El método de Gauss
El método de Gauss convierte un sistema en otro equivalente mucho más fácil de resolver: uno escalonado, donde cada fila tiene un cero más que la anterior. Una vez ahí, la solución sale casi sola, de abajo hacia arriba.
Triangular paso a paso
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Observa que la primera incógnita ya tiene coeficiente $1$, lo que facilita su uso…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss. Observa que la primera incógnita ya tiene coeficiente $1$, lo que facilita su uso como pivote:
$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ x - y - z = -1 \end{cases}$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss. Una vez obtenida la matriz escalonada, indica si el sistema es compatible…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss. Una vez obtenida la matriz escalonada, indica si el sistema es compatible determinado e identifica su solución única:
$$ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + 5z = 11 \\ x - 5y + 6z = 29 \end{cases} $$Elegir el pivote y operar entre filas
Dada la siguiente matriz ampliada, que ya ha sido parcialmente transformada mediante el método de Gauss, indica qué operación elemental entre filas realizarías para…
Dada la siguiente matriz ampliada, que ya ha sido parcialmente transformada mediante el método de Gauss, indica qué operación elemental entre filas realizarías para obtener un cero en la posición marcada con el círculo naranja y escribe cómo quedaría la nueva fila $F_3$.
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & 5 \\ 0 & 2 & 4 & | & 8 \end{pmatrix}$
Para resolver el siguiente sistema, el primer paso del método de Gauss suele ser conseguir que el coeficiente de la $x$ en la primera ecuación sea $1$ o $-1$. ¿Qué…
Para resolver el siguiente sistema, el primer paso del método de Gauss suele ser conseguir que el coeficiente de la $x$ en la primera ecuación sea $1$ o $-1$. ¿Qué transformación elemental realizarías primero para que el cálculo sea más sencillo? Justifica tu respuesta.
$\begin{cases} 3x - 2y + z = 10 \\ x + y - z = 2 \\ 2x + 3y + 2z = 15 \end{cases}$
De la matriz escalonada a la solución
Un estudiante ha aplicado el método de Gauss a un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y ha llegado a la siguiente matriz escalonada:…
Un estudiante ha aplicado el método de Gauss a un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y ha llegado a la siguiente matriz escalonada:
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 & | & 6 \end{pmatrix}$
Finaliza la resolución del sistema calculando los valores de $x$, $y$ y $z$ mediante la sustitución hacia atrás.
Sistemas homogéneos: siempre tienen la trivial
Aplica el método de Gauss para resolver el siguiente sistema homogéneo. Recuerda que este tipo de sistemas siempre tienen, al menos, la solución trivial:…
Aplica el método de Gauss para resolver el siguiente sistema homogéneo. Recuerda que este tipo de sistemas siempre tienen, al menos, la solución trivial:
$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ 3x + 4z = 0 \end{cases}$
Gauss con un parámetro
Cuando el sistema lleva una letra, triangulas exactamente igual, pero vigilando por qué valor del parámetro algún pivote se puede anular: ese valor necesita su propio caso aparte.
Aplica el método de Gauss para discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema resulta ser compatible indeterminado, escribe la solución…
Aplica el método de Gauss para discutir y resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales. Si el sistema resulta ser compatible indeterminado, escribe la solución general en función de un parámetro $\lambda$:
$$ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y - z = 2 \\ 4x - y + 3z = 10 \end{cases} $$Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$: $\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$…
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real $k$:
$\begin{cases} kx + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$
Utiliza el método de Gauss para discutir la compatibilidad del sistema según los diferentes valores de $k$. En los casos en los que el sistema sea compatible indeterminado, obtén la solución general expresándola en función de un parámetro.
Crear y verificar un algoritmo de eliminación
El algoritmo debe funcionar también si el primer candidato a pivote es cero. Antes de dividir, busca una fila inferior con entrada no nula en esa columna e intercámbiala. Si toda la columna restante es cero, pasa a la siguiente columna sin aumentar el número de pivotes.
fila_pivote ← 0
para cada columna de coeficientes:
buscar desde fila_pivote una fila con entrada no nula
si no existe: continuar con la siguiente columna
intercambiar esa fila con fila_pivote
para cada fila inferior:
factor ← entrada / pivote
restar factor * fila_pivote a toda la fila (incluido B)
fila_pivote ← fila_pivote + 1
examinar filas nulas y términos independientes
Elige entre estos desenlaces después de eliminar:
*Única solución si hay n pivotes en coeficientes y ninguna fila incompatible. Con menos de n pivotes y sin incompatibilidad hay variables libres.
Modifica el pseudocódigo para convertir cada pivote en 1 y anular también las entradas superiores: obtienes Gauss-Jordan. Ejecútalo a mano o prográmalo, compara el número de operaciones y contrasta las tres pruebas con una herramienta de cálculo matricial. Entrega matrices intermedias y comprueba las soluciones en las ecuaciones originales. Con datos decimales, selecciona preferentemente el pivote de mayor valor absoluto disponible y declara una tolerancia para decidir qué es aproximadamente cero; los rangos exactos con parámetros requieren casos algebraicos separados.
Revisar el proceso en equipo
Rotad las tareas de diseño, ejecución, comprobación y explicación. Cada integrante predice el tipo de solución antes de calcular. Si aparece una discrepancia, localizad la primera fila diferente y reconstruid la operación sin atribuir el fallo a la capacidad de nadie. Ante un bloqueo, anotad qué sabéis, separad un caso sencillo y pedid una pista concreta. Entregad un error corregido, la estrategia que ayudó a superarlo y una alternativa propuesta por otro integrante. Comparad métodos con argumentos, no por quién termina primero.