Propiedades de las probabilidades

Un desarrollador de videojuegos está analizando la probabilidad de obtener objetos raros en un cofre sorpresa. Los posibles resultados son: "Objeto Común" ($C$), "Objeto Raro" ($R$) y "Objeto Épico" ($E$). Indica si la siguiente asignación de probabilidades es válida según los axiomas de Kolmogorov y justifica tu respuesta:

$P(C) = 0,65$

$P(R) = 0,20$

$P(E) = 0,25$

En un estudio sobre el uso de aplicaciones móviles entre adolescentes, se ha determinado que la probabilidad de que un estudiante tenga instalada una aplicación de edición de vídeo es $P(V) = 0,35$. Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no tenga instalada dicha aplicación.

En una caja de materiales para un proyecto de tecnología hay 50 resistencias. Se sabe que algunas son de $100\ \Omega$ ($A$) y otras de $220\ \Omega$ ($B$), y algunas son nuevas y otras usadas. Se extrae una al azar. Si $P(A) = 0,6$ y los sucesos $A$ y $B$ son contrarios, determina:

1. a) La probabilidad de extraer una resistencia de $220\ \Omega$.
2. b) ¿Cuál es el valor de $P(A \cap B)$? Justifica tu respuesta basándote en la relación entre sucesos contrarios.

Para la fiesta de graduación, los alumnos de 2º de Bachillerato deben elegir entre tres destinos posibles: Mojácar, Mallorca o Tenerife. Se sabe que la probabilidad de que elijan Mojácar es $P(M) = 0,42$ y la de que elijan Mallorca es $P(L) = 0,38$. Sabiendo que los sucesos son incompatibles (solo pueden elegir un destino), calcula:

1. a) La probabilidad de que los alumnos viajen a Mojácar o a Mallorca.
2. b) La probabilidad de que no elijan ninguno de estos dos destinos y se vayan a Tenerife.

Sean $X$ e $Y$ dos sucesos tales que $P(X) = 0,25$ y $P(Y) = 0,55$. Si sabemos que estos sucesos son incompatibles, calcula la probabilidad de que:

1. a) Ocurra el suceso $X$ o el suceso $Y$.
2. b) No ocurra el suceso $X$.
3. c) Ocurran $X$ e $Y$ al mismo tiempo.

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa las probabilidades de distintas regiones para dos sucesos $M$ y $N$ en un espacio muestral $E$.

A partir de los datos del diagrama, calcula las siguientes propiedades:

1. a) $P(M \cup N)$
2. b) $P(M - N)$, es decir, la probabilidad de que ocurra $M$ pero no $N$.
3. c) $P(\bar{M} \cup \bar{N})$ utilizando las Leyes de Morgan.
4. d) ¿Son los sucesos $M$ y $N$ incompatibles? Justifica tu respuesta.

Consideramos los sucesos $A$ y $B$ asociados a un experimento aleatorio. Si conocemos que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y que la probabilidad de que no ocurra ni $A$ ni $B$ es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$, aplica las Leyes de Morgan para hallar la probabilidad de la unión, $P(A \cup B)$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. Además, se conoce que $P(A) = 0,5$ y que $P(B) = 0,4$.

Calcula razonadamente las siguientes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A} | B)$
4. d) Determina si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.

En un estudio sobre el uso de redes sociales entre jóvenes de 2º de Bachillerato, se analizan dos plataformas: InstaPlus (suceso $A$) y TikToker (suceso $B$). Se sabe que la probabilidad de que un alumno use al menos una de las dos es de $0,8$. Además, la probabilidad de que use la primera pero no la segunda es de $0,3$. Si se sabe que la probabilidad de que use ambas plataformas es la mitad de la probabilidad de que no use ninguna de las dos, calcula:

1. a) La probabilidad de que un alumno, elegido al azar, use la plataforma TikToker.

1. b) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Justifica matemáticamente tu respuesta comparando $P(A \cap B)$ con el producto de sus probabilidades individuales.

1. c) Calcula la probabilidad de que use solo una de las dos plataformas.