Exercicis: Curvatura i representació completa de funcions

Donada la funció $f(x) = x^3 - 6x^2$, utilitza la segona derivada per determinar:

1. Els intervals de concavitat i convexitat.

2. Les coordenades del punt d'inflexió.

Donada la funció $f(x) = x^4 - 6x^2$:

• a) Calcula la seva segona derivada.

• b) Determina els intervals de concavitat ($\cap$) i convexitat ($\cup$).

• c) Troba les coordenades dels seus punts d'inflexió.

La figura mostra la gràfica d'una funció polinòmica de tercer grau, tal com es mostra a la figura.

A partir de la gràfica, i sense conèixer la fórmula:

• a) Indica els intervals de creixement i decreixement.

• b) Senyala on hi ha un màxim i un mínim relatiu.

• c) Indica els intervals de concavitat i convexitat i on es troba el punt d'inflexió.

Cert o fals, raonant la resposta: «Si $f''(2) = 0$, aleshores $f$ té un punt d'inflexió a $x = 2$». Il·lustra la teva resposta amb la funció $f(x) = x^4$ a $x = 0$.

La temperatura d'un líquid en un experiment segueix, en graus Celsius, la funció $T(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1$, amb $t$ en hores i $0 \leq t \leq 4$.

• a) Estudia en quins intervals la temperatura puja i en quins baixa.

• b) Troba el punt d'inflexió i interpreta què passa amb la velocitat de canvi de la temperatura en aquest instant.

Dibuixa l'esboç d'una funció contínua definida en tot $\mathbb{R}$ que sigui creixent i còncava ($\cap$) en tot el seu domini. Comprova que la funció $f(x) = -e^{-x}$ compleix aquestes condicions calculant les seves dues primeres derivades.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dibuixa, per a cada cas, l'esboç d'una funció que compleixi el que s'indica:

• a) Creixent i convexa ($\cup$) en tot el seu domini.

• b) Decreixent i còncava ($\cap$) en tot el seu domini.

• c) Creixent fins a $x = 1$, decreixent des de $x = 1$, i convexa en tot el seu domini.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sigui la funció $f(x) = x + e^{-x}$.

• a) Calcula $f'$ i $f''$.

• b) Demostra que la funció és convexa ($\cup$) en tot $\mathbb{R}$.

• c) Troba el seu únic extrem relatiu i classifica'l.

Marcos ha de trobar els punts d'inflexió de la funció $f(x) = (x - 3)^4 + 2x - 1$. En el seu examen escriu el desenvolupament següent:

«Calculo la derivada primera: $f'(x) = 4(x - 3)^3 + 2$.

Calculo la derivada segona: $f''(x) = 12(x - 3)^2$.

Igualo a zero per buscar la inflexió: $12(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3$.

Per tant, la gràfica de la funció presenta un punt d'inflexió a $(3, f(3)) = (3, 5)$».

1. Explica raonadament l'error conceptual comès per Marcos. Per què la condició $f''(x_0) = 0$ és necessària però no suficient per assegurar l'existència d'un punt d'inflexió?

2. Corregeix l'exercici estudiant amb rigor el signe de $f''(x)$ a tota la recta real i determina la curvatura (intervals de concavitat i convexitat) de la funció. Existeix finalment algun punt d'inflexió?

Una cooperativa agrària de Múrcia modelitza la producció esperada de llimones $Q(x)$ (en tones) en funció de la despesa en fertilitzants ecològics $x$ (en centenars d'euros) mitjançant la funció:

La direcció tècnica vol justificar que la funció presenta rendiments decreixents en tot el seu domini (és a dir, que cada euro invertit aporta un increment de collita menor que l'euro anterior). Dos membres de l'equip proposen dos camins diferents:

• Mètode A: Calcular els valors $Q(0), Q(1), Q(2), \dots, Q(10)$ i comprovar que els increments consecutius $\Delta Q = Q(x+1) - Q(x)$ van disminuint.

• Mètode B: Calcular analíticament la segona derivada $Q''(x)$ i determinar el seu signe a l'interval $(0, 10)$.

• Aplica el Mètode B determinant el signe de $Q''(x)$ i indica si la funció és còncava o convexa.

• Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos és preferible des del punt de vista matemàtic per demostrar amb validesa general la propietat en un interval continu.

Un analista financer estudia l'evolució del benefici esperat d'una startup tecnològica (en milers d'euros) mitjançant la funció $f(x) = \frac{4x^2}{x^2+4}$, on $x$ representa el temps en anys des de la seva fundació ($x \ge 0$).

Fes un estudi complet de la funció analitzant:

1. Domini i talls amb els eixos.

2. Asímptotes i posició de la corba respecte a aquestes.

3. Intervals de creixement, decreixement i existència de màxims o mínims.

4. Curvatura (concavitat i convexitat).

5. Fes l'esboç de la gràfica de la funció basant-te en les dades anteriors.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha monitorat la temperatura d'una reacció química durant els primers 6 minuts. La funció que descriu la temperatura (en $^\circ C$) és $T(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 40$.

Fes l'estudi de la funció en l'interval $t \in [0, 6]$ indicant:

1. En quins instants la temperatura augmenta i en quins disminueix?

2. Troba la temperatura màxima i mínima assolida en aquest interval.

3. Determina el moment en què la velocitat de variació de la temperatura canvia de tendència (punt d'inflexió).

4. Dibuixa la gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dibuixa la gràfica d'una funció $f(x)$, contínua a $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, que compleixi simultàniament totes les condicions següents:

• $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ i $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

• Té una asímptota vertical a $x = 2$, tal que $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ i $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$.

• Passa pel punt $(0, 4)$.

• Té un mínim relatiu en el punt $(4, 1)$.

• És convexa ($\cup$) a l'interval $(-\infty, 2)$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$.

1. Determina el seu domini de definició (raona si és tot $\mathbb{R}$).

2. Estudia si presenta algun tipus de simetria.

3. Troba els intervals de creixement i decreixement, i les coordenades de l'extrem relatiu.

4. Estudia la curvatura i els punts d'inflexió.

5. Fes l'esboç de la seva gràfica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Sigui la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{4x}{x+2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Estudia la continuïtat a $x = 0$.

1. b) Per al primer tram ($x \le 0$), troba el vèrtex de la paràbola i els punts de tall amb els eixos.

1. c) Per al segon tram ($x > 0$), troba'n les asímptotes.

1. d) Representa gràficament la funció.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La figura mostra la gràfica d'una funció amb el seu punt d'inflexió assenyalat, tal com es mostra a la figura.

• a) Indica els intervals de concavitat i convexitat de la funció.

• b) Fes l'esboç del signe de la segona derivada a cada interval.

• c) Explica què li passa al pendent de la corba quan passa pel punt d'inflexió.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Les reproduccions setmanals d'una cançó acabada de publicar segueixen el model $S(t) = t \cdot e^{-t/2}$ (en milers), amb $t \geq 0$ en setmanes.

• a) Troba la setmana amb més reproduccions i calcula aquest màxim.

• b) Estudia el comportament a llarg termini (asímptota horitzontal) i interpreta'l.

• c) Estudia la curvatura: quan comença a suavitzar-se el descens de les reproduccions?

• d) Fes l'esboç de la gràfica completa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Fes l'estudi complet de la funció $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ i representa-la: domini, talls amb els eixos, asímptotes (verticals i oblíqua), intervals de monotonia, extrems relatius, curvatura i dibuix de la gràfica.

Un estudi de l'INE sobre la digitalització en municipis rurals petits modelitza la proporció de llars $P(t)$ (en tant per u) que disposen de connexió per fibra òptica després de $t$ mesos des de l'inici del desplegament mitjançant la funció:

1. Estima: Abans de realitzar derivades:

a) Raona a quina proporció màxima de cobertura tendirà el municipi a llarg termini (quan $t \to \infty$).

b) Estima si el ritme de noves altes mensuals serà cada vegada més gran o cada vegada més petit a mesura que avança el temps (efecte de saturació). A partir d'aquesta intuïció, esperes que la funció sigui còncava ($\cap$) o convexa ($\cup$)?

1. Comprova:

a) Calcula l'asimptota horitzontal de $P(t)$ mitjançant el límit corresponent i contrasta-la amb la teva estimació.

b) Obtén la primera i la segona derivada de $P(t)$. A partir del signe de $P''(t)$, comprova formalment la curvatura de la funció i interpreta el resultat en termes de rendiments decreixents del desplegament.

Una empresa de comerç electrònic amb seu a Saragossa analitza la relació entre el pressupost diari destinat a publicitat digital $x$ (en centenars d'euros, amb $0 \le x \le 8$) i el nombre de vendes diàries aconseguides $V(x)$, d'acord amb la funció:

1. Determina els intervals on la funció és convexa (rendiments marginals creixents, on cada euro addicional produeix un increment de vendes cada vegada més gran) i on és còncava (rendiments marginals decreixents o saturació).

2. Calcula les coordenades exactes del punt d'inflexió de la funció i interpreta el seu significat econòmic: per què a aquest punt se l'anomena «punt de màxima eficiència marginal» de la inversió?

3. Un directiu proposa: «Per aconseguir la màxima rendibilitat publicitària, hem d'invertir just la quantitat que produeix el màxim absolut de vendes diàries». Justifica mitjançant l'estudi de $V'(x)$ i $V''(x)$ per què aquesta afirmació confon el volum màxim amb la major eficiència de la despesa.

Una empresa de biotecnologia ha modelitzat el creixement d'una població de bacteris en un entorn controlat mitjançant la funció $P(t) = 10 \cdot t^2 \cdot e^{-0,5t}$, on $P$ és el nombre de bacteris en milers i $t$ és el temps en dies des de l'inici de l'experiment ($t \geq 0$).

Fes un estudi exhaustiu de la funció que inclogui:

1. Punts de tall amb els eixos.

2. Comportament a llarg termini (asímptotes horitzontals).

3. Intervals de creixement i decreixement, determinant en quin moment la població és màxima.

4. Intervals de concavitat i convexitat, localitzant els punts d'inflexió on el ritme de creixement comença a disminuir.

5. Esboç gràfic de l'evolució de la població.

Donada la funció $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - k}$, es demana:

1. a) Troba el valor de $k$ perquè la funció tingui un punt d'inflexió a $x = \sqrt{3}$.
2. b) Per a $k = 1$, realitza l'anàlisi completa de la funció: domini, simetria, asímptotes (verticals i obliqües), extrems relatius i curvatura.
3. c) Dibuixa la gràfica detallant la posició de la corba respecte a les seves asímptotes.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera la funció amb valor absolut $f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x}$.

1. Expressa la funció com una funció definida a trossos.

2. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de la funció en tot el seu domini.

3. Determina les asímptotes i la posició de la corba respecte a aquestes.

4. Troba els intervals de monotonia i els extrems relatius.

5. Fes una representació gràfica precisa, prestant especial atenció als punts on la funció canvia la seva definició.

Un estudi de mercat indica que el benefici mensual $B(x)$ (en milers d'euros) d'una aplicació mòbil depèn de la despesa en publicitat $x$ (en milers d'euros) segons la funció:

$B(x) = \ln(x^2 - 2x + 5) - \dfrac{x}{4}$ per a $x \in [0, 10]$.

Estudia la viabilitat de la despesa publicitària fent els passos següents:

1. a) Justifica el domini de la funció en el context del problema.
2. b) Troba la despesa publicitària que maximitza el benefici.
3. c) Estudia si hi ha intervals de "rendiments decreixents", és a dir, on la funció sigui còncava ($\cap$).
4. d) Dibuixa la gràfica de la funció benefici en l'interval donat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Donada la funció $f(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 1}}$, fes un estudi complet per a la seva representació gràfica:

1. a) Determina el domini de definició (compte amb els intervals on el quocient és negatiu).

1. b) Analitza les simetries de la corba.

1. c) Calcula les asímptotes horitzontals i verticals, estudiant el comportament de la funció en les seves proximitats.

1. d) Troba els intervals de creixement i decreixement. Hi ha màxims o mínims relatius?

1. e) Dibuixa la gràfica de la funció a partir dels resultats anteriors (inclou també els punts de tall amb els eixos).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Determina una funció polinòmica de tercer grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ que compleixi simultàniament les condicions següents:

• Té un punt d'inflexió a $I(0, 1)$.

• La recta tangent a la gràfica en aquest punt d'inflexió és $y = -3x + 1$.

• Presenta un extrem relatiu a $x = 1$.

Després de trobar l'expressió de la funció, fes-ne l'estudi complet (talls, extrems, curvatura) i representa-la gràficament.

La figura mostra la gràfica completa d'una funció, tal com es mostra a la figura.

A partir de la gràfica, fes-ne l'estudi complet:

• a) Domini i punts de tall amb els eixos.

• b) Asímptotes i rames infinites.

• c) Intervals de monotonia i extrems relatius.

• d) Intervals de concavitat i convexitat i punts d'inflexió.

• e) Proposa una possible expressió analítica per a la funció i justifica que encaixa amb tot el que s'ha observat.

Determina els coeficients $a$ i $b$ de la funció $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ sabent que té un punt d'inflexió en el punt $(1, 2)$.

• a) Planteja les condicions que s'han de complir i troba $a$ i $b$.

• b) Amb la funció obtinguda, fes-ne l'estudi complet: talls amb els eixos, monotonia, extrems, curvatura i dibuix.

Es volen determinar els coeficients d'una funció polinòmica de tercer grau $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ destinada a modelitzar un cicle econòmic. Es disposa de les informacions següents sobre la seva representació gràfica:

1. La gràfica presenta un punt d'inflexió a $I(1, 4)$.

2. La recta tangent a la corba en aquest punt d'inflexió és $y = -3x + 7$.

3. La funció té un extrem relatiu a $x = 0$.

1. a) Planteja un sistema d'equacions lineals amb les condicions donades i determina raonadament els valors dels paràmetres $a$, $b$, $c$ i $d$.
2. b) Amb la funció obtinguda, estudia els intervals de concavitat i convexitat i classifica l'extrem relatiu situat a $x = 0$ (màxim o mínim) utilitzant el criteri de la segona derivada.
3. c) Raona teòricament si qualsevol funció polinòmica de tercer grau $P(x) = \alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta$ (amb $\alpha \ne 0$) té sempre obligatòriament un únic punt d'inflexió a tota la recta real, o si en podria tenir més d'un o cap.

La potència de càrrega $P(t)$ (en kW) que admet la bateria d'un vehicle elèctric en una estació de recàrrega ultraràpida depèn del temps transcorregut $t$ (en minuts, per a $0 \le t \le 60$) segons la funció definida a trossos següent:

1. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de $P(t)$ en el punt de canvi de règim $t = 20$. Presenta la gràfica una recta tangent única en aquest instant o forma un punt angulós?

2. Troba l'expressió de la segona derivada $P''(t)$ a cadascun dels trams i determina la concavitat i convexitat de la corba a $(0, 20)$ i a $(20, 60)$.

3. Raona formalment si el punt $(20, P(20))$ és un punt d'inflexió de la funció, analitzant si es compleixen rigorosament els requisits teòrics (continuïtat, existència de recta tangent i canvi de curvatura), tenint en compte que la segona derivada no està definida a $t = 20$.

4. Interpreta l'evolució de la recàrrega: en quin interval la pèrdua de potència es va accelerant i en quin el ritme de descens s'esmorteeix tendint a estabilitzar-se?