Exercicis: Determinants d'ordre 2

Calcula el valor dels determinants d'ordre 2 següents, parant una atenció especial a l'ús dels signes negatius:

1. a) $\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$

1. b) $\begin{vmatrix} -1 & -6 \\ 0 & 7 \end{vmatrix}$

1. c) $\begin{vmatrix} 10 & 15 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$

Troba el valor del determinant de la matriu $A$ quan aquesta conté fraccions simples. Aquest tipus de càlculs és habitual quan es treballa amb coeficients de repartiment en problemes d'economia:

$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 4 \\ \frac{1}{4} & 6 \end{pmatrix}$

Determina el valor de la incògnita $x$ perquè es compleixi la igualtat següent, on el resultat del determinant és un valor enter conegut:

$\begin{vmatrix} x & 5 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 14$

Un determinant d'ordre 2 pot representar l'àrea d'un paral·lelogram definit per dos vectors en el pla. Calcula el valor absolut del determinant format pels vectors $\vec{u} = (4, 1)$ i $\vec{v} = (2, 5)$ per trobar aquesta àrea:

$Àrea = \left| \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \right|$

En Marcos està analitzant la invertibilitat de la matriu $A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$ i a la seva llibreta escriu el següent:

A partir d'aquest valor, conclou que la matriu és regular i que, per tant, admet matriu inversa.

1. a) Localitza i explica detalladament l'error de càlcul amb els signes que ha comès en Marcos en el desenvolupament del determinant.
2. b) Corregeix el càlcul i raona si la conclusió final d'en Marcos sobre l'existència de la inversa era correcta o errònia.

Una explotació agrària de La Rioja té forma de paral·lelogram definit pels vectors $\vec{u} = (5, 1)$ i $\vec{v} = (1, 4)$, les components dels quals estan mesurades en hectòmetres.

1. a) Estima raonadament entre quins valors s'ha de situar l'àrea: si construeixes mentalment un rectangle exterior que contingui la parcel·la amb costats paral·lels als eixos de $6$ i $5\text{ hm}$, pot l'àrea de la parcel·la superar els $30\text{ hm}^2$? Justifica per què ha de ser estrictament menor.
2. b) Comprova la teva estimació calculant l'àrea exacta mitjançant el determinant d'ordre 2 associat als dos vectors i analitza si el resultat numèric obtingut és coherent amb el teu raonament previ.

Es considera la matriu $A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ x & x-1 \end{pmatrix}$. Determina els valors reals de $x$ per als quals el determinant de la matriu és igual a $6$.

En el disseny d'un logotip per a una nova startup tecnològica, un dissenyador utilitza un paral·lelogram definit pels vectors $\vec{u} = (a, 1)$ i $\vec{v} = (2, a)$. Es sap que l'àrea d'aquest paral·lelogram ve donada pel valor absolut del determinant de la matriu formada per tots dos vectors.

Calcula el valor del paràmetre $a$ perquè l'àrea del logotip sigui de $3$ unitats quadrades.

Demostra, sense calcular el valor numèric final, que el determinant següent és nul per a qualsevol valor de l'angle $\alpha$, utilitzant les identitats trigonomètriques bàsiques:

Resol la següent equació on intervenen determinants d'ordre 2:

Una empresa de missatgeria amb seu a Zaragoza factura dues modalitats d'enviament: estàndard ($x$ €) i urgent ($y$ €). Durant la primera quinzena d'un mes gestiona $120$ enviaments estàndard i $80$ urgents. En la segona quinzena, després de llançar una campanya comercial, els enviaments estàndard es multipliquen per un factor $k$ (resultant $120k$ enviaments) i els urgents es dupliquen exactament ($160$ enviaments). La matriu d'activitat del mes és:

1. a) Determina per a quin valor del factor $k$ la matriu $M$ és singular (el seu determinant és nul).
2. b) En el context empresarial, si la matriu és singular, és possible deduir de manera única les tarifes individuals $x$ i $y$ coneixent únicament la recaptació total de cada quinzena? Explica quina relació de proporcionalitat mantenen els enviaments de la segona quinzena respecte a la primera en aquest cas.

Dissenya una matriu quadrada $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ d'ordre 2 que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. Els seus quatre elements ($a, b, c, d$) han de ser nombres enters no nuls i diferents entre si.

2. La suma dels elements de la seva diagonal principal ha de ser igual a $3$ ($a + d = 3$).

3. El seu determinant ha de ser exactament $|A| = -5$.

Mostra pas a pas el procediment algebraic i deductiu que has seguit per trobar els quatre valors i justifica per què la matriu que has obtingut és regular.

En un estudi de mercat sobre l'elasticitat de dos productes competitius, s'ha obtingut una matriu de coeficients $M$ que depèn d'una variable d'inversió $x$:

Determina per a quins valors de la inversió $x$ el determinant de la matriu és nul, la qual cosa indicaria un punt crític d'inestabilitat en el model. Recorda que, per la naturalesa de l'estudi, $x$ ha de ser un nombre real positiu.

Un dissenyador gràfic treballa amb un programari d'edició vectorial. Per transformar una figura en el pla, el programa utilitza matrius de transformació d'ordre 2. La matriu de deformació ve donada per:

Demostra, utilitzant identitats trigonomètriques, que el determinant d'aquesta matriu és constant i independent del valor de l'angle $x$. Quina interpretació geomètrica té el fet que $|A| = 1$ en termes de l'àrea de la figura transformada?

Donada la matriu dependent del paràmetre real $m$:

1. a) Calcula el valor del seu determinant en funció de $m$.
2. b) Determina tots els valors de $m$ per als quals la matriu no té inversa (matriu singular).
3. c) Si $m = 0$, calcula el determinant de la matriu inversa $A^{-1}$ utilitzant les propietats dels determinants, sense trobar la matriu inversa explícitament.

En un sistema de xifratge matricial, s'utilitza una matriu clau $K$ d'ordre 2. Perquè el sistema sigui segur i permeti el desxifratge, la matriu $K$ ha de ser invertible. Es proposa la matriu següent:

1. a) Calcula els valors de $k$ que fan que el sistema sigui insegur (és a dir, que $K$ no tingui inversa).
2. b) Si es sap que el determinant de la matriu clau ha de ser igual a $10$ per complir amb un estàndard de seguretat específic, calcula els possibles valors de $k$.

Per esbrinar quins valors del paràmetre real $t$ fan que la matriu

sigui singular (no tingui inversa), dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode 1 (Desenvolupament polinòmic): Multiplicar les diagonals $(t^2 - 1)\cdot 4 - (t + 1)(2t - 2)$, expandir tots els productes, simplificar el polinomi de segon grau resultant i igualar-lo a zero.

• Mètode 2 (Factorització prèvia): Observar que $t^2 - 1 = (t-1)(t+1)$ i $2t - 2 = 2(t-1)$, i extreure factor comú en l'expressió de $|M(t)|$ abans de fer multiplicacions extenses.

1. a) Aplica tots dos mètodes pas a pas fins a trobar els valors de $t$ que fan singular la matriu.
2. b) Compara els dos camins: explica quin d'ells minimitza el risc de cometre errors de signe amb el subtrahend i justifica quin recomanaries aplicar en un examen d'accés a la universitat si el temps és limitat.

Un consorci dissenya un parc eòlic en un terreny amb forma de paral·lelogram a Castella-la Manxa. Prenent la subestació com a origen $(0,0)$, dos costats consecutius queden descrits pels vectors $\vec{u} = (x, 2)$ i $\vec{v} = (3, x-1)$, les coordenades dels quals s'expressen en quilòmetres, amb la restricció tècnica que $x > 0$.

1. a) Escriu l'expressió algebraica del determinant de la matriu formada pels vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ en funció de $x$.
2. b) Si la Declaració d'Impacte Ambiental imposa que la superfície del parc sigui exactament de $6\text{ km}^2$, planteja l'equació corresponent utilitzant el valor absolut i demostra que hi ha exactament dos valors admissibles per a $x$.
3. c) Calcula el valor del determinant per a cadascuna de les dues solucions trobades i interpreta geomètricament per què en un cas el determinant resulta positiu i en l'altre negatiu, aclarint per què ambdues configuracions proporcionen superfícies perfectament vàlides.