Curvatura y representación completa de funciones

Dada la función $f(x) = x^3 - 6x^2$, utiliza la segunda derivada para determinar:

1. Los intervalos de concavidad y convexidad.

2. Las coordenadas del punto de inflexión.

Verdadero o falso, razonando la respuesta: «Si $f''(2) = 0$, entonces $f$ tiene un punto de inflexión en $x = 2$». Ilustra tu respuesta con la función $f(x) = x^4$ en $x = 0$.

Se ha monitorizado la temperatura de una reacción química durante los primeros 6 minutos. La función que describe la temperatura (en $^\circ C$) es $T(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 40$.

Realiza el estudio de la función en el intervalo $t \in [0, 6]$ indicando:

1. ¿En qué instantes la temperatura aumenta y en cuáles disminuye?

2. Halla la temperatura máxima y mínima alcanzada en ese intervalo.

3. Determina el momento en el que la velocidad de enfriamiento cambia de tendencia (punto de inflexión).

4. Dibuja la gráfica.

La temperatura de un líquido en un experimento sigue, en grados Celsius, la función $T(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1$, con $t$ en horas y $0 \leq t \leq 4$.

• a) Estudia en qué intervalos la temperatura sube y en cuáles baja.

• b) Halla el punto de inflexión e interpreta qué ocurre con la velocidad de cambio de la temperatura en ese instante.

Un estudio de mercado indica que el beneficio mensual $B(x)$ (en miles de euros) de una aplicación móvil depende del gasto en publicidad $x$ (en miles de euros) según la función:

$B(x) = \ln(x^2 - 2x + 5) - \dfrac{x}{4}$ para $x \in [0, 10]$.

Estudia la viabilidad del gasto publicitario realizando los siguientes pasos:

1. a) Justifica el dominio de la función en el contexto del problema.
2. b) Encuentra el gasto publicitario que maximiza el beneficio.
3. c) Estudia si existen intervalos de "rendimientos decrecientes", es decir, donde la función sea cóncava ($\cap$).
4. d) Dibuja la gráfica de la función beneficio en el intervalo dado.

Realiza el estudio completo de la función $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ y represéntala: dominio, cortes con los ejes, asíntotas (verticales y oblicua), intervalos de monotonía, extremos relativos, curvatura y dibujo de la gráfica.

Una empresa de biotecnología ha modelizado el crecimiento de una población de bacterias en un entorno controlado mediante la función $P(t) = 10 \cdot t^2 \cdot e^{-0,5t}$, donde $P$ es el número de bacterias en miles y $t$ es el tiempo en días desde el inicio del experimento ($t \geq 0$).

Realiza un estudio exhaustivo de la función que incluya:

1. Puntos de corte con los ejes.

2. Comportamiento a largo plazo (asíntotas horizontales).

3. Intervalos de crecimiento y decrecimiento, determinando en qué momento la población es máxima.

4. Intervalos de concavidad y convexidad, localizando los puntos de inflexión donde el ritmo de crecimiento empieza a disminuir.

5. Esbozo gráfico de la evolución de la población.

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - k}$, se pide:

1. a) Hallar el valor de $k$ para que la función tenga un punto de inflexión en $x = \sqrt{3}$.
2. b) Para $k = 1$, realiza el análisis completo de la función: dominio, simetría, asíntotas (verticales y oblicuas), extremos relativos y curvatura.
3. c) Dibuja la gráfica detallando la posición de la curva respecto a sus asíntotas.

Sea la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \le 0 \\ \frac{4x}{x+2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. Estudia la continuidad en $x = 0$.

2. Para el primer tramo ($x \le 0$), halla el vértice de la parábola y los puntos de corte con los ejes.

3. Para el segundo tramo ($x > 0$), halla sus asíntotas.

4. Representa gráficamente la función.

Considera la función con valor absoluto $f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x}$.

1. Expresa la función como una función definida a trozos.

2. Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función en todo su dominio.

3. Determina las asíntotas y la posición de la curva respecto a ellas.

4. Halla los intervalos de monotonía y los extremos relativos.

5. Realiza una representación gráfica precisa, prestando especial atención a los puntos donde la función cambia su definición.

La figura muestra la gráfica de una función con su punto de inflexión señalado, como se muestra en la figura.

• a) Indica los intervalos de concavidad y convexidad de la función.

• b) Esboza el signo de la segunda derivada en cada intervalo.

• c) Explica qué le ocurre a la pendiente de la curva al pasar por el punto de inflexión.

La figura muestra la gráfica completa de una función, como se muestra en la figura.

A partir de la gráfica, realiza su estudio completo:

• a) Dominio y puntos de corte con los ejes.

• b) Asíntotas y ramas infinitas.

• c) Intervalos de monotonía y extremos relativos.

• d) Intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

• e) Propón una posible expresión analítica para la función y justifica que encaja con todo lo observado.