Teorema de Rouché-Frobenius

Dado el siguiente sistema de ecuaciones ya escalonado tras aplicar el método de Gauss:

$\begin{cases} x - y + 3z = 5 \\ \quad \quad 2y + z = 1 \\ \quad \quad \quad \quad 0z = 0 \end{cases}$

Determina, sin resolverlo, el valor de $rg(A)$ y $rg(A^*)$. ¿Es el sistema compatible determinado o indeterminado? Justifica tu respuesta según el número de incógnitas.

Dos empresas de mensajería analizan sus rutas en un mapa. Sus trayectorias vienen definidas por las siguientes ecuaciones en un sistema de dos dimensiones:

$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases}$

A partir de la representación gráfica mostrada, indica el rango de la matriz de coeficientes $A$ y de la matriz ampliada $A^*$, y clasifica el sistema utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius.

Un analista financiero utiliza un modelo de tres variables (ahorros, inversión y deuda). Tras calcular los rangos de las matrices asociadas al sistema, obtiene que:

• $rg(A) = 2$

• $rg(A^*) = 3$

Explica razonadamente, basándote en el Teorema de Rouché-Frobenius, si el analista podrá encontrar una combinación de valores que satisfaga todas las condiciones del modelo.

En una tienda de videojuegos, el precio de tres productos $x$, $y$, $z$ se rige por el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + y + z = 60 \\ 2x - y + z = 20 \\ 3x + 2z = 80 \end{cases}$

Observa la relación entre las filas de la matriz ampliada. Si la tercera ecuación es la suma de las dos primeras, ¿cuál es el rango máximo que puede tener la matriz de coeficientes? Clasifica el sistema.

Dadas las matrices de un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $x$ e $y$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{pmatrix} \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 2 \end{pmatrix}$

Determina para qué valor de $k$ el rango de la matriz $A$ es igual a 1. Para ese valor de $k$, ¿qué ocurre con el rango de $A^*$? Clasifica el sistema resultante.

Una empresa de mensajería utiliza tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. El número total de vehículos es 25. Se sabe que el número de furgonetas es el doble que el de camiones pesados y que, debido a una restricción presupuestaria, el coste de mantenimiento mensual sigue esta relación: $x + my + z = 100$, donde $x, y, z$ son las unidades de cada vehículo y $m$ es un factor de coste variable.

1. a) Escribe el sistema de ecuaciones que representa la situación.
2. b) Discute para qué valores de $m$ el sistema tiene una solución única (es decir, cuándo podemos saber exactamente cuántos vehículos de cada tipo hay).

Estudia la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ 3x + y + 2z = 5 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$

¿Es posible eliminar una de las ecuaciones sin que cambie la solución del sistema? Justifica tu respuesta comparando los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

Analiza la compatibilidad del siguiente sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas en función del parámetro $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ mx + 10y + 4z = 11 \\ x - y + 2z = 3 \end{cases}$$

¿Existe algún valor de $m$ para el que el sistema tenga infinitas soluciones? ¿Y para que sea incompatible? Argumenta tu respuesta basándote en el rango de las matrices.

Un inversor reparte 100.000 € entre tres tipos de productos financieros: bonos del Estado al 3%, acciones tecnológicas al 5% y criptoactivos al 10%.

Al finalizar el año, los beneficios totales han sido de 6.000 €. El inversor observa que si hubiera invertido en bonos la mitad de lo que invirtió en acciones, y en criptoactivos el triple de lo que invirtió en bonos, sus beneficios totales habrían sido de $B$ euros.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones asociado al problema (llamando $x, y, z$ a las cantidades invertidas en cada producto).
2. b) Discute la compatibilidad del sistema según el valor de $B$.
3. c) Determina el valor de $B$ que hace que el sistema sea Compatible Indeterminado y explica qué significa esta situación para el inversor.