = 0,4$.

• La probabilitat que sigui Gràfic és $P(G) = 0,5$.

• La probabilitat que sigui de So és $P(S) = 0,35$.

• La probabilitat que un error sigui Crític i Gràfic és $0,2$.

• La probabilitat que sigui Gràfic i de So és $0,15$.

• La probabilitat que un error no pertanyi a cap d'aquestes tres categories és $0,2$.

Calcula la probabilitat que un error seleccionat a l'atzar sigui:

1. a) Crític i de So.
2. b) Exclusivament un error Gràfic.
3. c) De so, sabent que no és Crític ni Gràfic.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que les seves probabilitats són $P(A) = x$ i $P(B) = y$. Es sap que el succés unió té una probabilitat $P(A \cup B) = 0,75$ i que el succés intersecció compleix $P(A \cap B) = 0,15$.

Si a més es coneix que la probabilitat que ocorri $A$ condicionada a la no ocorrència de $B$ és $P(A | \bar{B}) = 0,5$, determina els valors de $x$ i $y$. Són $A$ i $B$ successos compatibles? Són independents?

En un campionat d'E-sports, s'analitzen les jugades d'un pro-player. Es defineixen els successos $K$ (aconseguir una baixa) i $W$ (guanyar la ronda). L'analista determina que:

• La probabilitat de guanyar la ronda havent aconseguit una baixa és $P(W|K) = 0,8$.

• La probabilitat de guanyar la ronda sense haver aconseguit baixes és $P(W|\bar{K}) = 0,3$.

• La probabilitat que en una ronda passi que el jugador guanyi o aconsegueixi una baixa és $0,85$.

Utilitzant l'àlgebra de successos, calcula:

1. a) La probabilitat que el jugador aconsegueixi una baixa en una ronda, $P(K)$.
2. b) La probabilitat que el jugador guanyi la ronda i no aconsegueixi cap baixa.
3. c) Demostra si els successos "guanyar la ronda" i "aconseguir una baixa" són dependents o independents.

Demostra, utilitzant les propietats de la probabilitat i les lleis de Morgan, la veracitat o falsedat de la següent afirmació:

"Si $A$ i $B$ són dos successos incompatibles amb probabilitats no nul·les, aleshores sempre es compleix que $P(\bar{A} | B) = 1$".

Acompanya el teu raonament amb un exemple numèric original on $P(A) = 0,3$ i $P(B) = 0,4$.

Un sistema de ciberseguretat té dues barreres de protecció independents, $B_1$ i $B_2$. La probabilitat que un atac extern superi la primera barrera és $P(B_1) = 0,15$ i la probabilitat que superi la segona és $P(B_2) = 0,10$.

Calcula la probabilitat que un atac:

1. a) Superi almenys una de les dues barreres.
2. b) Superi exactament una de les barreres.
3. c) No sigui detectat per cap barrera, sabent que l'atac ha aconseguit superar la primera protecció.

En un estudi sobre l'ús de xarxes socials, se seleccionen dos estudiants de 2n de Batxillerat de manera consecutiva i sense reemplaçament. Se sap que el $60\%$ dels alumnes del centre utilitza la xarxa social X.

Si la probabilitat que el segon alumne seleccionat utilitzi la xarxa social X, sabent que el primer la utilitza, és de $35/59$, determina el nombre total d'alumnes de 2n de Batxillerat que hi ha en aquest centre.

Considera tres successos $A$, $B$ i $C$ tals que $A$ i $B$ són independents, i $A$ i $C$ són incompatibles. Es coneixen les probabilitats següents:

$P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$; $P(C) = 0,2$ i $P(B \cap C) = 0,1$.

Troba la probabilitat dels successos compostos següents:

1. a) $P(A \cup B \cup C)$

1. b) $P((A \cap B) \cup C)$

1. c) $P(A \mid \bar{C})$

Un analista financer dissenya un model per avaluar dos factors de risc creditici en pimes, el factor $A$ (manca de liquiditat immediata) i el factor $B$ (caiguda acusada de vendes). El model inicial exigeix complir dues condicions fixes:

• La probabilitat que una empresa no presenti cap dels dos factors de risc és $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}25$.

• La probabilitat de presentar únicament el factor $A$ és el doble de la probabilitat de presentar únicament el factor $B$; és a dir, $P(A \cap \overline{B}) = 2 \cdot P(\overline{A} \cap B)$.

1. a) Si les dades preliminars fixen la probabilitat que concorrin ambdós factors alhora en $P(A \cap B) = 0{,}15$, reconstrueix raonadament els valors individuals de $P(A)$ i $P(B)$.
2. b) Planteja i resol el següent problema invers: determina quins valors haurien de prendre $P(A)$ i $P(B)$ si s'imposa la restricció que els factors de risc $A$ i $B$ siguin totalment incompatibles, mantenint les dues condicions inicials del model.
3. c) Demostra si és possible o impossible que $P(A \cap B) = 0{,}80$ sota les condicions inicials de l'enunciat i dedueix el valor màxim que podria assolir teòricament $P(A \cap B)$. Justifica la teva resposta en termes d'inclusió d'esdeveniments.

Un informe d'un observatori social sobre consum responsable en joves de 18 a 25 anys a Espanya ofereix les següents dades mostrals:

• El $70\,\%$ adquireix habitualment peces de roba de segona mà o de confecció ètica (esdeveniment $S$).

• El $55\,\%$ consumeix habitualment aliments ecològics o de proximitat (esdeveniment $E$).

Durant una entrevista, el portaveu de l'entitat afirma davant dels mitjans: «Segons els nostres càlculs, almenys un $40\,\%$ dels joves no fa cap d'aquestes dues pràctiques sostenibles».

1. a) Tradueix les afirmacions de l'informe i les declaracions del portaveu al llenguatge formal d'esdeveniments i probabilitats.
2. b) Aplicant rigorosament les lleis de De Morgan i els axiomes de la probabilitat, demostra si la declaració del portaveu és matemàticament coherent amb les dades de l'informe o si conté una contradicció insalvable.
3. c) Suposant certs els percentatges de l'informe ($P(S) = 0{,}70$ i $P(E) = 0{,}55$), determina l'interval tancat exacte $[p_{\min}, p_{\max}]$ en el qual s'ha de trobar la probabilitat de fer ambdues pràctiques alhora, $P(S \cap E)$, perquè el model sigui matemàticament coherent. Explica quin significat té cadascun dels extrems de l'interval respecte a la inclusió o relació mútua entre ambdós esdeveniments.