Determinantes de orden 2
A cada matriz cuadrada le podemos asociar un único número que resume información muy útil sobre ella: si tiene inversa, si sus filas son "independientes", qué área genera. Para matrices $2\times2$ ese número se calcula con una cuenta muy sencilla.
El determinante de una matriz 2×2
El producto de la diagonal principal (sólida) se suma; el de la diagonal secundaria (discontinua) se resta. Se nota $|A|$ o $\det(A)$, y también se dibuja la matriz entre barras verticales en vez de paréntesis.
Calcula el valor de los siguientes determinantes de orden 2, prestando especial atención al uso de los signos negativos: a)…
Calcula el valor de los siguientes determinantes de orden 2, prestando especial atención al uso de los signos negativos:
- a) $\begin{vmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$
- b) $\begin{vmatrix} -1 & -6 \\ 0 & 7 \end{vmatrix}$
- c) $\begin{vmatrix} 10 & 15 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$
Halla el valor del determinante de la matriz $A$ cuando esta contiene fracciones simples. Este tipo de cálculos es común al trabajar con coeficientes de reparto en…
Halla el valor del determinante de la matriz $A$ cuando esta contiene fracciones simples. Este tipo de cálculos es común al trabajar con coeficientes de reparto en problemas de economía:
$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 4 \\ \frac{1}{4} & 6 \end{pmatrix}$
Determinantes con una incógnita
El determinante también puede contener una letra en vez de un número. Igualando el resultado a un valor dado se obtiene una ecuación, normalmente de primer o segundo grado, que resuelves como siempre.
Determina el valor de la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad, donde el resultado del determinante es un valor entero conocido:…
Determina el valor de la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad, donde el resultado del determinante es un valor entero conocido:
$\begin{vmatrix} x & 5 \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 14$
Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ x & x-1 \end{pmatrix}$. Determina los valores reales de $x$ para los cuales el determinante de la matriz es igual…
Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x+1 & 2 \\ x & x-1 \end{pmatrix}$. Determina los valores reales de $x$ para los cuales el determinante de la matriz es igual a $6$.
Matriz singular y matriz regular
Fíjate en el dibujo: si el determinante no es $0$, las dos filas de $A$ generan un paralelogramo con área; si es $0$, las dos filas son proporcionales y el paralelogramo se "aplasta" en una recta, sin área. Por eso una matriz singular no tiene inversa: no hay manera de "deshacer" una transformación que colapsa el plano en una línea.
Dada la matriz dependiente del parámetro real $m$: $$A(m) = \begin{pmatrix} m^2 - 9 & m + 3 \\ m - 3 & 1 \end{pmatrix}$$ a) Calcula el valor de su determinante en…
Dada la matriz dependiente del parámetro real $m$:
$$A(m) = \begin{pmatrix} m^2 - 9 & m + 3 \\ m - 3 & 1 \end{pmatrix}$$- a) Calcula el valor de su determinante en función de $m$.
- b) Determina todos los valores de $m$ para los cuales la matriz no tiene inversa (matriz singular).
- c) Si $m = 0$, calcula el determinante de la matriz inversa $A^{-1}$ utilizando las propiedades de los determinantes, sin hallar la matriz inversa explícitamente.
En un sistema de cifrado matricial, se utiliza una matriz clave $K$ de orden 2. Para que el sistema sea seguro y permita el descifrado, la matriz $K$ debe ser…
En un sistema de cifrado matricial, se utiliza una matriz clave $K$ de orden 2. Para que el sistema sea seguro y permita el descifrado, la matriz $K$ debe ser inversible. Se propone la siguiente matriz:
$$K = \begin{pmatrix} k-2 & -3 \\ -2 & k \end{pmatrix}$$- a) Calcula los valores de $k$ que hacen que el sistema sea inseguro (es decir, que $K$ no tenga inversa).
- b) Si se sabe que el determinante de la matriz clave debe ser igual a $10$ para cumplir con un estándar de seguridad específico, calcula los posibles valores de $k$.
El determinante como área de un paralelogramo
Un determinante de orden 2 puede representar el área de un paralelogramo definido por dos vectores en el plano. Calcula el valor absoluto del determinante formado por…
Un determinante de orden 2 puede representar el área de un paralelogramo definido por dos vectores en el plano. Calcula el valor absoluto del determinante formado por los vectores $\vec{u} = (4, 1)$ y $\vec{v} = (2, 5)$ para hallar dicha área:
$Área = \left| \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} \right|$
En el diseño de un logotipo para una nueva startup* tecnológica, un diseñador utiliza un paralelogramo definido por los vectores $\vec{u} = (a, 1)$ y $\vec{v} = (2, a)$.…
En el diseño de un logotipo para una nueva startup tecnológica, un diseñador utiliza un paralelogramo definido por los vectores $\vec{u} = (a, 1)$ y $\vec{v} = (2, a)$. Se sabe que el área de dicho paralelogramo viene dada por el valor absoluto del determinante de la matriz formada por ambos vectores.
Calcula el valor del parámetro $a$ para que el área del logotipo sea de $3$ unidades cuadradas.