Definiciones

El club de teatro de un instituto decide sortear tres entradas para su estreno entre el público asistente. Para ello, utiliza un bombo con bolas numeradas del $1$ al $20$. Se considera el experimento aleatorio de extraer una bola y anotar su número.

Define los siguientes elementos:

1. a) El espacio muestral $E$.
2. b) El suceso $A$: "obtener un número que sea múltiplo de $5$".
3. c) El suceso $B$: "obtener un número primo mayor que $10$".
4. d) El suceso $C$: "obtener un número menor que $4$".

Escribe todos los sucesos elementales que forman cada uno de los conjuntos anteriores.

En una urna hay $12$ bolas de colores: $5$ son rojas, $4$ son azules y $3$ son amarillas. Extraemos una bola al azar y observamos su color. Utilizando la Regla de Laplace, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) $P(R)$: "la bola sea roja".
2. b) $P(A \cup M)$: "la bola sea azul o amarilla".
3. c) $P(\bar{R})$: "la bola no sea roja".
4. d) $P(V)$: "la bola sea verde".

Una aplicación de música ha analizado las preferencias de un grupo de jóvenes. Se sabe que la probabilidad de que a un usuario le guste el Trap es $P(T) = 0,65$, la probabilidad de que le guste el Pop es $P(P) = 0,40$ y la probabilidad de que le gusten ambos géneros es $P(T \cap P) = 0,15$.

Calcula la probabilidad de que, al elegir un usuario al azar:

1. a) Le guste el Trap o el Pop.
2. b) No le guste el Trap.
3. c) Le guste el Trap pero no el Pop ($P(T - P)$).

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ de los suscriptores ha visto la última temporada de una serie de ciencia ficción ($S$), el $40\ \%$ ha visto un documental sobre naturaleza ($D$) y el $25\ \%$ ha visto ambos contenidos. Si seleccionamos un usuario al azar, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Que haya visto la serie o el documental.

b) Que no haya visto ni la serie ni el documental.

c) Que haya visto la serie pero no el documental.

Indica razonadamente si las siguientes asignaciones de probabilidad para un espacio muestral $E = \{x_1, x_2, x_3\}$ son válidas según los axiomas de Kolmogorov:

1. a) $P(x_1) = 0,4; \quad P(x_2) = 0,3; \quad P(x_3) = 0,3$
2. b) $P(x_1) = 0,7; \quad P(x_2) = -0,1; \quad P(x_3) = 0,4$
3. c) $P(x_1) = 0,5; \quad P(x_2) = 0,5; \quad P(x_3) = 0,2$
4. d) $P(x_1) = 1; \quad P(x_2) = 0; \quad P(x_3) = 0$

Se ha realizado una encuesta a los alumnos de un instituto sobre el uso de redes sociales. Se sabe que la probabilidad de que un alumno use Instagram ($I$) es $P(I) = 0,82$ y la probabilidad de que use TikTok ($T$) es $P(T) = 0,55$. Si la probabilidad de que no use ninguna de las dos es $P(\bar{I} \cap \bar{T}) = 0,10$, utiliza las Leyes de Morgan para calcular:

a) La probabilidad de que use al menos una de las dos redes sociales.

b) La probabilidad de que use ambas simultáneamente.

c) ¿Son los sucesos "usar Instagram" y "usar TikTok" incompatibles? Razona la respuesta.

Dados dos sucesos $A$ y $B$ asociados a un mismo experimento aleatorio, sabemos que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. Además, se conoce que $P(A) = 0,5$ y que la probabilidad de que ocurra $A$ pero no ocurra $B$ es $P(A - B) = 0,3$.

Calcula de forma razonada, utilizando las propiedades de la probabilidad y las leyes de Morgan:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(B)$
4. d) $P(\bar{A} \cup \bar{B})$