Exercicis: Solucions d'un sistema

Dos amics han anat a una botiga de videojocs. El primer compra 2 jocs d'acció i 1 d'estratègia per $80$ €. El segon compra 1 d'acció i 3 d'estratègia per $90$ €. Comprova si el parell $(x, y) = (30, 20)$, on $x$ és el preu del joc d'acció i $y$ el d'estratègia, és la solució del sistema que descriu aquesta situació.

Expressa en forma matricial $A \cdot X = B$ el sistema d'equacions lineals següent, identificant clarament la matriu de coeficients $A$, la matriu de les incògnites $X$ i la matriu dels termes independents $B$:

$ \begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ x + 4y - 3z = -2 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

Observa la representació gràfica de les dues equacions d'un sistema de primer grau amb dues incògnites. Basant-te en el dibuix, indica quina és la solució del sistema i classifica'l segons el seu nombre de solucions (Compatible Determinat, Compatible Indeterminat o Incompatible).

Donada la matriu ampliada $M^*$ següent d'un sistema d'equacions esglaonat després d'aplicar el mètode de Gauss, raona si el sistema té solució i, en cas afirmatiu, si és única:

$M^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 4 \\ 0 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}$

En una cafeteria, el preu d'un cafè ($x$), una torrada ($y$) i un suc ($z$) estan relacionats pel sistema següent:

$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases} $

Determina si la terna $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ és una solució vàlida per al preu d'aquests productes.

Indica, sense resoldre, si els dos sistemes d'equacions següents són equivalents i justifica la teva resposta comparant les seves solucions o mitjançant transformacions elementals:

Sistema 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Sistema 2: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x = 6 \end{cases}$

Troba el valor del paràmetre $k$ perquè la parella $(x, y) = (2, -1)$ sigui solució del sistema d'equacions lineals següent:

$ \begin{cases} kx + 3y = 1 \\ x + ky = 0 \end{cases} $

Classifica el sistema d'equacions següent segons la seua interpretació geomètrica en el pla. Per a això, analitza la relació entre els coeficients de les incògnites i els termes independents:

$\begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}$

Justifica la teua resposta indicant quina posició relativa tenen les rectes representades.

La Lucía està resolent el següent sistema d'equacions lineals per a un treball de classe:

Per comprovar si la terna $(x, y, z) = (2, 1, 0)$ és solució, la Lucía substitueix aquests valors únicament en la primera equació i obté $2 + 1 - 0 = 3$. Com que la igualtat es compleix, afirma al seu quadern que $(2, 1, 0)$ és la solució única del sistema «perquè hi ha tres equacions amb tres incògnites i la comprovació ha estat exacta».

1. a) Assenyala i explica detalladament els dos errors conceptuals comesos per la Lucía en el seu raonament.
2. b) Comprova de manera rigorosa si la terna $(2, 1, 0)$ és o no solució del sistema complet.
3. c) Sense necessitat de triangular la matriu, demostra que el sistema no pot ser compatible determinat sumant la primera equació amb la segona i comparant el resultat obtingut amb la tercera equació.

Per analitzar la viabilitat de dues tarifes telefòniques d'empresa, cal construir un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites ($x$ i $y$, on totes dues variables representen costos en euros).

1. a) Escriu una equació lineal amb coeficients no nuls que tingui el parell $(x, y) = (20, 15)$ com una de les seves solucions.
2. b) Afegeix una segona equació lineal amb coeficients diferents de l'anterior, de manera que el sistema conjunt sigui compatible determinat i la seva única solució continuï sent $(20, 15)$. Justifica analíticament i geomètricament per què estàs segur que la solució és única.
3. c) Modifica la teva segona equació perquè el nou sistema passi a ser incompatible. Explica quina relació geomètrica mantenen ara les dues rectes i què significa que el sistema sigui incompatible en termes de punts comuns.

Un estudiant de 2n de Batxillerat analitza la posició relativa de tres plans a l'espai. El sistema d'equacions que defineix aquesta posició és el següent:

1. a) Determina el valor de $k$ perquè els tres plans es tallen en una recta. Com es classifica el sistema en aquest cas segons el nombre de solucions?

1. b) Si $k = 0$, quina és la posició relativa dels plans? Justifica la teua resposta utilitzant el rang de la matriu de coeficients i de la matriu ampliada.

Discuteix la compatibilitat del sistema d'equacions lineals següent en funció del paràmetre real $m$:

Indica en quins casos el sistema és Compatible Determinat, Compatible Indeterminat o Incompatible. No cal resoldre'l.

Una agència de màrqueting digital gestiona la publicitat d'una marca en tres plataformes: Instagram ($x$), TikTok ($y$) i YouTube ($z$). Durant l'últim mes es sap que:

• La despesa total en les tres plataformes va ser de $2500$ €.

• La despesa a Instagram va ser el doble de la despesa a YouTube.

• La suma de la despesa a Instagram i TikTok va superar en $100$ € el triple de la despesa a YouTube.

1. a) Planteja un sistema d'equacions lineals per determinar quant es va invertir en cada plataforma.

1. b) Resol el sistema mitjançant el mètode de Gauss.

Donat el sistema dependent del paràmetre $a$:

1. a) Calcula el valor de $a$ perquè el sistema sigui Compatible Indeterminat.

1. b) Per al valor de $a$ trobat en l'apartat anterior, escriu la solució general del sistema expressant les incògnites $x$ i $y$ en funció de $z$. Utilitza $z = \lambda$.

Sigui l'equació matricial $A \cdot X = B$, on:

1. a) Justifica que la matriu $A$ és regular (té inversa) calculant-ne el determinant.

1. b) Troba la matriu de les incògnites $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ resolent el sistema associat mitjançant la matriu inversa $X = A^{-1} \cdot B$.

Un centre de reciclatge processa tres tipus de plàstic: PET ($x$), HDPE ($y$) i PVC ($z$). S'han rebut tres carregaments amb les composicions següents en tones:

• Carregament 1: $1$ de PET, $2$ d'HDPE i $1$ de PVC.

• Carregament 2: $2$ de PET, $3$ d'HDPE i $0$ de PVC.

• Carregament 3: $0$ de PET, $1$ d'HDPE i $2$ de PVC.

Si el centre necessita obtenir un total de $10$ tones de PET, $17$ d'HDPE i $10$ de PVC, és possible aconseguir-ho combinant aquests tres carregaments? Planteja el sistema i discuteix si té solució única utilitzant el Teorema de Rouché-Frobenius.

Es sap que els dos sistemes següents són equivalents (tenen la mateixa solució):

Sistema 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

Sistema 2: $\begin{cases} ax + y = 7 \\ x + by = 5 \end{cases}$

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$. Per fer-ho, resol primer el Sistema 1 i utilitza els valors obtinguts per plantejar una solució en el Sistema 2.

Considera el sistema homogeni següent:

1. a) Per a quins valors de $a$ el sistema admet únicament la solució trivial $(0, 0, 0)$?

1. b) Troba un valor de $a$ per al qual el sistema siga Compatible Indeterminat i calcula una solució diferent de la trivial per a aquest valor.

En una plataforma logística de repartiment de paqueteria a Madrid es gestionen tres tipus d'enviaments urbans: Estàndard ($x$), Urgent ($y$) i Fràgil ($z$). Durant tres torns consecutius es registren els següents lliuraments i costos totals:

• Torn de matí: 2 enviaments estàndard, 1 d'urgent i 1 de fràgil, amb un cost facturat de $50$ €.

• Torn de tarda: 4 enviaments estàndard, 2 d'urgents i 2 de fràgils, amb un cost facturat de $100$ €.

• Torn de nit: 1 enviament estàndard, 2 d'urgents i cap de fràgil, amb un cost facturat de $40$ €.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions amb tres incògnites que modelitza la facturació dels tres torns.
2. b) Observa les equacions corresponents als torns de matí i tarda. Explica quina transformació elemental permet passar d'una a l'altra i raona per què una de les dues equacions és redundant.
3. c) Classifica el sistema format pels tres torns (SCD, SCI o SI). A partir d'aquesta classificació, és possible determinar el preu exacte i individual de cada tipus d'enviament? Justifica la teva resposta i indica quants graus de llibertat té el conjunt de solucions possibles.

Una cooperativa agrícola de Jaén prepara garrafes de barreja de dues varietats d'oli d'oliva verge extra: Picual ($x$), el cost de producció de la qual és de $8$ €/L, i Hojiblanca ($y$), amb un cost de $10$ €/L. Es vol obtenir una barreja final de $100$ litres amb un cost mitjà exacte de $8,50$ €/L.

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul analític, estima raonadament si a la garrafa hi haurà més litres de Picual o d'Hojiblanca. Basa la teva predicció en la proximitat del preu mitjà desitjat respecte als costos individuals de cada varietat.
2. b) Planteja el sistema de dues equacions lineals que permet calcular els litres necessaris de cada tipus d'oli i classifica'l segons el nombre de solucions interpretant la posició relativa de les rectes associades.
3. c) Resol el sistema i comprova si el resultat coincideix amb la teva estimació inicial. Seria viable la barreja si la cooperativa fixés un cost mitjà d'$11$ €/L mantenint els mateixos olis? Raona analíticament què passaria amb els valors de les incògnites i el seu sentit econòmic real.

En una agència de màrqueting digital estan analitzant l'impacte de tres campanyes publicitàries ($x$, $y$, $z$). El rendiment de les campanyes depèn d'un factor de mercat estacional representat pel paràmetre $k$. El sistema d'equacions que descriu el retorn d'inversió és el següent:

1. a) Discuteix la viabilitat de les solucions del sistema (la seva compatibilitat) en funció dels valors que pugui prendre el paràmetre de mercat $k$, utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius.

1. b) En el cas que el sistema sigui compatible indeterminat, obtén l'expressió general de les solucions. Quina relació ha d'existir entre les campanyes $x$ i $y$ en aquest escenari?

1. c) Si el factor de mercat és $k = 0$, determina si és possible obtenir un retorn positiu en totes les campanyes simultàniament.

Es considera la matriu de coeficients $A$ i la matriu de termes independents $B$ d'un sistema de costos d'una empresa de transport:

1. a) Determina per a quins valors del paràmetre $a$ el sistema no admet una solució única.

1. b) Per als valors trobats en l'apartat anterior, estudia si el sistema és compatible indeterminat o incompatible. Interpreta el resultat des del punt de vista de la gestió de recursos: hi ha alguna configuració de costos que sigui impossible de quadrar?

1. c) Resol el sistema per a $a = 2$ utilitzant exclusivament el mètode de la matriu inversa $X = A^{-1} \cdot B$.

Un grup d'estudiants de 2n de Batxillerat ha dissenyat una app d'intercanvi d'apunts. Tenen tres tipus de subscripcions: Bàsica ($x$), Prèmium ($y$) i Pro ($z$). En acabar el primer mes, es recullen les dades següents:

1. El nombre total d'usuaris és de 300.

2. Si el nombre d'usuaris Prèmium es dupliqués, igualaria la suma dels usuaris Bàsics i Pro.

3. La facturació total va ser de 2300 €. Els preus mensuals són: Bàsica (2 €), Prèmium (5 €) i Pro (10 €).

1. a) Planteja un sistema d'equacions lineals per determinar el nombre d'usuaris de cada tipus.

1. b) Un error a la base de dades fa que la dada de facturació total (2300 €) sigui dubtosa. Si anomenem $m$ la facturació total, discuteix per a quins valors de $m$ el sistema té sentit físic (usuaris no negatius i enters).

1. c) És possible que hi hagi infinites combinacions d'usuaris que satisfacin les condicions si no coneguéssim el preu de la subscripció Pro? Raona la resposta basant-te en la teoria de graus de llibertat d'un sistema.

Donades les matrius $M$ i $N$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Es planteja l'equació matricial $M \cdot X = N \cdot C$, on $C = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

1. a) Abans de resoldre, justifica si el sistema d'equacions associat a aquesta igualtat és compatible determinat analitzant el rang de la matriu $M$.

1. b) Troba les matrius columna $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ que satisfan l'equació.

1. c) Si modifiquem la tercera fila de la matriu $M$ per $(1, 2, 3)$, com varia la solució del sistema? Classifica el nou sistema resultant sense resoldre'l completament.

Analitza el sistema homogeni següent en funció del paràmetre real $\lambda$:

1. a) Determina els valors de $\lambda$ per als quals el sistema admet únicament la solució trivial $(0, 0, 0)$.

1. b) Per als valors de $\lambda$ que fan que el sistema sigui compatible indeterminat, obtén la solució paramètrica. Representen aquestes solucions una recta o un pla en l'espai?

1. c) Justifica raonadament per què aquest sistema no pot ser mai incompatible, independentment del valor de $\lambda$.

Tres carteres d'inversió ($A$, $B$, $C$) estan compostes per accions de tres sectors tecnològics: Intel·ligència Artificial ($x$), Energies Verdes ($y$) i Biotecnologia ($z$).

• La cartera $A$ té una acció de cada sector.

• La cartera $B$ té 2 d'IA, 1 de Verdes i cap de Biotecnologia.

• La cartera $C$ té 1 d'IA i un nombre $m$ d'accions de Biotecnologia.

Es sap que el valor total de les carteres al mercat és de 100 €, 80 € i 60 € respectivament.

1. a) Escriu el sistema d'equacions associat.

1. b) Per a quin valor d'accions de Biotecnologia a la cartera $C$ ($m$) el sistema no té solució? Què significa això en termes financers?

1. c) Si $m = 2$, és possible que el preu d'una acció d'IA sigui el doble que el d'una d'Energies Verdes? Comprova-ho analitzant la compatibilitat del sistema augmentat amb aquesta nova condició.

Estudia la posició relativa dels tres plans següents en l'espai en funció del paràmetre $a$:

1. a) Classifica el sistema d'equacions format pels tres plans.

1. b) Identifica els valors de $a$ per als quals els tres plans es tallen en una única recta. Escriu l'equació d'aquesta recta en forma paramètrica.

1. c) Existeix algun valor de $a$ per al qual els tres plans no tinguin cap punt en comú? Descriu la configuració geomètrica en aquest cas.

Considera el sistema d'equacions següent amb una incògnita extra en els termes independents:

1. a) Discuteix el sistema en funció dels paràmetres $a$ i $b$.

1. b) Si $a = 1$, quina condició ha de complir $b$ perquè el sistema sigui compatible? Quin tipus de compatibilitat tindria?

1. c) En el cas $a = -2$, demostra que el sistema és compatible si i només si $b = 0$. Quina és la interpretació geomètrica dels plans en aquest cas quan $b \neq 0$?

Es considera el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $a$:

Un grup d'alumnes debat sobre l'estratègia més eficient per classificar el sistema segons els valors de $a$:

• En Marcos proposa aplicar el mètode de substitució aïllant $x$ a la primera equació.

• La Sofía proposa triangular la matriu ampliada mitjançant transformacions elementals per files (mètode de Gauss).

• En Daniel proposa calcular la matriu inversa de la matriu de coeficients mitjançant determinants i adjunts.

1. a) Compara críticament els tres mètodes proposats. Justifica per què el mètode de Gauss és conceptualment superior en aquest cas i explica la greu limitació que presenta el mètode d'en Daniel quan el sistema no és compatible determinat.
2. b) Aplica el mètode de Gauss sobre la matriu ampliada per determinar de manera justificada per a quin valor de $a$ el sistema és compatible indeterminat i per a quin valor (si existeix) és incompatible.
3. c) Per al cas en què el sistema és compatible indeterminat, troba la solució general en funció d'un paràmetre $\lambda \in \mathbb{R}$ i interpreta geomètricament què representen les equacions del sistema en l'espai tridimensional.

Un analista financer dissenya una cartera d'inversió distribuïda en tres actius ($x$, $y$, $z$, expressats en milers d'euros). El model exigeix que el conjunt de solucions admissibles sigui una recta a l'espai tridimensional descrita per les següents equacions paramètriques:

1. a) Construeix un sistema lineal de tres equacions amb tres incògnites ($x, y, z$) que tingui com a solució general exactament aquesta recta. Assegura't que cap de les equacions sigui una identitat trivial (com ara $0 = 0$) ni una repetició evident d'una altra.
2. b) Escriu la matriu ampliada del teu sistema i demostra, aplicant transformacions elementals de Gauss, que el sistema és compatible indeterminat justificant l'aparició d'una fila nul·la $(0\;0\;0\mid 0)$ i l'absència de files incompatibles $(0\;0\;0\mid c)$ amb $c \ne 0$.
3. c) La direcció afegeix una quarta condició donada per $x + 5y + 3z = k$. Determina raonadament per a quin valor del paràmetre $k$ el nou sistema de quatre equacions manté exactament les mateixes infinites solucions i què passa geomètricament amb la compatibilitat del sistema si $k$ pren qualsevol altre valor.