Exercicis: Propietats de les probabilitats

En un estudi sobre l'ús d'aplicacions mòbils entre adolescents, s'ha determinat que la probabilitat que un estudiant tingui instal·lada una aplicació d'edició de vídeo és $P(V) = 0,35$. Calcula la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar no tingui instal·lada aquesta aplicació.

Per a la festa de graduació, els alumnes de 2n de Batxillerat han de triar entre tres destinacions possibles: Mojácar, Mallorca o Tenerife. Se sap que la probabilitat que triïn Mojácar és $P(M) = 0,42$ i la que triïn Mallorca és $P(L) = 0,38$. Sabent que els successos són incompatibles (només poden triar una destinació), calcula:

1. a) La probabilitat que els alumnes viatgin a Mojácar o a Mallorca.
2. b) La probabilitat que no triïn cap d'aquestes dues destinacions i se'n vagin a Tenerife.

Segons les estadístiques d'un institut, el $75\,\%$ dels alumnes fa servir habitualment Instagram ($I$), el $60\,\%$ fa servir TikTok ($T$) i el $45\,\%$ utilitza totes dues xarxes socials simultàniament.

Calcula la probabilitat que un alumne, seleccionat a l'atzar, utilitzi Instagram o TikTok, és a dir, $P(I \cup T)$.

Un desenvolupador de videojocs està analitzant la probabilitat d'obtenir objectes rars en un cofre sorpresa. Els possibles resultats són: "Objecte comú" ($C$), "Objecte rar" ($R$) i "Objecte èpic" ($E$). Indica si l'assignació de probabilitats següent és vàlida segons els axiomes de Kolmogorov i justifica la teva resposta:

$P(C) = 0,65$

$P(R) = 0,20$

$P(E) = 0,25$

Considerem els successos $A$ i $B$ associats a un experiment aleatori. Si coneixem que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ i que la probabilitat que no passi ni $A$ ni $B$ és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$, aplica les lleis de Morgan per trobar la probabilitat de la unió, $P(A \cup B)$.

En una caixa de materials per a un projecte de tecnologia hi ha 50 resistències. Se sap que algunes són de $100\ \Omega$ ($A$) i altres de $220\ \Omega$ ($B$), i algunes són noves i altres usades. S'extreu una a l'atzar. Si $P(A) = 0,6$ i els successos $A$ i $B$ són contraris, determina:

1. a) La probabilitat d'extreure una resistència de $220\ \Omega$.
2. b) Quin és el valor de $P(A \cap B)$? Justifica la teva resposta basant-te en la relació entre successos contraris.

Siguin $X$ i $Y$ dos successos tals que $P(X) = 0,25$ i $P(Y) = 0,55$. Si sabem que aquests successos són incompatibles, calcula la probabilitat que:

1. a) Passi el succés $X$ o el succés $Y$.
2. b) No passi el succés $X$.
3. c) Passin $X$ i $Y$ al mateix temps.

A partir de les dades representades en el diagrama de Venn següent, on els valors indiquen les probabilitats de cada regió, calcula les probabilitats sol·licitades:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(B)$
3. c) $P(A \cup B)$

En un institut es realitza una enquesta sobre hàbits de lectura. Es defineix l'esdeveniment $L$: «l'alumne llegeix habitualment llibres en format paper» amb $P(L) = 0,60$, i l'esdeveniment $D$: «l'alumne llegeix en suport digital» amb $P(D) = 0,55$. La Lucía, alumna de 2n de Batxillerat, afirma en el seu treball: «Com que la probabilitat de la unió és la suma de les probabilitats, tenim que $P(L \cup D) = 0,60 + 0,55 = 1,15$; per tant, és segur al $100\,\%$ que llegeixen d'alguna manera i sobra un $15\,\%$». Identifica i raona els dos errors conceptuals que comet la Lucía basant-te en els axiomes de Kolmogorov. A continuació, sabent que un $35\,\%$ de l'alumnat llegeix en ambdós formats ($P(L \cap D) = 0,35$), calcula la probabilitat real que un alumne llegeixi almenys en un dels dos formats i la probabilitat que no llegeixi en cap ($P(\overline{L} \cap \overline{D})$).

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) pronostica per a un cap de setmana a Santander una probabilitat de pluja el dissabte de $P(S) = 0,70$, una probabilitat de pluja el diumenge de $P(D) = 0,60$, i una probabilitat que plogui tots dos dies de $P(S \cap D) = 0,50$.

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric formal, estima raonadament si la probabilitat que plogui almenys un dels dos dies ($P(S \cup D)$) ha de ser més gran, igual o més petita que $0,70$. Justifica la teva predicció a partir de la relació d'inclusió entre els esdeveniments $S$ i $S \cup D$.

1. b) Calcula el valor exacte de $P(S \cup D)$ mitjançant la propietat de la unió d'esdeveniments compatibles i comprova si la teva estimació inicial era correcta.

1. c) Fent servir les lleis de De Morgan, obtén la probabilitat que el cap de setmana sigui completament sec ($P(\overline{S} \cap \overline{D})$) i valora si aquest resultat és coherent amb les dades de partida.

Siguin $A$ i $B$ dos successos associats a un experiment aleatori. Se sap que la probabilitat que no passi cap dels dos és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. A més, es coneix que $P(A) = 0,5$ i que $P(B) = 0,4$.

Calcula raonadament les probabilitats següents:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(\bar{A} | B)$
4. d) Determina si els successos $A$ i $B$ són independents.

En una plataforma de contingut en streaming, el $60 \%$ dels subscriptors joves veuen sèries de ciència-ficció (succés $S$), el $45 \%$ veuen documentals de natura (succés $D$) i el $20 \%$ dels usuaris veuen tots dos tipus de continguts.

Calcula la probabilitat que un usuari triat a l'atzar:

1. a) Vegi sèries de ciència-ficció o documentals de natura.
2. b) No vegi cap dels dos gèneres.
3. c) Vegi només un dels dos gèneres.
4. d) Sabent que no veu sèries de ciència-ficció, quina és la probabilitat que vegi documentals de natura?

Observa el diagrama de Venn següent que representa les probabilitats de diferents regions per a dos successos $M$ i $N$ en un espai mostral $E$.

A partir de les dades del diagrama, calcula les propietats següents:

1. a) $P(M \cup N)$
2. b) $P(M - N)$, és a dir, la probabilitat que passi $M$ però no $N$.
3. c) $P(\bar{M} \cup \bar{N})$ utilitzant les lleis de Morgan.
4. d) Són els successos $M$ i $N$ incompatibles? Justifica la teva resposta.

Un equip d'eSports està analitzant el seu rendiment en dos mapes diferents d'un videojoc: Inferno (succés $I$) i Mirage (succés $M$). Les estadístiques mostren que guanyen a Inferno amb una probabilitat de $0,7$ i que la probabilitat de guanyar a Mirage és de $0,5$. S'ha comprovat que la probabilitat de guanyar en almenys un dels dos mapes és de $0,85$.

1. a) Calcula la probabilitat que guanyin en tots dos mapes.
2. b) És el fet de guanyar a Inferno independent de guanyar a Mirage?
3. c) Calcula la probabilitat que guanyin a Mirage sabent que han perdut a Inferno.

Donats dos successos $A$ i $B$ d'un mateix experiment aleatori, se sap que:

• La probabilitat que passi $A$ és el triple que la del seu contrari, $\bar{A}$.

• $P(B) = 0,4$.

• $P(A \cap B) = 0,3$.

Calcula raonadament:

1. a) $P(A)$.
2. b) $P(A \cup B)$.
3. c) $P(\bar{A} \cap B)$.
4. d) $P(\bar{B} | \bar{A})$.

En un estudi sobre mobilitat sostenible entre estudiants de Batxillerat, es va trobar que la probabilitat que un alumne utilitzi la bicicleta per anar al centre és $P(B) = 0,25$, la que utilitzi el transport públic és $P(T) = 0,60$ i la que no utilitzi cap d'aquests dos mitjans és $P(\bar{B} \cap \bar{T}) = 0,30$.

1. a) Són els successos "utilitzar bicicleta" i "utilitzar transport públic" compatibles?
2. b) Calcula la probabilitat que un alumne utilitzi només la bicicleta.
3. c) Quina és la probabilitat que utilitzi el transport públic si sabem que no utilitza la bicicleta?

Es consideren dos successos $X$ i $Y$ tals que són independents. Se sap que $P(X) = 0,6$ i $P(X \cup Y) = 0,8$. Utilitzant les propietats de la probabilitat i la definició d'independència, calcula:

1. a) La probabilitat del succés $Y$.
2. b) La probabilitat que passi $X$ però no passi $Y$.
3. c) La probabilitat que no passi cap dels dos.

Una aplicació de gestió de tasques classifica els avisos segons la seva urgència ($U$) i el seu tipus: personal ($P$) o feina ($T$). Se sap que $P(U) = 0,35$, $P(P) = 0,55$ i que $P(U \cup P) = 0,75$.

Determina:

1. a) Si els successos $U$ i $P$ són independents.
2. b) La probabilitat que un avís sigui urgent sabent que és personal.
3. c) La probabilitat que un avís sigui personal però no urgent.
4. d) Si els avisos són o de tipus personal ($P$) o de feina ($T$), calcula la probabilitat que un avís no sigui urgent i sigui de feina, és a dir, $P(\bar{U} \cap T)$.

A partir d'una mostra de treballadors d'una àrea metropolitana espanyola, un estudi de mobilitat analitza l'ús del transport públic ($T$) i del vehicle privat ($V$). Les dades indiquen que $P(T) = 0,45$, $P(V) = 0,30$ i que la probabilitat que un treballador combini tots dos mitjans en el seu desplaçament diari és $P(T \cap V) = 0,10$.

1. a) Modela la situació i calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar utilitzi exclusivament un dels dos mitjans de transport analitzats.

1. b) Expressa en llenguatge formal l'esdeveniment «no utilitza cap d'aquests dos mitjans de transport», calcula'n la probabilitat mitjançant les lleis de De Morgan justificant cada igualtat i explica què representa aquest col·lectiu en el context del problema.

1. c) Raona si els esdeveniments $T$ i $V$ són incompatibles i explica quina implicació pràctica tindria per al trànsit urbà que ho fossin.

En una investigació sobre el mercat de l'oci digital a Espanya s'analitzen dos serveis de subscripció: plataformes de cinema i sèries ($A$) i plataformes de retransmissions esportives ($B$). Se sap que $P(A) = 0,65$, que $P(B) = 0,40$ i que la probabilitat de no tenir contractada cap de les dues és $P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0,15$. Es demana trobar la probabilitat que una llar disposi de tots dos serveis, $P(A \cap B)$.

Per resoldre aquest problema es proposen dos camins:

• Mètode 1: Aplicar la llei de De Morgan per aïllar $P(A \cup B)$ a partir de $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ i substituir en la fórmula general de l'addició de la unió.

• Mètode 2: Construir una taula de contingència de probabilitats ($2 \times 2$) identificant els quatre esdeveniments disjunts fonamentals fins a deduir el valor demanat.

1. a) Desenvolupa la resolució completa aplicant el mètode que consideris més directe i eficient, justificant raonadament els passos matemàtics seguits.

1. b) Compara críticament tots dos mètodes i explica quin resulta més avantatjós si, addicionalment, se sol·licités calcular la probabilitat de contractar únicament cinema i sèries ($P(A \cap \overline{B})$).

En un estudi sobre l'ús de xarxes socials entre joves de 2n de Batxillerat, s'analitzen dues plataformes: InstaPlus (succés $A$) i TikToker (succés $B$). Se sap que la probabilitat que un alumne en faci servir almenys una de les dues és de $0,8$. A més, la probabilitat que utilitzi la primera però no la segona és de $0,3$. Si se sap que la probabilitat que utilitzi totes dues plataformes és la meitat de la probabilitat que no en faci servir cap de les dues, calcula:

1. a) La probabilitat que un alumne, triat a l'atzar, utilitzi la plataforma TikToker.

1. b) Són els successos $A$ i $B$ independents? Justifica matemàticament la teva resposta comparant $P(A \cap B)$ amb el producte de les seves probabilitats individuals.

1. c) Calcula la probabilitat que utilitzi només una de les dues plataformes.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que les seves probabilitats venen donades en funció d'un paràmetre $k$. Es coneix que $P(A) = k$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cup B) = 0,7$.

1. a) Determina el valor de $k$ perquè els successos $A$ i $B$ siguin incompatibles.

1. b) Determina el valor de $k$ perquè els successos $A$ i $B$ siguin independents.

1. c) Si $k = 0,4$, calcula la probabilitat que passi $B$ sabent que no ha passat $A$, és a dir, $P(B | \bar{A})$.

Un sistema de ciberseguretat monitoritza dos tipus d'atacs: de Phishing ($A$) i de Malware ($B$). Les mètriques de l'últim mes indiquen que $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,15$ i que $P(A \cap B) = 0,25$. Si la probabilitat de patir un atac de Phishing és el doble que la de patir-ne un de Malware ($P(A) = 2P(B)$), obtén:

1. a) La probabilitat de patir un atac de tipus Malware.

1. b) La probabilitat que, havent patit un atac de Malware, aquest no sigui de Phishing.

1. c) Utilitzant les lleis de Morgan, demostra si és més probable la unió dels contraris $P(\bar{A} \cup \bar{B})$ o el contrari de la intersecció $\overline{P(A \cap B)}$.

En un torneig d'E-sports, un jugador té una probabilitat $p$ de guanyar la primera partida. Si guanya la primera, la confiança augmenta i la probabilitat de guanyar la segona és de $0,7$. Si perd la primera, la probabilitat de guanyar la segona cau a $0,3$. Sabent que la probabilitat de guanyar la segona partida és de $0,54$, calcula:

1. a) El valor de la probabilitat $p$.

1. b) La probabilitat que el jugador hagi guanyat la primera partida sabent que ha perdut la segona.

Demostra formalment, utilitzant l'axiomàtica de Kolmogorov i les propietats de la probabilitat, la meva afirmació següent: "Si $A$ i $B$ són dos successos independents, aleshores els seus contraris $\bar{A}$ i $\bar{B}$ també són independents".

Ajuda: Has de partir de la definició d'independència $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ i arribar a que $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})$.

Una aplicació de música en streaming classifica els seus usuaris en tres categories segons el seu temps d'escolta: Free ($F$), Premium ($P$) i Family ($S$). El $50\%$ són usuaris Free, el $30\%$ Premium i la resta Family. Se sap que el percentatge d'usuaris que escolten pòdcasts habitualment és del $20\%$ en la categoria Free, del $60\%$ en la Premium i del $40\%$ en la Family.

1. a) Si triem un usuari a l'atzar que escolta pòdcasts, quina és la probabilitat que pertanyi a la modalitat Premium?

1. b) Si s'afegeix una nova condició: "Cap usuari Family que escolta pòdcasts té menys de 18 anys". Si triem un usuari a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui un usuari Family, escolti pòdcasts i tingui menys de 18 anys? Justifica la teva resposta fent servir el succés impossible.

Siguin $A$, $B$ i $C$ tres successos tals que $A$ i $B$ són independents entre si, i $C$ és un succés incompatible amb $A$ i amb $B$. Es coneixen les probabilitats següents: $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ i $P(C) = 0,1$. Calcula raonadament:

1. a) $P(A \cup B \cup C)$

1. b) $P((A \cap B) \cup C)$

1. c) $P(\bar{A} | \bar{B})$

En un examen d'accés a la universitat, el $75\%$ dels estudiants aprova Matemàtiques ($M$) i el $60\%$ aprova Història ($H$). Se sap que el $10\%$ dels alumnes no aprova cap de les dues matèries.

1. a) Calcula la probabilitat que un alumne aprovi totes dues assignatures.

1. b) Sabent que un alumne ha aprovat Història, quina és la probabilitat que hagi aprovat també Matemàtiques?

1. c) Quina és la probabilitat que un alumne aprovi Matemàtiques però no Història? Explica la relació entre aquest resultat i la diferència de successos $P(M - H)$.

Un departament de control de qualitat inspecciona peces de roba en una fàbrica tèxtil abans de distribuir-les. S'avaluen dues fallades independents en el seu origen: tara en el teixit ($A$) i defecte en el tintatge ($B$). Els registres de la planta indiquen que $P(A) = 0,70$ i que $P(B) = 0,55$.

1. a) Demostra rigorosament, basant-te en els axiomes de Kolmogorov, per què és impossible que els esdeveniments $A$ i $B$ siguin incompatibles en aquesta producció.

1. b) Problema invers: Determina raonadament l'interval de valors admissibles $[k_{\min}, k_{\max}]$ per a la probabilitat de la intersecció $k = P(A \cap B)$ de manera que l'assignació de probabilitats continuï sent matemàticament coherent.

1. c) Per a cadascun dels dos extrems d'aquest interval ($k_{\min}$ i $k_{\max}$), calcula la probabilitat que una peça de roba resulti completament perfecta ($P(\overline{A} \cap \overline{B})$) i interpreta què passa a la cadena de confecció en cadascun d'aquests casos límit.

L'Institut Nacional d'Estadística (INE) estudia la situació formativa i laboral de la població jove a Espanya mitjançant dos esdeveniments: $E$ («la persona cursa estudis reglats») i $T$ («la persona té una feina remunerada»). Es disposa de les dades següents: la probabilitat de cursar estudis és $P(E) = 0,60$, la probabilitat de tenir feina és $P(T) = 0,40$, i la proporció de joves que no estudien ni treballen (esdeveniment $\overline{E} \cap \overline{T}$) és de $0,15$.

1. a) Demostra mitjançant les propietats de la probabilitat que $P(E \cup T) = P(E) + P(T \cap \overline{E})$, descomponent la unió en esdeveniments disjunts. A partir d'aquesta relació i de les dades del problema, dedueix el valor exacte de $P(E \cap T)$ i el de $P(T \cap \overline{E})$.

1. b) Un informe ministerial de joventut projecta un escenari en què es mantingués fixa la taxa d'estudiants en $P(E) = 0,60$, però s'aconseguís reduir la taxa de joves sense cap ocupació a $P(\overline{E} \cap \overline{T}) = 0,08$. Si en aquest nou escenari s'exigís que cap estudiant compaginés els estudis amb la feina ($E$ i $T$ incompatibles), raona mitjançant els axiomes de probabilitat si aquesta situació seria possible o si la proposta conté una contradicció matemàtica.