Exercicis: Sistemes dependents d'un paràmetre

Considera el sistema següent de dues equacions amb dues incògnites, on $k$ és un nombre real:

$$\begin{cases} kx + y = 3 \\ 4x + y = 2 \end{cases}$$

1. a) Determina per a quin valor de $k$ el sistema no té una solució única.

1. b) Si triem $k = 5$, què podem dir sobre la posició relativa de les dues rectes que representen les equacions?

Una petita empresa de desenvolupament d'aplicacions cobra per dos tipus de serveis: manteniment ($x$) i consultoria ($y$). El sistema que relaciona els ingressos de dos mesos és:

$$\begin{cases} x + 2y = 500 \\ 2x + ay = 1000 \end{cases}$$

1. a) Escriu la matriu de coeficients $A$ i la matriu ampliada $A^*$ associades al sistema.
2. b) Per a quin valor de $a$ el sistema té infinites solucions? Què significa això en el context dels serveis prestats?

Dat el sistema dependent del paràmetre real $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = m \\ 2x + 2z = 2 \end{cases}$$

Utilitza el mètode de Gauss per demostrar que, per a qualsevol valor de $m \neq 1$, el sistema és incompatible. Què passa si $m = 1$?

En l'anàlisi d'un mercat financer, s'ha determinat que l'equilibri de preus de tres actius ve donat pel sistema següent:

$$\begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 3 \\ x + y + pz = 2 \end{cases}$$

Discuteix la compatibilitat del sistema segons els valors del paràmetre $p$ (preu del tercer actiu). Indica quan el sistema és compatible determinat (SCD).

Discuteix el sistema homogeni següent en funció del paràmetre $a$:

$$\begin{cases} x + ay = 0 \\ ax + 9y = 0 \end{cases}$$

Recorda que els sistemes homogenis sempre són compatibles. Indica per a quins valors de $a$ el sistema té només la solució trivial $(0,0)$ i per a quins té infinites solucions.

Se sap que el sistema següent d'equacions lineals té solució única per a un valor específic del paràmetre $t$:

$$\begin{cases} t x + y = 1 \\ x + t y = 1 \end{cases}$$

1. a) Calcula el determinant de la matriu de coeficients en funció de $t$.
2. b) Indica per a quins valors de $t$ el sistema és compatible determinat.
3. c) Estudia què passa si $t = -1$.

Un nutricionista dissenya una dieta amb dos aliments. El contingut de proteïnes i carbohidrats depèn d'un factor d'enriquiment $k$ segons el sistema:

$$\begin{cases} 2x + ky = 10 \\ x + y = 5 \end{cases}$$

1. a) Troba el valor de $k$ que fa que el sistema sigui compatible indeterminat.
2. b) Per a aquest valor de $k$, hi ha alguna solució on les quantitats d'aliments $(x, y)$ siguin negatives? Justifica la teva resposta breument.

Sigui el sistema de tres equacions amb tres incògnites:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + 2z = 0 \\ x + y + (b^2-3)z = 0 \end{cases}$$

1. a) Classifica el sistema en funció del paràmetre $b$.
2. b) Hi ha algun valor de $b$ per al qual el sistema sigui incompatible? Justifica la teva resposta basant-te en la teoria de sistemes homogenis.

En David està resolent un problema de les proves d'accés a la universitat amb el següent sistema homogeni dependent del paràmetre real $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + my + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 0 \end{cases}$$

En David calcula el determinant de la matriu de coeficients i obté $|A| = 4 - 2m$. Després d'igualar-lo a zero, dedueix que l'arrel és $m = 2$ i escriu al seu examen:

«Per a $m \ne 2$, el determinant és diferent de zero, per la qual cosa el sistema és Compatible Determinat i l'única solució és la trivial $(x, y, z) = (0, 0, 0)$. Per a $m = 2$, el determinant és zero; per tant, el rang de la matriu de coeficients disminueix, no coincideix amb el nombre d'incògnites i el sistema passa a ser Incompatible, sense cap solució».

1. a) Localitza l'error conceptual comès per en David en la seva conclusió per a $m = 2$. Explica raonadament per què un sistema homogeni mai pot ser incompatible, basant-te en el Teorema de Rouché-Fröbenius i en l'existència de la solució trivial.
2. b) Corregeix la discussió completa del sistema per al cas $m = 2$, calculant el rang de la matriu de coeficients $A$ i de la matriu ampliada $A^*$.
3. c) Resol el sistema per a $m = 2$ i expressa les seves infinites solucions en forma paramètrica utilitzant el paràmetre real $\lambda$.

Es vol dissenyar un sistema de tres equacions relacionades amb tres incògnites ($x, y, z$) dependent de dos paràmetres reals, $a$ i $k$, amb la següent estructura:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + ay + z = 2 \\ 2x + 3y + az = k \end{cases}$$

1. a) Per a quin valor concret d'$a$ les dues primeres equacions resulten idèntiques? Demostra que, per a aquest valor d'$a$, el sistema mai no pot ser incompatible, independentment del nombre real que posem a $k$.
2. b) Calcula el determinant de la matriu de coeficients $|A|$ en funció d'$a$, factoritza'l i determina quins dos valors d'$a$ fan que el sistema deixi de ser compatible determinat.
3. c) Si fixem $a = 2$, troba quin valor ha de prendre necessàriament el terme independent $k$ perquè el sistema tingui solució (sigui compatible indeterminat) i què passa si $k$ pren qualsevol altre valor diferent.

Considera el sistema d'equacions lineals següent, que depèn d'un paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$$

1. a) Discuteix el sistema segons els diferents valors del paràmetre $a$ utilitzant el Teorema de Rouché-Fröbenius.

1. b) Resol el sistema per al cas en què sigui compatible indeterminat i escriu la solució en forma paramètrica.

1. c) Hi ha algun valor d'$a$ per al qual el sistema sigui incompatible? Justifica la teva resposta.

Una empresa de missatgeria utilitza tres tipus de vehicles (furgonetes, motos i drons) per fer les seves entregues. Se sap que el cost operatiu diari de cada vehicle depèn d'un factor de manteniment variable $k$. La despesa total en tres rutes distintes ve donada pel sistema següent:

$$\begin{cases} x + 2y + kz = 3 \\ 3x + ky = 6 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

On $x, y, z$ representen el nombre de furgonetes, motos i drons operatius, respectivament.

1. a) Analitza la compatibilitat del sistema per als diferents valors de $k$.

1. b) Per a $k = 4$, determina si el sistema té solució única. En cas afirmatiu, calcula-la utilitzant la regla de Cramer.

Es donen els tres plans següents a l'espai tridimensional, les equacions dels quals depenen del paràmetre $m$:

$$\pi_1: mx + y + z = 0$$ $$\pi_2: x + my + z = 0$$ $$\pi_3: x + y + mz = 0$$

1. a) Determina per a quins valors de $m$ els tres plans es tallen únicament a l'origen de coordenades $(0, 0, 0)$.

1. b) Troba els valors de $m$ per als quals el sistema format per les tres equacions és compatible indeterminat. Per a cadascun d'aquests valors, indica la interpretació geomètrica de la posició relativa dels tres plans.

Estudia la compatibilitat del sistema segons els valors del paràmetre $t$ i resol-lo quan sigui possible:

$$\begin{cases} x + y + tz = t \\ tx + y + z = 1 \\ x + ty + z = 1 \end{cases}$$

En la teva anàlisi, presta especial atenció al cas $t = -2$ i explica raonadament què passa amb els rangs de la matriu de coeficients i de la matriu ampliada.

Un "influencer" està analitzant l'evolució dels seus seguidors en tres xarxes socials (TikTok, Instagram i Twitch). Siguen $x, y, z$ la variació neta de seguidors diaris (altes menys baixes, per la qual cosa pot ser negativa) a TikTok, Instagram i Twitch, respectivament. Aquestes variacions satisfan les condicions mensuals següents, on $m$ és un coeficient de viralitat:

$$\begin{cases} x + y + z = m \\ 2x + 3y + mz = 5 \\ x + my + 3z = 8 \end{cases}$$

1. a) Discuteix el sistema en funció de $m$.

1. b) Si per a un determinat mes el coeficient de viralitat és $m = 2$, quina és la variació neta de seguidors diaris en cada xarxa social?

Sigui la matriu de coeficients $A$ i la matriu de termes independents $B$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ 2 & -k & 4 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

1. a) Determina els valors de $k$ per als quals la matriu $A$ no té inversa.

1. b) Discuteix el sistema d'equacions $A \cdot X = B$ segons els valors de $k$.

1. c) Resol el sistema per a $k = 3$.

Dat el sistema d'equacions lineals:

$$\begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x - y + 2z = 2 \\ x + 2y - 3z = a \end{cases}$$

1. a) Hi ha algun valor de $a$ per al qual el sistema sigui compatible determinat? Justifica la resposta basant-te en el rang de la matriu de coeficients.

1. b) Troba el valor de $a$ que fa que el sistema sigui compatible indeterminat.

1. c) Per al valor de $a$ trobat a l'apartat anterior, dona una solució particular en la qual $z = 0$.

Una cooperativa agrícola produeix tres tipus d'oli d'oliva (Verge Extra, Verge i Lampant). Les quantitats produïdes en tones ($x, y, z$) estan limitades per la disponibilitat d'oliva i el temps de premsatge, seguint aquest model que depèn d'un paràmetre $p$ relacionat amb la pluja anual:

$$\begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + py + 2z = 200 \\ px + 2y + 2z = 150 \end{cases}$$

1. a) Discuteix la viabilitat de la producció (compatibilitat del sistema) en funció de $p$.

1. b) Si un any de sequera extrema el paràmetre és $p = 2$, què pots afirmar sobre la producció de la cooperativa basant-te en l'anàlisi del sistema?

Dos estudiants, la Carmen i en Mateo, es disposen a discutir el següent sistema dependent del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + ky + z = 1 \\ x + y + kz = 2 \end{cases}$$

La Carmen afirma: «El més fiable i ordenat és calcular el determinant $|A|$, buscar-ne les arrels i aplicar el Teorema de Rouché-Fröbenius comparant rangs amb menors».

En Mateo respon: «És molt més directe utilitzar el mètode de Gauss sobre la matriu ampliada des de l'inici, dividint les files entre les expressions amb $k$ que facin falta per fer zeros ràpidament».

1. a) Analitza la proposta d'en Mateo: quines precaucions algebraiques obligatòries s'han de prendre en triangular per Gauss una matriu amb paràmetres quan es multiplica o es divideix una fila per una expressió que conté $k$? Per què se sol preferir l'estratègia de la Carmen per evitar errors de discussió a Batxillerat?
2. b) Segueix la proposta de la Carmen: calcula $|A|$, factoritza'l i discuteix raonadament el tipus de sistema que s'obté segons els diferents valors de $k$.
3. c) Per al cas particular $k = 1$, classifica el sistema i resol-lo justificant si consideres més avantatjosa la Regla de Cramer o l'eliminació de Gauss en aquest cas numèric concret.

Una empresa de missatgeria urgent reparteix paquets en tres àrees tarifàries d'una comunitat autònoma: Urbana ($x$), Metropolitana ($y$) i Provincial ($z$), on les variables representen el cost mitjà de combustible (en euros) per enviament a cada zona. Amb l'objectiu d'auditar l'impacte del preu del carburant, es registren les dades de tres jornades:

• Jornada 1: 10 enviaments urbans, 10 metropolitans i 10 provincials van suposar una despesa total de $120$ euros.

• Jornada 2: 10 enviaments urbans, 20 metropolitans i 10 provincials van generar una despesa total de $160$ euros.

• Jornada 3: 20 enviaments urbans, 30 metropolitans i $k$ provincials van sumar una despesa total de $G$ euros, on $k$ és un coeficient tècnic previst i $G$ la despesa comptabilitzada.

1. a) Planteja el sistema d'equacions lineals que modelitza la despesa de combustible de les tres jornades en funció dels costos unitaris $x, y, z$.
2. b) Estudia per a quin valor del paràmetre tècnic $k$ la matriu de coeficients té determinant nul. Si es dona aquest valor de $k$, quant hauria de valer exactament la despesa $G$ perquè els registres de les tres jornades no siguin contradictoris entre si (és a dir, perquè el sistema no sigui incompatible)?
3. c) Durant una setmana de control es va fixar $k = 25$ i es va registrar una despesa de $G = 305$ euros a la tercera jornada. Classifica el sistema mitjançant el Teorema de Rouché-Fröbenius i calcula el cost unitari en combustible ($x, y, z$) corresponent a cada tipus d'enviament.

Es considera el sistema d'equacions següent dependent del paràmetre real $a$:

$$ \begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases} $$

1. a) Discuteix el sistema segons els diferents valors del paràmetre $a$.
2. b) Resol el sistema, si és possible, per al cas en què sigui compatible indeterminat i per al cas $a = 0$.

Una empresa de màrqueting digital analitza l'impacte de tres campanyes publicitàries ($x, y, z$). Els costos de gestió i el retorn d'inversió estan vinculats per un factor d'eficiència tecnològica $k$ segons el model següent:

$$ \begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases} $$

1. a) Discuteix la viabilitat del model (compatibilitat del sistema) en funció del factor $k$.
2. b) Hi ha algun valor de $k$ per al qual el sistema no tingui solució? En cas afirmatiu, interpreta què significaria per a l'empresa.
3. c) Determina els valors de $k$ per als quals la inversió en les tres campanyes és la mateixa ($x = y = z$).

Dat el sistema d'equacions amb dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + 2y + 3z = 2 \\ x + ay + 3z = b \end{cases} $$

1. a) Discuteix el sistema en funció dels valors de $a$ i $b$.
2. b) Per als valors que fan que el sistema sigui compatible indeterminat, troba la solució general expressant-la en funció d'un paràmetre $\lambda$.

Considera el sistema homogeni següent:

$$ \begin{cases} (m+1)x + y + z = 0 \\ x + (m+1)y + z = 0 \\ x + y + (m+1)z = 0 \end{cases} $$

1. a) Determina els valors del paràmetre $m$ per als quals el sistema admet solucions diferents de la trivial $(0, 0, 0)$.

1. b) Per als valors trobats a l'apartat anterior, descriu la posició relativa dels tres plans que representen les equacions del sistema.

Estudia la compatibilitat del sistema següent de quatre equacions amb tres incògnites segons els valors de $m$:

$$ \begin{cases} x + y + z = m \\ x + my + z = 1 \\ x + y + mz = 1 \\ mx + y + z = 1 \end{cases} $$

Per a quin valor de $m$ el sistema té una única solució? Calcula-la en aquest cas.

Sigui la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & a & 3 \\ 4 & 1 & -a \end{pmatrix}$.

1. a) Troba els valors de $a$ per als quals el sistema $A \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ té infinites solucions.
2. b) Per a $a = 2$, resol l'equació matricial $A \cdot X = B$, essent $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, utilitzant la matriu inversa.

Un equip d'investigadors estudia l'evolució de tres poblacions de microorganismes en un entorn controlat. Les relacions de creixement depenen de la temperatura $T$ (mesurada en una escala normalitzada com a paràmetre $t$):

$$ \begin{cases} x + y + tz = t \\ tx + y + z = t \\ x + ty + z = t \end{cases} $$

1. a) Discuteix el sistema per als diferents valors de $t$.
2. b) Interpreta geomètricament què passa quan $t = 1$ i quan $t = -2$.
3. c) Si es sap que la suma de les tres poblacions és constant i igual a 1, quins valors pot prendre $t$?

Se sap que el sistema d'equacions:

$$ \begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ ay + z = 1 \\ 2x + ay = b \end{cases} $$

és compatible indeterminat.

1. a) Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$.
2. b) Per als valors trobats, escriu la solució general del sistema.
3. c) Si afegim una quarta equació $x + y + z = 2$, canvia la compatibilitat del sistema? Raona la resposta.

Considera el següent sistema d'equacions lineals dependent de dos paràmetres reals $a$ i $b$:

$$\begin{cases} x + ay + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = b \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

1. a) Estima sense calcular: Observa amb atenció les equacions primera i tercera quan $a = 1$. Com són entre si? Observa ara la segona equació: per a quin valor de $b$ seria proporcional a les altres dues? A partir d'aquestes relacions de proporcionalitat, formula una hipòtesi raonada sobre quin tipus de sistema s'obtindrà quan $a = 1$ i $b = 2$, què passarà quan $a = 1$ i $b \ne 2$, i si el valor de $b$ tindrà alguna influència quan $a \ne 1$.
2. b) Comprova formalment: Calcula el determinant $|A|$ en funció d'$a$. Aplica el Teorema de Rouché-Fröbenius analitzant amb detall els rangs d'$A$ i de la matriu ampliada $A^*$ per classificar el sistema en tots els casos possibles segons els valors d'$a$ i $b$. Contrasta el resultat amb l'estimació que has formulat a l'apartat anterior.
3. c) Per als valors $a = 1$ i $b = 2$, determina el nombre de graus de llibertat de la solució, troba la solució general en forma paramètrica i descriu quina figura geomètrica representa aquest conjunt de solucions a l'espai tridimensional.

Un equip de modelització financera analitza les relacions d'intercanvi entre tres actius mitjançant el següent sistema dependent dels paràmetres reals $\lambda$ i $\mu$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + \lambda y + 2z = 2 \\ 3x + 3y + \lambda z = \mu \end{cases}$$

Per validar la robustesa del model econòmic s'han d'investigar tres escenaris clau:

1. a) Escenari de consistència universal: Demostra analíticament que existeix un valor de $\lambda$ per al qual el sistema és compatible indeterminat amb independència absoluta del valor que prengui $\mu$. Explica algebraicament per què el terme independent $\mu$ resulta innocu en aquest cas concret i troba el rang de la matriu ampliada $A^*$.
2. b) Escenari de sensibilitat crítica: Determina l'altre valor de $\lambda$ que anul·la $|A|$ i troba quina condició ha de complir $\mu$ perquè el model entri enガールincompatibilitat (sense solucions possibles). Si en aquest escenari s'adopta $\mu = 3$, resol el sistema expressant les infinites solucions en funció d'un únic paràmetre real $t$.
3. c) Escenari d'equilibri determinat: Si es calibren els paràmetres en $\lambda = 1$ i $\mu = 0$, justifica per què el sistema admet solució única sense necessitat de resoldre'l per complet, i calcula exclusivament el valor de la variable $z$ aplicant de manera directa la Regla de Cramer.