Exercicis: La regla de Cramer

Per començar a treballar amb la regla de Cramer, és fonamental identificar quins sistemes permeten el seu ús directe. Donat el sistema de dues equacions amb dues incògnites següent:

$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - y = 2 \end{cases}$

1. a) Calcula el determinant de la matriu dels coeficients, $|A|$.
2. b) Justifica si és un sistema de tipus Cramer.
3. c) Troba el valor de la incògnita $x$ calculant únicament el determinant de la matriu associada a aquesta variable, $|A_x|$, i aplicant la fórmula de Cramer.

Aplica la regla de Cramer per resoldre el sistema d'equacions lineals $3 \times 3$ següent. Assegura't de calcular primer el determinant general del sistema per comprovar que té solució única:

En un examen de Matemàtiques II, es demana als alumnes que identifiquin sistemes de tipus Cramer sense resoldre'ls. Indica raonadament quin dels sistemes següents no es pot resoldre mitjançant la regla de Cramer directament:

1. a) $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 2y = 10 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + z = 2 \\ z = 3 \end{cases}$

Imagina que estàs gestionant els punts d'un equip en un videojoc. El sistema de puntuació depèn de tres tipus de missions ($x$, $y$, $z$) i ve donat per:

$\begin{cases} 2x + y + z = 10 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 12 \end{cases}$

Utilitza la regla de Cramer per a calcular únicament el valor de $z$, que representa les missions de nivell expert. No cal que trobis el valor de $x$ ni de $y$.

Dos amics, en Lucas i la Sofía, han anat a una botiga de fundes per al mòbil i protectors de pantalla. En Lucas va comprar 2 fundes i 3 protectors per 22 €. La Sofía va comprar 3 fundes i 2 protectors per 23 €.

1. a) Planteja el sistema d'equacions associat al problema.
2. b) Utilitza els determinants $|A|$, $|A_x|$ i $|A_y|$ per a trobar el preu d'una funda ($x$) i d'un protector ($y$) mitjançant la regla de Cramer.

Considera el sistema homogeni següent:

$\begin{cases} 2x - 3y + z = 0 \\ x + y - 2z = 0 \\ 3x - 2y - z = 0 \end{cases}$

1. a) Calcula el determinant de la matriu de coeficients $|A|$.
2. b) Basant-te en el resultat anterior i sense fer més càlculs de determinants, explica quantes solucions té el sistema i quina és la solució principal que sempre verifica un sistema d'aquest tipus.

En un sistema d'equacions lineals $AX = B$, sabem que el determinant de la matriu de coeficients és $|A| = 5$. Si volem trobar el valor de la incògnita $y$ i sabem que el determinant de la matriu que resulta de substituir la segona columna pels termes independents és $|A_y| = -15$:

1. a) Quin és el valor de la incògnita $y$ segons la regla de Cramer?
2. b) Si a més sabem que $x = 4$, quant ha de valer el determinant $|A_x|$?

Resol el sistema següent utilitzant la regla de Cramer. Es tracta d'un sistema on una de les incògnites ja està "aïllada" en l'estructura, la qual cosa simplifica els càlculs dels determinants:

$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 3x - y = 1 \\ 3y + 2z = 7 \end{cases}$

Comprova el teu resultat substituint els valors obtinguts en la primera equació.

En Marcos vol resoldre el següent sistema de dues equacions amb dues incògnites aplicant la regla de Cramer:

Per trobar el valor de la incògnita $y$, escriu els següents passos al seu examen:

1. Calcula el determinant de la matriu de coeficients: $|A| = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 5 = -17$. Com que $|A| \neq 0$, afirma correctament que és un sistema de Cramer.

2. Per calcular la incògnita $y$, construeix la matriu associada: $|A_y| = \begin{vmatrix} 11 & 5 \\ 8 & -1 \end{vmatrix} = 11 \cdot (-1) - 8 \cdot 5 = -51$.

3. Conclou que $y = \dfrac{|A_y|}{|A|} = \dfrac{-51}{-17} = 3$.

1. a) Identifica i explica de manera raonada l'error conceptual que ha comès en Marcos en construir la matriu per calcular $y$.
2. b) Corregeix el seu desenvolupament calculant el determinant $|A_y|$ correcte i obtén el veritable valor de la incògnita $y$.

Una cooperativa agrària analitza el rendiment de tres parcel·les de conreu ($x$, $y$, $z$) la producció de les quals en tones respon al següent sistema d'equacions lineals:

La junta directiva només necessita conèixer la producció de la parcel·la $z$ per tancar amb urgència un contracte d'exportació.

1. a) Es plantegen dues estratègies: aplicar el mètode d'eliminació de Gauss fins a esglaonar completament el sistema i aïllar les tres incògnites, o bé comprovar si és un sistema de Cramer i calcular exclusivament els determinants necessaris per obtenir $z$. Compara els dos camins i justifica quin resulta més directe i econòmic en càlculs per a aquest objectiu.
2. b) Aplica l'estratègia més eficient que has triat per calcular el valor exacte de la producció $z$.

Un equip d'e-sports ha participat en un torneig on s'atorguen punts per partides guanyades ($x$), empatades ($y$) i per objectius secundaris assolits ($z$). El sistema que descriu la seva puntuació és el següent:

$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ 2x - y + 3z = 13 \\ x + 2y - z = 4 \end{cases}$

Utilitza la regla de Cramer per trobar quantes partides van guanyar, quantes van empatar i quants objectius secundaris van aconseguir.

Donat el sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = 1 \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

Determina per a quins valors de $k$ el sistema és un sistema de Cramer i resol-ho per a $k = 0$.

Un servei municipal de mobilitat compartida utilitza tres tipus de vehicles: bicicletes urbanes, bicicletes elèctriques i patinets. Es sap que el consum d'energia setmanal (en centenars de kWh) compleix les relacions següents:

$\begin{cases} 2x + 3y + z = 11 \\ x - 2y + 3z = 6 \\ 3x + y - 2z = -1 \end{cases}$

On $x, y, z$ representen la flota de cada vehicle respectivament. Calcula el nombre d'unitats de cada tipus utilitzant determinants.

Expressa en forma matricial $A \cdot X = B$ el sistema següent i, després de comprovar que el determinant de la matriu de coeficients no és nul, troba el valor de la incògnita $y$ aplicant exclusivament la fórmula de la regla de Cramer:

$\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 3x - y + 2z = 1 \\ 2x + 3y + z = 2 \end{cases}$

Un nutricionista dissenya una dieta amb tres aliments bàsics $A, B$ i $C$. El sistema d'equacions que relaciona les porcions de cada aliment amb els grams de proteïnes, hidrats i greixos totals és:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y = 7 \\ 3x + 2y + z = 13 \end{cases}$

És possible aplicar la regla de Cramer directament per resoldre aquest sistema? Justifica la teva resposta analitzant el determinant de la matriu associada i, en cas afirmatiu, calcula quantes porcions de l'aliment $z$ s'han d'incloure.

Tres plans a l'espai vénen donats per les equacions del sistema següent:

$\pi_1: x + y + z = 2$

$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$

$\pi_3: kx + 10y + 4z = 11$

1. a) Determina per a quins valors de $k$ els tres plans es tallen en un únic punt.

1. b) Per a $k = 1$, troba les coordenades d'aquest punt mitjançant la regla de Cramer.

Es sap que en un sistema de tres equacions amb tres incògnites $AX=B$, els determinants de les matrius auxiliars són $|A_x| = 12$, $|A_y| = -6$ i $|A_z| = 0$. Si es coneix que la solució per a $x$ és $2$, utilitza la lògica de la regla de Cramer per determinar el valor del determinant de la matriu de coeficients $|A|$ i el valor de les incògnites $y$ i $z$.

Resol el sistema d'equacions següent mitjançant la regla de Cramer, prestant especial atenció a la gestió dels termes independents negatius:

$\begin{cases} 3x - 2y + z = -10 \\ 2x + y - 3z = 5 \\ x - y + 2z = -5 \end{cases}$

Una distribuïdora de fruita ecològica comercialitza tres tipus de cistelles setmanals: Bàsica ($x$), Familiar ($y$) i Gourmet ($z$), els preus unitaris de les quals en euros verifiquen les següents relacions comptables:

1. a) Abans de calcular la solució, observa les dues últimes equacions sabent que els preus han de ser quantitats positives. Justifica per què el preu de la cistella Bàsica $x$ ha de ser estrictament menor que 40 € i estima raonadament quina de les tres cistelles ($x$, $y$ o $z$) tindrà un preu notablement superior al de les altres dues.
2. b) Demostra que el sistema és de Cramer calculant el determinant de la matriu de coeficients, $|A|$.
3. c) Resol el sistema complet mitjançant la regla de Cramer i comprova si els preus obtinguts són plenament coherents amb les cotes i l'estimació que has fet a l'apartat (a).

Una delegació d'estudiants de Saragossa viatja en tren d'alta velocitat a Madrid per assistir a una fira universitària. En total viatgen 24 persones i adquireixen tres tipus de bitllets de Renfe: Bàsic ($x$), Elige ($y$) i Prémium ($z$). Es disposa de la següent informació sobre la compra:

• El nombre total de bitllets adquirits és 24.

• Les tarifes són de 25 € per al bitllet Bàsic, 40 € per a l'Elige i 60 € per al Prémium, i l'import total de la factura ascendeix a 780 €.

• El nombre de bitllets de tarifa Bàsica adquirits supera en 8 unitats la suma dels bitllets de les altres dues tarifes juntes.

1. a) Planteja el sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites que modelitza la compra dels bitllets.
2. b) Justifica que es tracta d'un sistema de Cramer calculant el determinant $|A|$.
3. c) Aplica la regla de Cramer per determinar quants bitllets de cada modalitat s'han comprat.

Considera el sistema d'equacions lineals següent dependent del paràmetre real $k$:

1. a) Discuteix el sistema utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius segons els valors de $k$.
2. b) En el cas que el sistema sigui un sistema de Cramer, resol per a la incògnita $y$ aplicant la regla de Cramer. Expressa el resultat com una fracció algebraica simplificada en termes de $k$.

Tres agències de màrqueting digital, Alpha, Beta i Gamma, gestionen les campanyes d'un nou videojoc. Es sap que:

• El cost total de les tres campanyes ha estat de $12\,000$ €.

• La inversió en Beta és el doble de la diferència entre la inversió en Gamma i la inversió en Alpha.

• Si la inversió en Alpha es tripliqués, la de Beta es reduís a la meitat i la de Gamma augmentés en $1\,000$ €, el cost total seria de $19\,000$ €.

1. a) Planteja un sistema d'equacions lineals que permeti calcular quant ha invertit cada agència.
2. b) Demostra que és un sistema de Cramer.
3. c) Utilitza la regla de Cramer per trobar el pressupost destinat a l'agència Gamma.

Es considera el sistema d'equacions:

1. a) Determina els valors de $a$ per als quals el sistema no admet la regla de Cramer.
2. b) Per a $a = 0$, resol el sistema complet utilitzant exclusivament la regla de Cramer.
3. c) Existeix cap valor de $a$ per al qual el valor de la incògnita $z$ sigui igual a $0$ sent el sistema compatible determinat? Justifica la teva resposta.

Una empresa de logística utilitza tres tipus de furgonetes ($A$, $B$ i $C$) per repartir paquets. Dilluns van utilitzar $4$ de tipus $A$, $1$ de tipus $B$ i $3$ de tipus $C$ per repartir $130$ paquets. Dimarts, amb $2$ de tipus $A$, $5$ de tipus $B$ i $1$ de tipus $C$, van repartir $110$ paquets. Dimecres, van repartir $120$ paquets fent servir $3$ furgonetes de cada tipus.

1. a) Escriu la matriu de coeficients i calcula el seu determinant.
2. b) Sabent que el sistema és compatible determinat, quina és la capacitat de càrrega de la furgoneta tipus $B$? Resol-ho mitjançant la regla de Cramer.
3. c) Si una quarta furgoneta de tipus $D$ té una capacitat igual a la suma de les capacitats de $A$ i $C$ menys la de $B$, quants paquets pot transportar?

Sigui el sistema d'equacions:

1. a) Calcula el determinant de la matriu de coeficients i raona per què sempre és un sistema de Cramer, independentment dels valors de $m, n$ i $p$.
2. b) Aplicant la regla de Cramer, demostra que la solució per a $x$ és $x = \frac{m+n}{2}$.
3. c) Si es sap que la solució del sistema és $x = 5, y = 1, z = 2$, determina els valors dels termes independents $m, n$ i $p$.

Un inversor reparteix $50\,000$ € entre tres productes financers: un compte d'estalvi al $1\%$, un fons d'inversió al $3\%$ i accions tecnològiques al $7\%$. En acabar l'any, els beneficis totals han estat de $2\,300$ €. Es sap a més que la quantitat invertida en accions tecnològiques és igual al triple del que s'ha invertit en el compte d'estalvi més $2\,000$ €.

1. a) Planteja el sistema d'equacions per determinar les tres quantitats invertides ($x, y, z$).
2. b) Escriu l'expressió de la regla de Cramer per trobar la quantitat invertida en el fons d'inversió ($y$). No cal realitzar els càlculs finals dels determinants de $3 \times 3$, només deixar-los plantejats.
3. c) Si el determinant de la matriu del sistema és $\Delta = -0,10$, és possible que el sistema sigui incompatible? Raona la teva resposta.

Donat el sistema d'equacions dependent del paràmetre $a$:

1. a) Estudia per a quins valors de $a$ el sistema és compatible determinat.
2. b) Per als valors trobats a l'apartat anterior, aplica la regla de Cramer per trobar el valor de $z$ en funció de $a$.
3. c) Determina per a quin valor de $a$ es compleix que $x=y=z$.

En un estudi sobre nutrició esportiva, s'analitza la composició de tres suplements ($S_1, S_2, S_3$) en grams de proteïnes, hidrats i greixos per unitat:

Un atleta necessita ingerir exactament $115$ g de proteïnes, $140$ g d'hidrats i $34$ g de greixos.

1. a) Planteja el sistema d'equacions per determinar quantes unitats de cada suplement ha de prendre.
2. b) Calcula el determinant de la matriu de coeficients. Què indica aquest valor sobre la possibilitat de fer servir la regla de Cramer?
3. c) Resol el sistema utilitzant la regla de Cramer per determinar quantes unitats del suplement $S_1$ ha de consumir.

En un sistema lineal de tres equacions amb tres incògnites expressat en forma matricial com a $A \cdot X = B$, les columnes de la matriu de coeficients són $C_1$, $C_2$ i $C_3$, de manera que $A = (C_1 \; C_2 \; C_3)$. Se sap que el determinant de la matriu de coeficients és $|A| = 4$ i que la columna de termes independents satisfà la relació vectorial $B = 3 C_1 - 2 C_2 + 5 C_3$.

1. a) Sense necessitat de conèixer els valors numèrics individuals de la columna $C_1$, dedueix i justifica la solució única $(x, y, z)$ del sistema recolzant-te en el fonament teòric de la regla de Cramer explicat als apunts (la descomposició de $B$ com a combinació lineal de columnes).
2. b) Troba el valor numèric exacte dels tres determinants $|A_x|$, $|A_y|$ i $|A_z|$ que intervenen en la regla de Cramer per a aquest sistema.
3. c) Si se substitueix la columna de termes independents per una nova columna $B' = C_1 + k \cdot C_2$, determina raonadament quin valor ha de prendre el paràmetre real $k$ perquè el determinant associat a la incògnita $y$ sigui exactament $|A_y| = -12$.

Dos estudiants de 2n de Batxillerat analitzen el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $a$:

• En Carlos opina: «Convé aplicar el mètode de Gauss des de l'inici fent zeros amb el paràmetre $a$, perquè així discutim i calculem la solució alhora».

• La Diana sosté: «Com que hi ha un paràmetre, Gauss obliga a dividir entre expressions amb $a$ i obrir múltiples casos prematurs; és molt més segur calcular $|A(a)|$, aplicar la regla de Cramer per obtenir les solucions generals com a fraccions algebraiques quan $|A(a)| \neq 0$, i deixar Gauss únicament per als valors crítics on el determinant s'anul·la».

1. a) Calcula el polinomi $|A(a)|$ i determina per a quins valors de $a$ el sistema és de Cramer.
2. b) Per als valors en què el sistema és de Cramer, utilitza la regla de Cramer per calcular la incògnita $x$ en funció de $a$. Simplifica la fracció algebraica resultant factoritzant numerador i denominador.
3. c) Valora críticament els arguments d'en Carlos i la Diana: raona quines dificultats operatives presenta el mètode de Gauss enfront de la regla de Cramer quan es busca la solució general d'un sistema compatible determinat amb paràmetres.