Exercicis: Teorema de Rouché-Frobenius

Dues empreses de missatgeria analitzen les seves rutes en un mapa. Les seves trajectòries venen definides per les equacions següents en un sistema de dues dimensions:

$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases}$

A partir de la representació gràfica mostrada, indica el rang de la matriu de coeficients $A$ i de la matriu ampliada $A^*$, i classifica el sistema utilitzant el Teorema de Rouché-Frobenius.

Donat el sistema d'equacions següent ja esglaonat després d'aplicar el mètode de Gauss:

$\begin{cases} x - y + 3z = 5 \\ \quad \quad 2y + z = 1 \\ \quad \quad \quad \quad 0z = 0 \end{cases}$

Determina, sense resoldre'l, el valor de $rg(A)$ i $rg(A^*)$. És el sistema compatible determinat o indeterminat? Justifica la teva resposta segons el nombre d'incògnites.

Un analista financer utilitza un model de tres variables (estalvis, inversió i deute). Després de calcular els rangs de les matrius associades al sistema, obté que:

• $rg(A) = 2$

• $rg(A^*) = 3$

Explica raonadament, basant-te en el Teorema de Rouché-Frobenius, si l'analista podrà trobar una combinació de valors que satisfaci totes les condicions del model.

Considera un sistema homogeni de tres equacions amb tres incògnites. Sabem que el determinant de la seva matriu de coeficients és $|A| = 0$.

1. a) Quin és el valor de $rg(A^*)$ comparat amb $rg(A)$ en qualsevol sistema homogeni?
2. b) Segons el Teorema de Rouché-Frobenius, pot aquest sistema ser incompatible? Explica per què.

En una botiga de videojocs, el preu de tres productes $x$, $y$, $z$ es regeix pel sistema d'equacions següent:

$\begin{cases} x + y + z = 60 \\ 2x - y + z = 20 \\ 3x + 2z = 80 \end{cases}$

Observa la relació entre les files de la matriu ampliada. Si la tercera equació és la suma de les dues primeres, quin és el rang màxim que pot tenir la matriu de coeficients? Classifica el sistema.

Donades les matrius d'un sistema d'equacions lineals amb incògnites $x$ i $y$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 2 \end{pmatrix}$

Determina per a quin valor de $k$ el rang de la matriu $A$ és igual a 1. Per a aquest valor de $k$, què passa amb el rang de $A^*$? Classifica el sistema resultant.

Considera un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites. Cada equació representa un pla a l'espai (tres dimensions). Anomenem $A$ la matriu de coeficients i $A^*$ la matriu ampliada.

Relaciona cadascuna de les situacions de rangs següents amb la seua interpretació geomètrica:

1. $rg(A) = rg(A^*) = 3$

2. $rg(A) = rg(A^*) = 2$

3. $rg(A) = 2$ i $rg(A^*) = 3$

Opcions de geometria:

A) Els tres plans tenen en comú una recta (tots la contenen).

B) Els tres plans es tallen en un únic punt.

C) Els tres plans no tenen cap punt en comú (per exemple, es tallen dos a dos formant un «prisma», o hi ha plans paral·lels).

Escriu la parella de cada número amb la seua lletra i justifica breument cada elecció usant el teorema de Rouché-Frobenius.

Indica si les afirmacions següents són Veritables o Falses justificant breument la teva resposta mitjançant el Teorema de Rouché-Frobenius:

1. a) Si un sistema té més equacions que incògnites, sempre és incompatible.
2. b) Un sistema compatible determinat sempre compleix que $|A| \neq 0$ (sent $A$ la matriu de coeficients quadrada).
3. c) Si $rg(A) = rg(A^*)$, el sistema sempre té solució.

En Marcos està analitzant la compatibilitat del següent sistema de tres equacions amb tres incògnites mitjançant el Teorema de Rouché-Frobenius:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ 2x + 4y - 2z = 8 \\ x + 2y - z = 9 \end{cases}$$

Després d'observar les files, en Marcos afirma: «Com que la segona equació és proporcional a la primera i la tercera té exactament els mateixos coeficients en les incògnites, la matriu de coeficients només té una fila independent: $rg(A) = 1$. Com que el nombre d'incògnites és $n = 3$ i es compleix que $rg(A) < n$, el sistema és un Sistema Compatible Indeterminat (SCI) i la seva solució depèn de $3 - 1 = 2$ paràmetres lliures».

1. a) Identifica l'error conceptual bàsic que comet en Marcos en aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius sense haver analitzat la matriu ampliada $A^*$.
2. b) Escriu les matrius $A$ i $A^*$, i calcula raonadament els seus rangs respectius ($rg(A)$ i $rg(A^*)$).
3. c) Classifica correctament el sistema i indica quina contradicció directa entre les equacions confirma la teva conclusió sense necessitat de recórrer al càlcul matricial.

Considera el següent sistema lineal de dues equacions amb tres incògnites dependent d'un paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} 2x - y + 3z = 5 \\ 4x - 2y + 6z = k \end{cases}$$

1. a) Abans de realitzar cap càlcul matricial o esglaonament, estima i respon de manera raonada: podria aquest sistema ser en algun cas Compatible Determinat (SCD) per a algun valor de $k$? Justifica la teva predicció comparant el nombre d'equacions ($m = 2$), el nombre d'incògnites ($n = 3$) i el rang màxim que pot assolir la matriu de coeficients $A$.
2. b) Escriu la matriu de coeficients $A$ i la matriu ampliada $A^*$, i calcula els seus rangs distingint els casos possibles segons el valor de $k$.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era encertada i classifica formalment el sistema en cada cas aplicant el Teorema de Rouché-Frobenius.

Es considera el sistema d'equacions següent dependent del paràmetre real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

Utilitza el Teorema de Rouché-Frobenius per discutir la compatibilitat del sistema segons els diferents valors de $k$. No cal resoldre'l.

Una empresa de missatgeria utilitza tres tipus de vehicles: furgonetes, camions lleugers i camions pesants. El nombre total de vehicles és 25. Es sap que el nombre de furgonetes és el doble que el de camions pesants i que, a causa d'una restricció pressupostària, el cost de manteniment mensual segueix aquesta relació: $x + my + z = 100$, on $x, y, z$ són les unitats de cada vehicle i $m$ és un factor de cost variable.

1. a) Escriu el sistema d'equacions que representa la situació.
2. b) Discuteix per a quins valors de $m$ el sistema té una solució única (és a dir, quan podem saber exactament quants vehicles de cada tipus hi ha).

Donat el sistema d'equacions:

$\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 2x + y - 2z = 1 \\ 3x - y - z = a \end{cases}$

Determina, aplicant el Teorema de Rouché-Frobenius, el valor del paràmetre $a$ perquè el sistema sigui compatible indeterminat. Interpreta aquest resultat en termes de la posició relativa dels tres plans que representen les equacions.

Estudia la compatibilitat del següent sistema de 4 equacions amb 3 incògnites:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + y + 2z = 5 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$

És possible eliminar una de les equacions sense que canviï la solució del sistema? Justifica la teva resposta comparant els rangs de la matriu de coeficients i la matriu ampliada.

Un inversor reparteix $10.000$ € entre tres productes financers $A$, $B$ i $C$. La rendibilitat del producte $A$ és del $5\%$, la de $B$ és del $10\%$ i la de $C$ és del $2\%$. Al final de l'any, el benefici total és de $700$ €.

1. a) Demostra, fent servir el Teorema de Rouché-Frobenius, que el sistema plantejat és compatible indeterminat.
2. b) Si l'inversor decideix que la quantitat invertida en $A$ sigui igual a la suma de les quantitats en $B$ i $C$, passa el sistema a ser compatible determinat? Explica per què basant-te en els rangs.

Determina el valor de $m$ perquè el sistema següent sigui incompatible:

$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x + 2y + z = 2 \\ x - y + mz = 0 \end{cases}$

Explica el significat de "sistema incompatible" en aquest context utilitzant el concepte de rang.

Sigui el sistema:

$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + ay + z = 1 \\ ax + y + z = 1 \end{cases}$

1. a) Discuteix el sistema segons els valors de $a$.
2. b) En els casos en què el sistema sigui compatible, indica si la solució serà única o si hi haurà infinites solucions segons el nombre d'incògnites i el rang assolit.

Dissenya un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites ($x, y, z$) dependent d'un paràmetre real $m$ que compleixi simultàniament les següents especificacions:

1. Per a qualsevol $m \ne 4$, el sistema ha de ser Compatible Determinat (SCD).

2. Per a $m = 4$, el sistema ha de ser Incompatible (SI).

Per construir-lo i justificar-lo de manera inversa:

1. a) Planteja una matriu de coeficients $A$ de dimensió $3 \times 3$ el determinant de la qual sigui $|A| = m - 4$ (o un múltiple no nul d'aquest factor), assegurant així que $rg(A) = 3$ si i només si $m \ne 4$. Mostra el càlcul del seu determinant.
2. b) Tria els termes independents del sistema de manera que, per a $m = 4$, es verifiqui que $rg(A^*) = 3$ mentre que $rg(A) = 2$, demostrant que el sistema resulta Incompatible segons Rouché-Frobenius.
3. c) Quina modificació concreta hauries de realitzar únicament sobre els termes independents perquè, mantenint aquesta mateixa matriu $A$ i amb $m = 4$, el sistema passi a ser Compatible Indeterminat (SCI)? Justifica-ho comparant els rangs resultants.

Donat el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre $a \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + a y + z = 2 \\ x + y + a z = a \end{cases}$$

Per discutir la seva compatibilitat segons els valors de $a$, es plantegen dos camins diferents:

• Mètode 1 (Determinants i menors): Calcular $|A|$, resoldre l'equació $|A| = 0$ per trobar els valors singulars de $a$ i, per a cadascun, orlar menors per trobar $rg(A)$ i $rg(A^*)$.

• Mètode 2 (Esglaonament de Gauss): Aplicar transformacions elementals per files directament sobre la matriu ampliada $(A|B)$ restant la primera fila a les altres.

1. a) Compara els dos mètodes i justifica quin resulta més àgil i segur en aquest cas específic, parant atenció a si el mètode de Gauss obliga o no a dividir per expressions que continguin el paràmetre $a$.
2. b) Tria un dels dos mètodes, fes-lo servir per classificar el sistema per a tots els valors reals de $a$ segons el Teorema de Rouché-Frobenius i indica els graus de llibertat en cas d'indeterminació.

Una empresa de muntatge d'ordinadors d'alt rendiment ofereix tres configuracions de refrigeració líquida: Basic, Pro i Extreme.

• El model Basic utilitza 2 ventiladors, 1 bomba i 3 racords.

• El model Pro utilitza 5 ventiladors, 2 bombes i 8 racords.

• El model Extreme utilitza 6 ventiladors, 3 bombes i $m$ racords.

Se sap que el taller disposa avui d'un estoc de 26 ventiladors, 10 bombes i 42 racords.

1. a) Planteja un sistema d'equacions que relacioni la quantitat d'equips de cada tipus que es poden muntar $(x, y, z)$ consumint exactament l'estoc de ventiladors, bombes i racords.
2. b) Utilitza el teorema de Rouché-Frobenius per determinar per a quin valor de $m$ el sistema és compatible indeterminat.
3. c) Si es fixa $m$ perquè el sistema sigui compatible indeterminat, és possible muntar algun equip del model Extreme si es volen utilitzar exactament 42 racords? Justifica la resposta.

Determina els valors dels paràmetres reals $k$ i $t$ perquè el sistema següent sigui compatible indeterminat amb dos graus de llibertat (és a dir, que la solució depengui de dos paràmetres):

$$\begin{cases} x - 2y + z = t \\ 2x - 4y + 2z = 4 \\ -x + 2y - z = k \end{cases}$$

Explica raonadament la relació entre els rangs de la matriu de coeficients i la matriu ampliada en aquest cas.

Analitza la compatibilitat del sistema següent de 4 equacions amb 3 incògnites en funció del paràmetre $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 11 \\ x - y + 2z = 3 \end{cases}$$

Hi ha algun valor de $m$ per al qual el sistema tingui infinites solucions? I perquè sigui incompatible? Argumenta la teva resposta basant-te en el rang de les matrius.

Considera els tres plans a l'espai les equacions dels quals són:

$\pi_1: kx + y + z = 1$

$\pi_2: x + ky + z = 1$

$\pi_3: x + y + kz = 1$

Estudia la seva posició relativa segons els valors de $k$.

Un inversor reparteix 100.000 € entre tres tipus de productes financers: bons de l'Estat al 3%, accions tecnològiques al 5% i criptoactius al 10%.

En acabar l'any, els beneficis totals han estat de 6.000 €. L'inversor observa que si les rendibilitats haguessin estat del 4% en bons, del 6% en accions i de l'11% en criptoactius, els seus beneficis totals haurien estat de $B$ euros.

1. a) Planteja el sistema d'equacions associat al problema (anomenant $x, y, z$ les quantitats invertides en cada producte).
2. b) Discuteix la compatibilitat del sistema segons el valor de $B$.
3. c) Determina el valor de $B$ que fa que el sistema sigui Compatible Indeterminat i explica què significa aquesta situació per a l'inversor.

Es considera la matriu de coeficients $A$ i la matriu de termes independents $B$ d'un sistema d'equacions:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & k \\ -1 & m & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

1. a) Determina els valors de $m$ i $k$ perquè el rang de la matriu $A$ sigui 2.
2. b) Per als valors trobats a a), utilitza el Teorema de Rouché-Frobenius per discutir si el sistema $A \cdot X = B$ és compatible o incompatible.
3. c) En cas de ser incompatible, quin canvi mínim faries a la matriu $B$ perquè el sistema passés a ser compatible indeterminat? Justifica la teva resposta.

Una cooperativa agrària d'Almeria prepara tres tipus de lots d'hortalisses ecològiques per a exportació: Lot A ($x$), Lot B ($y$) i Lot C ($z$). Cada lot requereix hores d'envasament, volum de transport frigorífic (en $\text{m}^3$) i genera una quota d'emissió de $\text{CO}_2$ (en kg), donant lloc al següent model:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 120 \quad (\text{hores d'envasament}) \\ 2x + y + 3z = 150 \quad (\text{transport frigorífic}) \\ 3x + 3y + 4z = C \quad (\text{límit d'emissió de } \text{CO}_2) \end{cases}$$

La normativa mediambiental autonòmica està revisant el límit $C$, que és un paràmetre positiu.

1. a) Demostra mitjançant el Teorema de Rouché-Frobenius que la viabilitat del pla de producció depèn exclusivament del valor de $C$. Quin valor exacte ha de tenir $C$ perquè el sistema sigui compatible? Explica la conseqüència operativa per a la cooperativa si l'administració imposa qualsevol valor $C \ne 270$.
2. b) Per a $C = 270$, classifica el sistema i interpreta el significat del grau d'indeterminació en la presa de decisions de la cooperativa.
3. c) Sabent que les unitats de lots han de ser nombres enters no negatius ($x, y, z \in \mathbb{N} \cup \{0\}$), troba l'interval de valors viables per a $z$ i determina quantes combinacions de producció diferents pot adoptar l'empresa.

Per planificar els recursos d'un servei municipal, es formula un sistema de quatre equacions amb tres incògnites ($x, y, z$) en el qual intervé una partida pressupostària $k \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 2x - y + z = 1 \\ x + 2y - z = 5 \\ 4x + 2y + z = k \end{cases}$$

L'Elena, alumna de 2n de Batxillerat, argumenta el següent:

«Prenc el menor d'ordre 3 format per les tres primeres files de la matriu de coeficients $A$:

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 7 \ne 0$$

Com que aquest menor és no nul, $rg(A) = 3$. Com que hi ha $n = 3$ incògnites, es compleix que $rg(A) = n = 3$. En conseqüència, pel Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema és Compatible Determinat amb solució única per a qualsevol valor de $k$, de manera que la quarta equació no altera en absolut la compatibilitat».

1. a) Explica de manera detallada quin és l'error conceptual de l'Elena i per què la condició $rg(A) = n$ no garanteix la compatibilitat quan hi ha més equacions que incògnites ($m > n$).
2. b) Aplica el mètode de Gauss sobre la matriu ampliada $A^*$ per esglaonar-la i determina raonadament el rang de $A^*$ en funció de $k$.
3. c) Enuncia la discussió correcta del sistema segons el Teorema de Rouché-Frobenius, precisant per a quin valor de $k$ hi ha solució i què passa si $k$ pren qualsevol altre valor.