Exercicis: Interpretacions de la probabilitat: clàssica, freqüentista i subjectiva

Un dau s'ha llançat $200$ vegades i s'han obtingut aquests resultats:

• a) Calcula la freqüència relativa de cada cara.

• b) Estima la probabilitat de treure un nombre parell amb aquest dau.

• c) Coincideixen les teves estimacions amb les probabilitats que donaria la regla de Laplace? Comenta la diferència.

Cert o fals, raonant la resposta: «He llançat una moneda $10$ vegades i han sortit $7$ cares; per tant, la probabilitat de cara en aquesta moneda ja no és $0,5$, sinó $0,7$».

Assigna una probabilitat subjectiva, entre $0$ i $1$, a cadascun d'aquests successos i justifica la teva elecció:

• a) «Demà plourà a la teva ciutat».

• b) «Aprovaràs el pròxim examen de matemàtiques».

• c) Explica per què en aquests casos no pots utilitzar ni la regla de Laplace ni les freqüències relatives.

En una ruleta europea ($37$ caselles: $18$ vermelles, $18$ negres i el zero verd) s'han registrat $5.000$ llançaments, i la bola va caure en vermell $2.560$ vegades.

• a) Quina probabilitat de «vermell» assigna la interpretació clàssica (regla de Laplace)?

• b) Quina probabilitat assigna la interpretació freqüentista a partir de les dades?

• c) Comenta a quina de les dues donaries més credibilitat i per què.

En Marcos i la seva companya Elena estan estudiant la probabilitat de diferents experiments aleatoris. En analitzar el llançament d'una xinxeta sobre una taula, en Marcos afirma:

«En caure, la xinxeta només pot quedar en dues posicions: amb la punta cap amunt o recolzada de costat amb la punta cap avall. Com que hi ha dos casos possibles i un de favorable, la probabilitat que caigui amb la punta cap amunt és exactament:

aplicant la regla de Laplace».

• a) Explica detalladament per què el raonament d'en Marcos és erroni i quin requisit imprescindible de la regla de Laplace no es compleix en aquest cas.

• b) L'Elena li proposa fer servir la interpretació freqüentista. Descriu quin experiment haurien de realitzar, quines dades haurien de registrar i com calcularien la probabilitat a partir d'aquestes.

• c) Després de llançar la xinxeta $400$ vegades en les mateixes condicions, observen que la punta queda cap amunt en $136$ ocasions. Calcula la freqüència relativa obtinguda, expressa-la en forma decimal i justifica si és raonable adoptar aquest valor com a estimació de la probabilitat buscada.

Una empresa de logística i repartiment en furgoneta a l'àrea metropolitana de Sevilla vol conèixer la probabilitat que un dels seus vehicles pateixi una avaria durant una jornada de treball. La direcció demana assessorament i es presenten dues alternatives metodològiques:

• Mètode A: Considerar que una furgoneta només pot acabar el dia de dues maneres (amb avaria o sense avaria) i aplicar la regla de Laplace assignant $P(\text{avaria}) = 1/2 = 0,5$.

• Mètode B: Revisar el registre informàtic de la flota de l'últim any, on consten $15.000$ jornades completades i un total de $180$ incidències per avaria, per calcular la freqüència relativa corresponent.

• a) Compara ambdós mètodes i justifica quin dels dos és l'adequat per a aquest problema, assenyalant la incorrecció fonamental del mètode descartat.

• b) Calcula la probabilitat estimada d'avaria per jornada utilitzant el mètode correcte i expressa-la en forma decimal i en percentatge.

• c) Si l'empresa preveu fer $3.500$ jornades de repartiment el pròxim trimestre, quantes avaries cal esperar que es produeixin? Explica quin principi matemàtic recolza que aquesta estimació sigui fiable.

La gràfica mostra l'evolució de la freqüència relativa del succés «cara» en llançar repetidament una moneda, com es mostra a la figura.

• a) Descriu què passa amb les oscil·lacions de la freqüència relativa a mesura que augmenta el nombre de llançaments.

• b) Quina llei enuncia aquest comportament? Escriu-la amb les teves paraules.

• c) Què cal esperar de la freqüència relativa si s'arriba a $10.000$ llançaments?

Es sospita que un dau d'un joc de taula està desequilibrat. Es llança $1.000$ vegades i s'obté:

• a) Estima la probabilitat de cada cara per freqüències relatives.

• b) Calcula les probabilitats estimades de «parell», «menor que $6$» i «treure $1$ o $2$».

• c) A la vista de les estimacions, sembla equilibrat el dau? Justifica-ho.

Una aplicació de simulació llança virtualment dos daus equilibrats $5.000$ vegades. En $833$ de les simulacions la suma dels daus va ser $7$.

1. a) Estima la probabilitat que la suma sigui $7$ a partir de la simulació.

1. b) Calcula la probabilitat teòrica exacta d'aquest succés amb la regla de Laplace.

1. c) Explica a què es deu la petita diferència entre els dos valors.

En un institut s'ha preguntat a $400$ estudiants triats a l'atzar i $268$ afirmen practicar esport almenys dues vegades per setmana.

• a) Estima la probabilitat que un estudiant d'aquest institut practiqui esport setmanalment.

• b) Si l'institut té $1.200$ estudiants, quants esperaries que practiquessin esport?

• c) Explica quina interpretació de la probabilitat has utilitzat i per què la interpretació clàssica no és aplicable aquí.

Un casino incorpora una nova ruleta electrònica francesa que disposa de $37$ caselles numerades del $0$ al $36$. Per verificar que el generador de nombres aleatoris no presenta anomalies ni biaixos, un auditor examina el comportament de l'esdeveniment $A = \text{«obtenir el nombre } 0\text{»}$.

• a) Abans d'analitzar cap dada empírica, calcula la probabilitat teòrica d'$A$ mitjançant la regla de Laplace (arredonint a quatre xifres decimals) i estima en quin percentatge aproximat de les tirades hauria de sortir el $0$ si el dispositiu funciona amb perfecta equiprobabilitat.

• b) En una primera prova curta de $N = 80$ tirades, el nombre $0$ surt $5$ vegades. Calcula la freqüència relativa observada en aquesta sèrie. Es pot concloure a partir d'aquest resultat que la màquina està trucada a favor del $0$? Justifica la teva resposta basant-te en la llei dels grans nombres.

• c) S'amplia l'auditoria fins a registrar $N = 10.000$ tirades consecutives, obtenint-se el nombre $0$ en $274$ ocasions. Calcula la nova freqüència relativa, comprova-la enfront de l'estimació teòrica que has obtingut a l'apartat a) i argumenta si ara disposes de prou base per validar el funcionament del programari.

Un equip d'enginyeria avalua la fiabilitat del sistema de frenada d'emergència automàtica d'un prototip d'automòbil elèctric. Després de sotmetre el sistema a una sèrie continuada d'assajos idèntics en pista, s'ha obtingut que la probabilitat freqüentista de frenada correcta estimada és $P(\text{èxit}) = 0,985$.

• a) Durant tota la fase de proves, el sistema va fallar exactament en $24$ ocasions. Planteja una equació que relacioni la freqüència relativa d'error observada amb el nombre total d'assajos $N$ realitzats i resol-la per determinar quantes proves es van dur a terme en total.

• b) Dissenya el contingut d'una urna fictícia que contingui únicament boles vermelles (representant la fallada) i boles verdes (representant l'èxit), de manera que la probabilitat clàssica d'extreure una bola vermella a l'atzar coincideixi exactament amb la probabilitat freqüentista de fallada trobada en els assajos. Especifica quin és el nombre mínim possible de boles de cada color que ha de tenir l'urna.

• c) Després d'observar una ratxa de $120$ assajos consecutius sense cap fallada, un membre de l'equip proposa cancel·lar les proves restants al·legant: «Com que la taxa d'error és de l'$1,5\,\%$, el sistema ja acumula massa èxits seguits i la probabilitat que falli en el pròxim assaig és imminentment alta per compensar la mitjana». Identifica el nom d'aquest error de raonament i refuta'l utilitzant les propietats de la probabilitat.

Una asseguradora fixa el preu de l'assegurança antirobatori de bicicletes a partir dels seus registres: de $20.000$ bicicletes assegurades l'any passat, $340$ van patir un robatori.

• a) Quina interpretació de la probabilitat utilitza l'asseguradora? Raona per què les altres dues interpretacions (clàssica i subjectiva) no li servirien.

• b) Calcula la probabilitat estimada de robatori.

• c) Si una bicicleta val $800\ \text{€}$, calcula la «prima pura» (el preu que cobriria exactament el risc) i explica per què la prima real serà més gran.

Raona si cadascuna d'aquestes afirmacions sobre un dau equilibrat és vertadera o falsa:

• a) «Porto $20$ tirades sense treure cap $5$; per la llei dels grans nombres, en la tirada següent és molt probable que surti un $5$».

• b) «Encara que en $20$ tirades no hagi sortit cap $5$, la probabilitat de treure $5$ en la tirada següent continua sent $\frac{1}{6}$».

• c) «Si llanço el dau $6.000$ vegades, sortiran exactament $1.000$ cincs».

La figura mostra dues simulacions d'un experiment aleatori el succés d'interès del qual té probabilitat $0,3$: la del panell A amb $100$ repeticions i la del panell B amb $10.000$, tal com es mostra a la figura.

• a) Explica per què la freqüència relativa final del panell A s'allunya més de $0,3$ que la del panell B.

• b) Enuncia amb precisió la llei dels grans nombres.

• c) Garanteix aquesta llei que la freqüència relativa arribi a valer exactament $0,3$ en algun moment? Raona la resposta.

Es vol estimar experimentalment la probabilitat que, en repartir $4$ cartes d'una baralla espanyola de $40$ cartes, hi hagi almenys un as, utilitzant un full de càlcul amb el seu generador de nombres aleatoris.

• a) Descriu amb detall el procediment de simulació: com codificar les cartes, com simular un repartiment sense repetició i quantes repeticions faries.

• b) Explica com obtindries l'estimació i què faries per comprovar que la teva simulació és fiable.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) publica periòdicament les taules de mortalitat de la població a Espanya. Segons les dades per a una cohort de persones de $65$ anys (edat habitual de jubilació), de cada $100.000$ individus que arriben a aquesta edat, $88.500$ arriben amb vida als $75$ anys i $63.720$ arriben als $85$ anys.

• a) Modela matemàticament a partir d'aquestes dades demogràfiques les dues probabilitats següents: la probabilitat $P_1$ que una persona de $65$ anys triada a l'atzar mori abans de complir els $75$ anys, i la probabilitat condicionada $P_2$ que una persona que ja ha complert els $75$ anys arribi a celebrar el seu $85$è aniversari. Expressa els resultats en forma de fracció irreductible i amb tres xifres decimals.

• b) Raona detalladament quina interpretació de la probabilitat (clàssica, freqüentista o subjectiva) sustenta els càlculs de l'apartat anterior. Explica per què seria un error metodològic greu aplicar la regla de Laplace argumentant que per a cada any una persona només té dues opcions: «continuar viva o morir».

• c) Una entitat financera ofereix un pla de pensions amb renda vitalícia a un client particular de $65$ anys. Tot i que l'entitat pren les taules de l'INE com a referència inicial, un actuari ajusta la probabilitat després d'avaluar els seus informes mèdics, hàbits de vida (tabaquisme, exercici) i historial familiar. Explica la transició epistemològica que es produeix en aquest procés: quin paper juga la probabilitat freqüentista com a punt de partida i com es transforma en una probabilitat subjectiva (o baiesiana)? Per què no n'hi hauria prou amb cap de les dues interpretacions per separat per gestionar el negoci assegurador?

Dos estudiants de Ciències Socials, la Lucía i el Tomás, analitzen el pronòstic que l'AEMET (Agència Estatal de Meteorologia) ha publicat per al pròxim dissabte al seu municipi: «Probabilitat de precipitació: $80\,\%$, amb avís groc per tempestes».

La Lucía opina:

«Aquest $80\,\%$ és un judici purament subjectiu dels meteoròlegs, sense rigor matemàtic objectiu. En realitat, per al dissabte només hi ha dues possibilitats lògiques: o plou o no plou. Com que no podem predir el futur amb certesa, aplicant la regla de Laplace la probabilitat autèntica és d'$1/2 = 0,5$».

El Tomás rebat:

«No és subjectiu, és estrictament freqüentista: significa que durant el $80\,\%$ de les hores del dia estarà plovent sobre el municipi, és a dir, unes $19$ hores i dotze minuts de pluja contínua. A més, com que en els últims quatre dissabtes seguits ha plogut sense parar, per la llei dels grans nombres la probabilitat real que aquest dissabte no plogui ha de ser molt superior al $20\,\%$ per compensar la mitjana històrica mensual».

• a) Desmunta la postura de la Lucía: identifica i argumenta amb rigor els dos errors conceptuals que comet (un de relatiu a les condicions d'aplicació de la regla de Laplace i un altre sobre la naturalesa científica dels models meteorològics).

• b) Desmunta la postura del Tomás: identifica i argumenta amb rigor els seus dos errors (un de relatiu a la interpretació física del percentatge de precipitació i un altre sobre el funcionament de la llei dels grans nombres i la fal·làcia del jugador).

• c) Explica com es calcula en la meteorologia actual aquest $80\,\%$ mitjançant models de predicció per conjunts (ensemble forecasting: execució de desenes de simulacions numèriques amb lleugeres pertorbacions en les condicions inicials) i discuteix raonadament en quina de les tres interpretacions (clàssica, freqüentista o subjectiva/grau de creença basat en evidència) se situa aquest enfocament.