La regla de Cramer
Hasta ahora, para resolver un sistema de tres incógnitas triangulabas con Gauss. La regla de Cramer ofrece una fórmula directa: cada incógnita es un cociente de dos determinantes. No sustituye a Gauss —hay sistemas donde Gauss es más rápido—, pero es imprescindible cuando el sistema lleva un parámetro, porque te permite despejar sin seguir todos los pasos de la triangulación.
Sistema de Cramer: cuando $|A| \ne 0$
Para empezar a trabajar con la regla de Cramer, es fundamental identificar qué sistemas permiten su uso directo. Dado el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos…
Para empezar a trabajar con la regla de Cramer, es fundamental identificar qué sistemas permiten su uso directo. Dado el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - y = 2 \end{cases}$
- a) Calcula el determinante de la matriz de los coeficientes, $|A|$.
- b) Justifica si es un sistema de tipo Cramer.
- c) Halla el valor de la incógnita $x$ calculando únicamente el determinante de la matriz asociada a dicha variable, $|A_x|$, y aplicando la fórmula de Cramer.
La regla de Cramer
Aplica la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $3 \times 3$. Asegúrate de calcular primero el determinante general del sistema para…
Aplica la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $3 \times 3$. Asegúrate de calcular primero el determinante general del sistema para comprobar que tiene solución única:
$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$
Cramer con tres incógnitas
El procedimiento es idéntico con un sistema $3\times3$: cuatro determinantes de orden $3$ ($|A|$, $|A_x|$, $|A_y|$, $|A_z|$) en vez de cuatro de orden $2$. El trabajo crece, pero la lógica —sustituir una columna y dividir— no cambia.
En un examen de Matemáticas II, se pide a los alumnos que identifiquen sistemas de tipo Cramer sin resolverlos. Indica razonadamente cuál de los siguientes sistemas no…
En un examen de Matemáticas II, se pide a los alumnos que identifiquen sistemas de tipo Cramer sin resolverlos. Indica razonadamente cuál de los siguientes sistemas no se puede resolver mediante la regla de Cramer directamente:
- a) $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 2y = 10 \end{cases}$
- b) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$
- c) $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ y + z = 2 \\ z = 3 \end{cases}$
Un equipo de e-sports ha participado en un torneo donde se otorgan puntos por partidas ganadas ($x$), empatadas ($y$) y por objetivos secundarios cumplidos ($z$). El…
Un equipo de e-sports ha participado en un torneo donde se otorgan puntos por partidas ganadas ($x$), empatadas ($y$) y por objetivos secundarios cumplidos ($z$). El sistema que describe su puntuación es el siguiente:
$\begin{cases} x + y + z = 10 \\ 2x - y + 3z = 13 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases}$
Utiliza la regla de Cramer para hallar cuántas partidas ganaron, cuántas empataron y cuántos objetivos secundarios consiguieron.
Cramer con parámetro
La fuerza de Cramer se nota con un parámetro: puedes despejar una incógnita sin resolver todo el sistema. Calculas $|A(k)|$ y $|A_i(k)|$ en función del parámetro, y el cociente te da la incógnita simplificada como fracción algebraica.
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$: $$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2…
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$:
$$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$$- a) Discute el sistema utilizando el teorema de Rouché-Frobenius según los valores de $k$.
- b) En el caso en que el sistema sea un sistema de Cramer, resuelve para la incógnita $y$ aplicando la regla de Cramer. Expresa el resultado como una fracción algebraica simplificada en términos de $k$.
Se considera el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} ax + y + z = (a-1)^2 \\ x + ay + z = (a-1) \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$ a) Determina los valores de $a$ para…
Se considera el sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} ax + y + z = (a-1)^2 \\ x + ay + z = (a-1) \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$- a) Determina los valores de $a$ para los cuales el sistema no admite la regla de Cramer.
- b) Para $a = 0$, resuelve el sistema completo utilizando exclusivamente la regla de Cramer.
- c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual el valor de la incógnita $z$ sea igual a $0$ siendo el sistema compatible determinado? Justifica tu respuesta.
Cramer en problemas y ecuaciones matriciales
Cramer también sirve para resolver una sola incógnita sin calcular las demás: si solo te piden $z$, basta con $|A|$ y $|A_z|$. Esto es especialmente útil dentro de problemas más grandes de contexto, donde el enunciado solo pregunta por una de las variables.
Un servicio municipal de movilidad compartida utiliza tres tipos de vehículos: bicicletas urbanas, bicicletas eléctricas y patinetes. Se sabe que el consumo de energía…
Un servicio municipal de movilidad compartida utiliza tres tipos de vehículos: bicicletas urbanas, bicicletas eléctricas y patinetes. Se sabe que el consumo de energía semanal (en cientos de kWh) cumple las siguientes relaciones:
$\begin{cases} 2x + 3y + z = 11 \\ x - 2y + 3z = 6 \\ 3x + y - 2z = 1 \end{cases}$
Donde $x, y, z$ representan la flota de cada vehículo respectivamente. Calcula el número de unidades de cada tipo utilizando determinantes.