Sistemas dependientes de un parámetro

Considera el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde $k$ es un número real:

$$\begin{cases} kx + y = 3 \\ 4x + y = 2 \end{cases}$$

1. a) Determina para qué valor de $k$ el sistema no tiene una solución única.
2. b) Si elegimos $k = 5$, ¿qué podemos decir sobre la posición relativa de las dos rectas que representan las ecuaciones?

Una pequeña empresa de desarrollo de apps cobra por dos tipos de servicios: mantenimiento ($x$) y consultoría ($y$). El sistema que relaciona los ingresos de dos meses es:

$$\begin{cases} x + 2y = 500 \\ 2x + ay = 1000 \end{cases}$$

1. a) Escribe la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema.
2. b) ¿Para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones? ¿Qué significa esto en el contexto de los servicios prestados?

Dado el sistema dependiente del parámetro real $m$:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = m \\ 2x + 2z = 2 \end{cases}$$

Utiliza el método de Gauss para demostrar que, para cualquier valor de $m \neq 1$, el sistema es incompatible. ¿Qué ocurre si $m = 1$?

Una empresa de mensajería utiliza tres tipos de vehículos (furgonetas, motos y drones) para realizar sus entregas. Se sabe que el coste operativo diario de cada vehículo depende de un factor de mantenimiento variable $k$. El gasto total en tres rutas distintas viene dado por el siguiente sistema:

$$\begin{cases} x + 2y + kz = 3 \\ 3x + ky = 6 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

Donde $x, y, z$ representan el número de furgonetas, motos y drones operativos, respectivamente.

1. a) Analiza la compatibilidad del sistema para los distintos valores de $k$.

1. b) Para $k = 4$, determina si el sistema tiene solución única. En caso afirmativo, calcúlala utilizando la regla de Cramer.

Se dan los tres planos siguientes en el espacio tridimensional, cuyas ecuaciones dependen del parámetro $m$:

$$\pi_1: mx + y + z = 0$$ $$\pi_2: x + my + z = 0$$ $$\pi_3: x + y + mz = 0$$

1. a) Determina para qué valores de $m$ los tres planos se cortan únicamente en el origen de coordenadas $(0, 0, 0)$.

1. b) Halla los valores de $m$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado e indica la interpretación geométrica de la posición relativa de los planos en ese caso.

Un "influencer" está analizando el crecimiento de sus seguidores en tres redes sociales (TikTok, Instagram y Twitch). El número de nuevos seguidores diarios $x, y, z$ en cada red satisfacen las siguientes condiciones mensuales donde $m$ es un coeficiente de viralidad:

$$\begin{cases} x + y + z = m \\ 2x + 3y + mz = 5 \\ x + my + 3z = 8 \end{cases}$$

1. a) Discute el sistema en función de $m$.

1. b) Si para un determinado mes el coeficiente de viralidad es $m = 2$, ¿cuántos seguidores nuevos ha ganado en cada red social?

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $a$:

$$ \begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases} $$

1. a) Discute el sistema según los diferentes valores del parámetro $a$.
2. b) Resuelve el sistema, si es posible, para el caso en el que sea compatible indeterminado y para el caso $a = 0$.

Dado el sistema de ecuaciones con dos parámetros reales $a$ y $b$:

$$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + 2y + 3z = 2 \\ x + ay + 3z = b \end{cases} $$

1. a) Discute el sistema en función de los valores de $a$ y $b$.
2. b) Para los valores que hacen que el sistema sea compatible indeterminado, halla la solución general expresándola en función de un parámetro $\lambda$.