Exercicis: El mètode de Gauss

En una botiga de tecnologia s'estan preparant tres tipus de packs de benvinguda per a nous clients. El primer pack inclou 1 ratolí, 1 teclat i 1 estoreta per $35$ €. El segon pack té 2 ratolins i 1 teclat per $45$ €. El tercer inclou 1 ratolí, 2 teclats i 1 estoreta per $55$ €.

Sigui $x$ el preu del ratolí, $y$ el del teclat i $z$ el de l'estoreta.

1. a) Escriu el sistema d'equacions que representa la situació.

1. b) Escriu la matriu ampliada $(A|B)$ d'aquest sistema.

Resol el sistema d'equacions lineals següent utilitzant el mètode de Gauss. Observa que la primera incògnita ja té coeficient $1$, la qual cosa en facilita l'ús com a pivot:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ x - y - z = -1 \end{cases}$

Donada la matriu ampliada següent, que ja ha estat parcialment transformada mitjançant el mètode de Gauss, indica quina operació elemental entre files realitzaries per obtenir un zero a la posició marcada amb el cercle taronja i escriu com quedaria la nova fila $F_3$.

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & 5 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \end{pmatrix}$

Un estudiant ha aplicat el mètode de Gauss a un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites i ha arribat a la matriu esglaonada següent:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 & | & 6 \end{pmatrix}$

Finalitza la resolució del sistema calculant els valors de $x$, $y$ i $z$ mitjançant la substitució cap enrere.

Classifica els sistemes d'equacions següents segons el nombre de solucions que presenten després d'observar el resultat final d'aplicar el mètode de Gauss en la seva forma matricial:

1. a) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 5 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

1. b) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & | & 4 \\ 0 & 2 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 7 \end{pmatrix}$

Per resoldre el sistema següent, el primer pas del mètode de Gauss sol ser aconseguir que el coeficient de la $x$ a la primera equació sigui $1$ o $-1$. Quina transformació elemental faries primer perquè el càlcul sigui més senzill? Justifica la teva resposta.

$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y - z = 2 \\ 2x + 3y + 2z = 15 \end{cases}$

Tres amics van a una cafeteria. Luis paga $7$ € per $2$ cafès i $1$ torrada. María paga $10$ € per $1$ cafè, $1$ torrada i $1$ suc. Per últim, Juan paga $11$ € per $2$ torrades i $1$ suc.

Utilitza el mètode de Gauss per determinar el preu de cada producte (cafè, torrada i suc).

Aplica el mètode de Gauss per resoldre el sistema homogeni següent. Recorda que aquest tipus de sistemes sempre tenen, almenys, la solució trivial:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ 3x + 4z = 0 \end{cases}$

La Lucía està resolent pel mètode de Gauss el següent sistema d'equacions lineals:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ 2x + 3y + z = 5 \\ x - y + 3z = 0 \end{cases}$$

Per a fer-ho, escriu la matriu ampliada associada:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 2 & 3 & 1 & | & 5 \\ 1 & -1 & 3 & | & 0 \end{pmatrix}$$

En la primera etapa de triangulació aplica les operacions $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ i $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$, i obté correctament:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & -1 & 3 & | & -3 \\ 0 & -3 & 4 & | & -4 \end{pmatrix}$$

Per a aconseguir un zero a la posició $(3,2)$, la Lucía decideix aplicar l'operació $F_3 \leftarrow F_3 + \frac{3}{2}F_1$, argumentant que com que a la fila 1 hi ha un $2$, en multiplicar per $3/2$ i sumar-ho al $-3$ de la fila 3 s'anul·larà aquest element.

1. a) Explica raonadament quin error conceptual comet la Lucía amb aquesta operació i per què espatlla el procés de triangulació del mètode de Gauss.
2. b) Indica quina fila s'ha de prendre com a pivot en aquest pas i escriu la transformació elemental per files correcta que anul·la l'element de la posició $(3,2)$.
3. c) Fes aquesta transformació, comprova que la matriu queda esglaonada i calcula la solució única del sistema mitjançant substitució cap enrere.

Considera el següent sistema d'equacions lineals:

$$\begin{cases} 3x - 2y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = 5 \\ x + y + z = 6 \end{cases}$$

Dos estudiants debaten sobre la millor manera d'iniciar el mètode de reducció de Gauss:

• El Sergio proposa començar directament amb l'ordre donat, prenent com a pivot el coeficient $3$ de la primera fila i fent les operacions $F_2 \leftarrow 3F_2 - 2F_1$ i $F_3 \leftarrow 3F_3 - F_1$.

• La Marta proposa intercanviar en primer lloc la primera i la tercera fila ($F_1 \leftrightarrow F_3$) perquè el primer pivot sigui $1$, i a partir d'aquí fer zeros a la primera columna.

1. a) Compara totes dues propostes: quins avantatges pràctics té l'estratègia de la Marta enfront de la del Sergio respecte a la dificultat aritmètica i el risc d'error amb els signes o les fraccions? Justifica a més si l'operació d'intercanviar files modifica o no la solució del sistema.
2. b) Seguint l'estratègia de la Marta, escriu la matriu ampliada després de l'intercanvi de files i aplica les transformacions elementals necessàries per a obtenir la matriu esglaonada.
3. c) A partir de la matriu esglaonada, classifica el sistema i troba la seva solució mitjançant substitució cap enrere.

Resol el sistema d'equacions següent utilitzant el mètode de reducció de Gauss:

$$ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases} $$

1. a) Escriu la matriu ampliada del sistema i transforma-la, mitjançant operacions entre files, en una matriu esglaonada.

1. b) A partir de la matriu esglaonada, classifica el sistema (compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible) i justifica la teua resposta.

1. c) Si el sistema és compatible, troba'n la solució.

Aplica el mètode de Gauss per discutir i resoldre el sistema d'equacions lineals següent. Si el sistema resulta ser compatible indeterminat, escriu la solució general en funció d'un paràmetre $\lambda$:

$$ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y - z = 2 \\ 4x - y + 3z = 10 \end{cases} $$

Un creador de contingut de xarxes socials analitza els seus ingressos mensuals provinents de tres plataformes: TikTok, YouTube i Instagram. Es sap que:

• En total, el mes passat va guanyar $2500$ €.

• El que va guanyar a YouTube és el triple del que va guanyar a TikTok.

• La suma del que va guanyar a TikTok i Instagram supera en $100$ € el que va guanyar a YouTube.

Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites i utilitza el mètode de Gauss per esbrinar quants diners va generar en cada plataforma.

En una botiga d'esports es venen tres tipus de pilotes: de futbol, de bàsquet i de voleibol. Un club ha realitzat tres compres diferents:

• La primera compra va ser de $2$ pilotes de futbol, $1$ de bàsquet i $1$ de voleibol per $90$ €.

• La segona compra va ser de $1$ pilota de futbol, $2$ de bàsquet i $3$ de voleibol per $120$ €.

• La tercera compra va ser de $3$ pilotes de futbol i $3$ de bàsquet per $150$ €.

Utilitza el mètode de Gauss sobre la matriu ampliada per determinar el preu de cada tipus de pilota.

Atès el sistema següent dependent d'un valor constant $k$, aplica el mètode de Gauss per transformar-lo en un sistema esglaonat. Determina per a quin valor de $k$ el sistema és incompatible:

$$ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + 3z = 2 \\ 5x + 2y + kz = 5 \end{cases} $$

Tres amics, Nerea, Borja i Celia, han anat a una cafeteria.

• La primera vegada, Nerea va prendre $2$ cafès i $1$ torrada, pagant $5$ €.

• La segona vegada, Borja va prendre $1$ cafè, $1$ torrada i $1$ suc, pagant $6$ €.

• La tercera vegada, Celia va prendre $3$ cafès i $2$ sucs, pagant $11$ €.

Escriu la matriu ampliada associada al sistema i utilitza el mètode de Gauss per comprovar si les dades són suficients per conèixer el preu de cada producte (és a dir, si el sistema és compatible determinat).

Analitza mitjançant el mètode de Gauss la posició relativa dels tres plans representats per les equacions següents. Indica si es tallen en un punt, en una recta o si no tenen punts en comú:

$$ \pi_1: x + 2y - z = 1 $$ $$ \pi_2: 2x + y + 2z = 2 $$ $$ \pi_3: 3x + 3y + z = 3 $$

Resol el sistema de quatre equacions amb tres incògnites següent aplicant el mètode de Gauss. Recorda que has d'eliminar les files que resultin ser combinació lineal de les anteriors durant el procés d'esglaonament:

$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + 2z = 8 \\ 3x + y + 3z = 14 \end{cases} $$

Durant una campanya de mobilitat metropolitana a Espanya, un consorci de transports posa a la venda tres tipus d'abonaments mensuals amb tarifes bonificades: Abonament Jove a $15$ €, Abonament General a $30$ € i Abonament Sènior a $10$ €. En finalitzar el primer mes es recullen les següents dades comercials:

• En total es van vendre $100.000$ abonaments sumant les tres modalitats.

• La quantitat d'Abonaments Joves venuts va superar en $20.000$ unitats la suma conjunta dels Abonaments Generals i Abonaments Sènior.

• La recaptació global per la venda d'aquests títols de transport va ascendir a $1.900.000$ €.

1. a) Assigna una incògnita a cada modalitat d'abonament, tradueix la informació a un sistema de tres equacions lineals i escriu la seva matriu ampliada $(A|B)$.
2. b) Aplica el mètode de reducció de Gauss sobre la matriu ampliada fins a transformar-la en una matriu esglaonada.
3. c) Resol el sistema esglaonat mitjançant substitució progressiva cap enrere, determina quants abonaments de cada modalitat es van vendre i calcula quin percentatge del total de vendes va correspondre a l'Abonament Jove.

En una jornada d'alta generació renovable a Espanya, tres fonts de generació elèctrica peninsular —energia eòlica ($x$), energia solar fotovoltaica ($y$) i energia hidroelèctrica ($z$)— van sumar conjuntament una producció de $180\text{ GWh}$. L'operador del sistema constata a més dos fets:

• La suma conjunta de l'energia solar i l'eòlica va generar $140\text{ GWh}$.

• L'energia eòlica va aportar exactament el doble d'energia que la hidroelèctrica.

1. a) Estima abans de calcular: Raona, sense resoldre el sistema algebraicament, per què la producció hidroelèctrica no pot superar els $45\text{ GWh}$ i dedueix un interval raonable en què s'han de situar l'eòlica i la solar sabent que entre totes dues sumen $140\text{ GWh}$.
2. b) Planteja el sistema d'equacions lineals associat, escriu la matriu ampliada $(A|B)$ i aplica el mètode de Gauss per a obtenir la matriu esglaonada equivalent.
3. c) Resol el sistema mitjançant substitució cap enrere, troba els valors de $x$, $y$, $z$ i comprova numèricament si satisfan les tres condicions del problema i concorden amb l'estimació feta a l'apartat (a).

Es considera el següent sistema d'equacions dependent del paràmetre real $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

Utilitza el mètode de Gauss per discutir la compatibilitat del sistema segons els diferents valors de $k$. En els casos en què el sistema sigui compatible indeterminat, obtén la solució general.

Una empresa de logística organitza el transport de mercaderies entre tres ciutats: A, B i C. La flota total és de 42 camions de tres models: lleugers, mitjans i pesants. Se sap que:

• El nombre de camions pesants és la meitat de la suma dels lleugers i mitjans.

• Per cada 3 camions mitjans n'hi ha 4 de lleugers.

• A causa d'una nova normativa ambiental, si es duplicava el nombre de camions pesants i es reduïa a la meitat el dels lleugers, la flota augmentaria en 6 unitats.

Planteja el sistema d'equacions corresponent i utilitza el mètode de Gauss per determinar quants camions de cada model té l'empresa.

Analitza mitjançant el mètode de Gauss el sistema següent de quatre equacions amb tres incògnites:

$\begin{cases} x - 2y + z = 3 \\ 2x + y - z = 1 \\ x + 3y - 2z = -2 \\ 4x + 2y - 2z = 2 \end{cases}$

La figura mostra la matriu ampliada del sistema, amb les columnes de $x$, $y$, $z$ i la dels termes independents $b$.

Determina raonadament si el sistema té solució. Si és compatible, troba'n totes les solucions. En cas de ser incompatible, identifica quina equació o equacions provoquen la inconsistència.

Un nutricionista dissenya una dieta especial basada en tres aliments: Batut A, Barreta B i Fruit Sec C. Cada ració ha d'aportar quantitats específiques d'hidrats de carboni, proteïnes i greixos. La taula d'aportacions per ració és la següent:

Aliment	Hidrats (g)	Proteïnes (g)	Greixos (g)
Batut A	20	10	5
Barreta B	30	5	10
Fruit Sec C	10	15	20

Es requereix que la dieta total diària contingui 250 g d'hidrats, 110 g de proteïnes i 130 g de greixos.

1. a) Planteja el sistema d'equacions.
2. b) Resol-lo mitjançant el mètode de Gauss per trobar el nombre de racions diàries de cada aliment.
3. c) És possible complir l'objectiu si el pacient té al·lèrgia als fruits secs (C=0)? Justifica la resposta basant-te en la resolució del sistema.

Discuteix i resol el sistema homogeni següent en funció del paràmetre $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x - ay + z = 0 \\ 2x + y + az = 0 \end{cases}$

Indica per a quins valors de $a$ el sistema admet solucions diferents de la trivial ($x=0, y=0, z=0$) i calcula-les per a aquests valors utilitzant el mètode de Gauss.

Un inversor reparteix 100.000 € entre tres productes financers: un compte d'estalvi al 1% anual, uns bons de l'Estat al 3% anual i una inversió en accions tecnològiques al 8% anual.

En acabar el primer any, els beneficis totals han estat de 3.900 €. L'inversor observa que si hagués invertit en bons el doble del que va invertir en el compte d'estalvi, i hagués mantingut la inversió en accions, deixant la resta dels 100.000 € en el compte d'estalvi, els seus beneficis haurien estat de 4.100 €.

Determina mitjançant el mètode de Gauss la quantitat invertida en cada producte.

Atès el sistema d'equacions:

$\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 3x - 2y + 2z = 1 \end{cases}$

1. a) Afegeix una tercera equació de la forma $ax + by + cz = d$ perquè el sistema resultant sigui compatible determinat amb solució $(1, 2, 1)$.
2. b) Afegeix una tercera equació perquè el sistema sigui incompatible.
3. c) Afegeix una tercera equació perquè sigui compatible indeterminat.

Explica en cada cas el raonament seguit basant-te en l'estructura de les files de la matriu augmentada.

Resol pel mètode de Gauss el sistema de 4 equacions amb 4 incògnites següent:

$\begin{cases} x + y + z + t = 10 \\ 2x - y + z - 2t = -5 \\ x - 2y - z + t = -3 \\ x + y - 2z - 2t = -2 \end{cases}$

Descriu pas a pas les operacions elementals entre files que utilitzes per triangular la matriu.

En aplicar el mètode de Gauss a la matriu ampliada $(A|B)$ d'un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites ($x, y, z$), un estudiant obté la següent matriu esglaonada:

$$(A^*_{\text{escalonada}}) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 5 \\ 0 & 1 & -1 & | & 2 \\ 0 & 0 & a - 3 & | & b + 1 \end{pmatrix}$$

on $a$ i $b$ són paràmetres reals.

1. a) Discuteix raonadament la compatibilitat del sistema segons els diferents valors reals de $a$ i $b$. En el cas en què el sistema sigui compatible indeterminat, determina la seva solució general expressant totes les incògnites en funció d'un paràmetre real $\lambda$.
2. b) Determina quina condició han de complir $a$ i $b$ perquè el sistema sigui compatible determinat i la seva solució única tingui $z = 4$. Proporciona un exemple numèric concret de valors de $a$ i $b$ que compleixin aquesta condició.
3. c) Se sap que la matriu esglaonada es va obtenir aplicant sobre la matriu inicial $(A|B)$ les operacions per files successives: 1r $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$; 2n $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$; 3r $F_3 \leftarrow F_3 + 2F_2$ (utilitzant ja la nova fila $F_2$). Sabent que la primera fila no va variar i era $F_1 = (1, -2, 3 \mid 5)$, reconstrueix de manera inversa i raonada quina era l'equació original que ocupava la tercera fila ($F_3$) del sistema de partida per al cas en què $a = 3$ i $b = -1$.

Es considera el següent sistema homogeni d'equacions lineals dependent del paràmetre real $k$:

$$\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x + 3y + kz = 0 \\ x + ky + 3z = 0 \end{cases}$$

Durant una sessió de repàs, dos alumnes formulen sengles afirmacions categòriques sobre aquest sistema:

• L'Elena afirma: «Per a alguns valors de $k$, el sistema serà incompatible perquè en esglaonar apareixerà una contradicció del tipus $0 = c$ amb $c \ne 0$».

• El Carlos rebat: «L'Elena s'equivoca: cap sistema homogeni no pot ser mai incompatible. Per tant, per a qualsevol valor de $k$, l'única solució que té el sistema és la trivial $(0, 0, 0)$».

1. a) Analitza críticament totes dues afirmacions: explica amb base teòrica per què l'afirmació de l'Elena és falsa i quin és l'error conceptual que comet el Carlos en generalitzar la unicitat de la solució trivial.
2. b) Escriu la matriu de coeficients del sistema i aplica el mètode de reducció de Gauss fins a obtenir una matriu esglaonada equivalent en funció de $k$.
3. c) Discuteix el sistema per a tots els valors reals de $k$, indicant amb precisió per a quins valors existeixen solucions diferents de la solució trivial.
4. d) Per al valor enter positiu de $k$ que fa que el sistema admeti solucions no trivials, troba la solució general en funció d'un paràmetre $\lambda$ i troba una solució particular en la qual $z = 2$.