Exercicis: Regla de Laplace

En una partida d'un joc de rol, un jugador llença un dau de vuit cares (octàedre) numerades del $1$ al $8$. Si el dau està perfectament equilibrat, calcula les probabilitats següents utilitzant la regla de Laplace:

1. a) Obtenir un nombre parell.
2. b) Obtenir un nombre més gran que $5$.
3. c) Obtenir un nombre primer.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes s'extreu una carta a l'atzar. La baralla té $4$ pals (ors, copes, espases i bastos) amb $10$ cartes cadascun: de l'$1$ (as) al $7$, més la sota (S), el cavall (C) i el rei (R). Determina la probabilitat dels successos següents:

1. a) Que la carta sigui un as.

1. b) Que sigui una copa.

1. c) Que sigui el rei d'ors.

En un calaix hi ha $10$ mitjons negres, $6$ mitjons blaus i $4$ mitjons blancs, tots ells desparellats. Si n'elegim un a l'atzar per anar a classe, calcula:

1. a) La probabilitat que sigui blau.
2. b) La probabilitat que no sigui blanc.
3. c) La probabilitat que sigui negre o blanc.

Un grup d'estudiants de 2n de Batxillerat organitza una rifa per al viatge de fi de curs. Han venut paperetes numerades del $1$ al $100$. Si el sorteig es realitza extreient un nombre a l'atzar, troba la probabilitat que el nombre premiat:

1. a) Sigui un múltiple de $10$.
2. b) Acabi en la xifra $7$.
3. c) Sigui un nombre menor que $15$.

En una classe hi ha $30$ alumnes, dels quals $18$ són noies i $12$ són nois. Se sap que a $10$ noies i a $8$ nois els agrada el podcast de matemàtiques "Derivando". Si organitzes les dades en una taula de contingència (noies/nois davant d'agrada/no agrada) i tries un alumne a l'atzar, calcula la probabilitat que:

1. a) Sigui un noi.

1. b) Sigui una noia a qui li agradi el podcast.

1. c) Sigui una persona a qui no li agradi el podcast.

S'utilitza una ruleta dividida en $12$ sectors iguals, numerats del $1$ al $12$. Calcula la probabilitat que en girar la ruleta la fletxa s'aturi en:

1. a) Un nombre divisible per $3$.
2. b) Un nombre que sigui quadrat perfecte (com ara $1, 4, 9$).
3. c) Un nombre més gran que $2$ i menor que $7$.

Si triem a l'atzar una lletra de la paraula ESTADISTICA, determina la probabilitat dels esdeveniments següents:

1. a) Que la lletra sigui una vocal.
2. b) Que la lletra sigui la S.
3. c) Que la lletra sigui una consonant.

Llancem simultàniament dues monedes equilibrades a l'aire.

1. a) Escriu l'espai mostral de l'experiment.
2. b) Quina és la probabilitat d'obtenir exactament una cara?
3. c) Quina és la probabilitat d'obtenir almenys una creu?

L'Hugo vol calcular la probabilitat que, en llançar simultàniament tres monedes equilibrades d'$1$ euro, s'obtinguin exactament dues cares i una creu. L'Hugo raona d'aquesta manera: «En llançar tres monedes, el nombre total de cares obtingudes només pot ser $0$, $1$, $2$ o $3$. Per tant, l'espai mostral té $4$ resultats possibles. Com que l'esdeveniment "obtenir dues cares" és un d'aquests quatre resultats, aplicant la Regla de Laplace la probabilitat és $P = \frac{1}{4} = 0,25$».

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual comès per l'Hugo, fent referència explícita a la condició indispensable que exigeix la Regla de Laplace sobre els esdeveniments elementals.
2. b) Escriu l'espai mostral correcte format per esdeveniments equiprobables i calcula el valor real de la probabilitat d'obtenir exactament dues cares.
3. c) Calcula la probabilitat d'obtenir almenys dues cares.

Una urna opaca utilitzada en un sorteig per adjudicar places d'activitats extraescolars conté únicament paperetes blaves i paperetes vermelles. En total hi ha $50$ paperetes idèntiques al tacte. Se sap que, si s'extreu una papereta a l'atzar, la probabilitat que sigui blava és exactament $0,36$.

1. a) Determina quantes paperetes de cada color hi ha inicialment a l'urna justificant el càlcul mitjançant la Regla de Laplace.
2. b) Planteja una equació i calcula quantes paperetes blaves addicionals s'han d'introduir a l'urna, sense retirar-ne cap de les existents, perquè la probabilitat que la papereta extreta a l'atzar sigui blava pugi exactament a $0,60$.

En un festival de jocs de taula, s'utilitzen dos daus cúbics equilibrats (amb cares de l'1 al 6). Un jugador llança tots dos daus alhora. La taula recull la suma de les puntuacions per a cada resultat possible (files: dau 1; columnes: dau 2).

Calcula la probabilitat que la suma de les puntuacions obtingudes sigui un nombre primer major que $5$.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes s'extreuen dues cartes simultàniament (cosa que equival a extreure'n una rere l'altra sense reposició). Calcula la probabilitat que:

• a) Totes dues cartes siguin del mateix coll.

• b) Almenys una de les cartes sigui un As.

En una urna de vidre per a un sorteig d'una botiga de tecnologia hi ha $12$ boles blanques i $8$ boles negres. S'extreuen tres boles a l'atzar, una a una i sense reposició. Aplicant la regla de Laplace sobre l'espai mostral de successos elementals equiprobables, determina la probabilitat que les tres boles extretes siguin del mateix color.

S'ha realitzat una enquesta en un institut sobre l'ús de xarxes socials. Dels $100$ estudiants de 2n de Batxillerat, se sap que $65$ utilitzen TikTok, $40$ utilitzen Instagram i $15$ no utilitzen cap de les dues aplicacions. Si seleccionem un estudiant a l'atzar, calcula la probabilitat que:

• a) Utilitzi totes dues xarxes socials.

• b) Utilitzi TikTok però no Instagram.

Un videojoc de punteria consisteix a llançar un dard virtual a una diana quadrada de $20\text{ cm}$ de costat que té inscrit un cercle de color taronja. El programa garanteix que el dard sempre impacta en algun punt del quadrat de manera aleatòria (equiprobable). Calcula la probabilitat que el dard impacti fora del cercle taronja. (Considera $\pi \approx 3,14$).

Un grup de $5$ amics (Ana, Borja, Clara, David i Elena) posarà en fila per a una foto de graduació. Si es col·loquen de manera aleatòria, calcula la probabilitat que Ana i Elena apareguin juntes a la foto.

Per entrar en una aplicació de banca en línia, es genera un codi PIN aleatori de $4$ xifres (del $0$ al $9$). Calcula la probabilitat que el codi assignat compleixi les condicions següents:

• a) Totes les seves xifres siguin diferents.

• b) Sigui un nombre capicua (es llegeix igual d'esquerra a dreta que de dreta a esquerra).

En un bombo de loteria hi ha $10$ boles numerades del $0$ al $9$. S'extreuen dues boles successivament amb reposició (es torna la primera abans de treure la segona). Calcula la probabilitat que el nombre format per totes dues xifres (considerant la primera com a desenes i la segona com a unitats) sigui un múltiple de $4$ o un nombre més gran que $75$.

En una facultat universitària de Ciències Socials s'han rebut $10$ sol·licituds d'estudiants per fer una estada d'intercanvi Erasmus: $7$ cursen el Grau en Administració i Direcció d'Empreses (ADE) i $3$ cursen el Grau en Relacions Internacionals. Com que els expedients acadèmics són idèntics, el deganat decideix adjudicar les $4$ places disponibles per sorteig, seleccionant a l'atzar i de manera simultània $4$ dels $10$ aspirants.

1. a) Abans de fer qualsevol càlcul analític, estima si la probabilitat que les $4$ places recaiguin exclusivament en estudiants d'ADE és menor que $0,15$, està entre $0,15$ i $0,35$, o és superior a $0,35$. Justifica breument la teva previsió intuïtiva tenint en compte que el $70\,\%$ dels aspirants pertany a ADE.
2. b) Aplica la Regla de Laplace mitjançant combinacions per calcular el valor exacte d'aquesta probabilitat.
3. c) Compara la teva estimació prèvia amb el resultat exacte obtingut. A partir d'aquest càlcul, dedueix la probabilitat que la delegació seleccionada compti amb almenys un estudiant de Relacions Internacionals.

Segons els registres de la companyia ferroviària, un tren de Rodalies procedent d'Aranjuez arriba a l'estació d'Atocha a Madrid en un instant aleatori distribuït de manera uniforme entre les 8:00 i les 8:20 del matí. Una usuària necessita fer transbordament a un altre tren amb destinació a Nuevos Ministerios que surt d'Atocha en un instant, també aleatori i uniforme, comprès entre les 8:15 i les 8:35. Per desplaçar-se a peu entre andanes i accedir al nou tren abans que tanquin les portes, la usuària necessita obligatòriament un marge de temps mínim de $10$ minuts entre l'arribada del seu primer tren i la sortida del segon.

Modelitza la situació mitjançant la versió contínua de la Regla de Laplace (probabilitat geomètrica):

1. a) Defineix les variables $x$ i $y$ (minuts transcorreguts des de les 8:00 per a l'arribada del primer tren i la sortida del segon, respectivament), descriu algebraicament l'espai mostral bidimensional i calcula'n l'àrea total.
2. b) Escriu la desigualtat que descriu la condició temporal que s'ha de complir perquè la usuària aconsegueixi el transbordament amb èxit i determina l'àrea de la regió favorable en el pla.
3. c) Calcula la probabilitat que la usuària aconsegueixi fer el transbordament a temps i interpreta el resultat.

En un club d'esports electrònics (eSports), se seleccionarà un equip de 5 jugadors per a un torneig nacional. Al procés de selecció s'hi han presentat 15 candidats: 8 especialistes en estratègia i 7 especialistes en reflexos. El reglament del torneig exigeix que l'equip tingui, almenys, 3 especialistes en estratègia i, com a mínim, 1 especialista en reflexos. Si la directiva tria els 5 integrants a l'atzar entre tots els candidats, calcula la probabilitat que l'equip compleixi estrictament el reglament.

Una aplicació de disseny gràfic genera un patró aleatori col·locant un punt $P$ dins d'un cercle de radi $R = 10 \text{ cm}$. Al centre del cercle hi ha inscrit un quadrat de costat $L = 8 \text{ cm}$. L'algorisme de l'aplicació considera un "encert visual" si el punt $P$ cau dins del quadrat o en la regió del cercle que queda per sobre del diàmetre horitzontal però fora del quadrat. Utilitzant el concepte de probabilitat geomètrica (extensió de la regla de Laplace per a àrees), calcula la probabilitat d'obtenir un "encert visual" en un intent.

S'extreuen, de manera simultània, 3 cartes d'una baralla espanyola de 40 cartes. Calcula la probabilitat que la suma dels valors de les tres cartes sigui exactament 10. (Per a aquest exercici, considera que les figures: sota, cavall i rei, tenen valors de 8, 9 i 10 respectivament, i l'as val 1).

Un sistema de seguretat informàtica requereix una contrasenya de 6 caràcters. L'usuari ha de triar aquests caràcters del conjunt format per les 26 lletres minúscules de l'alfabet i els dígits del 0 al 9. Si el sistema genera automàticament una contrasenya a l'atzar, quina és la probabilitat que contingui exactament 2 dígits, 4 lletres i que, a més, no es repeteixi cap caràcter?

Llancem tres daus equilibrats de sis cares (numerades de l'1 al 6) i anotem els resultats com a $(d_1, d_2, d_3)$. Calcula la probabilitat que el producte dels tres nombres obtinguts sigui un quadrat perfecte (per exemple: $1 \cdot 2 \cdot 2 = 4 = 2^2$).

En un sopar de graduació de 2n de Batxillerat, se seuen 8 amics en una taula circular. Entre ells hi ha una parella, Alicia i Bruno, que han discutit i no volen seure junts, i dos amics més, Nerea i Thiago, que són inseparables i han de seure obligatòriament l'un al costat de l'altre. Si els seients s'assignen de manera totalment aleatòria, calcula la probabilitat que es compleixin simultàniament els desitjos dels quatre amics.

Es realitza un estudi sobre els hàbits de consum de continguts via streaming entre els joves d'una ciutat. Se sap que:

• El $65\%$ té subscripció a la plataforma N.

• El $50\%$ té subscripció a la plataforma D.

• El $45\%$ té subscripció a la plataforma H.

• El $30\%$ està subscrit a N i D.

• El $25\%$ està subscrit a N i H.

• El $20\%$ està subscrit a D i H.

• El $10\%$ està subscrit a les tres plataformes.

Si es tria un jove a l'atzar, calcula la probabilitat que estigui subscrit únicament a una de les tres plataformes.

Com a ajuda, al diagrama de Venn només s'ha anotat la regió de les tres plataformes; completa tu la resta de regions.

Utilitzant les lletres de la paraula $ALGORITMO$, es formen totes les permutacions possibles. Si se'n tria una d'aquestes ordenacions a l'atzar, calcula la probabilitat que la paraula resultant comenci i acabi per consonant, i que a més totes les vocals apareguin juntes en algun lloc de la cadena.

En un procés selectiu per ingressar al cos d'inspectors de l'Administració Pública a Espanya, un tribunal examina oralment els candidats traient a l'atzar $3$ temes diferents d'un temari oficial de $25$ temes. Una opositora ha preparat a fons $20$ temes i no ha pogut estudiar els $5$ restants. Es vol calcular la probabilitat que l'opositora s'hagi d'enfrontar a almenys un tema que no ha preparat.

Durant una sessió d'estudi sorgeixen tres postures entre els aspirants:

• Daniel afirma: «Com que els temes s'extreuen d'un en un d'una bossa, és obligatori tenir en compte l'ordre d'extracció i utilitzar variacions sense repetició, tant en els casos favorables com en els possibles. Treballar amb combinacions és incorrecte perquè ignora l'ordre físic del sorteig».

• Lucía proposa calcular la probabilitat mitjançant combinacions sumant els casos de tres situacions incompatibles: que surti exactament un tema no preparat, dos no preparats o tots tres no preparats.

• Mateo proposa calcular primer la probabilitat del succés complementari («tots tres temes extrets són dels que l'aspirant sí que ha estudiat») mitjançant combinacions i restar el valor obtingut a la unitat.

1. a) Analitza críticament l'objecció de Daniel: és necessari tenir en compte l'ordre per aplicar la Regla de Laplace en extraccions successives sense reemplaçament? Justifica algebraicament per què l'enfocament amb combinacions i l'enfocament amb variacions condueixen exactament al mateix resultat, basant-te en el principi de coherència de criteri.
2. b) Compara les estratègies de Lucía i de Mateo. Raona quin dels dos mètodes és preferible atenent a l'eficiència de càlcul i a la probabilitat de cometre errors.
3. c) Aplica el mètode més eficient per determinar la probabilitat exacta que l'aspirant hagi d'exposar almenys un tema no preparat.

La junta general d'una cooperativa olivarera de Jaén ha de renovar la seva comissió delegada triant a l'atzar $3$ membres d'entre un grup tancat de $10$ candidatures. Entre els candidats hi ha $k$ productors d'oliverar tradicional i $10 - k$ productors d'oliverar intensiu (amb $k \ge 3$). L'elecció es fa extraient simultàniament $3$ paperetes d'una urna.

Se sap que, després d'aplicar la Regla de Laplace, la probabilitat que la comissió delegada compti amb almenys un representant de l'oliverar intensiu és exactament igual a $\frac{5}{6}$.

1. a) Planteja una equació combinatòria que permeti trobar el valor de $k$, recorrent a l'anàlisi del succés complementari i a l'ús de combinacions.
2. b) Resol l'equació anterior de manera raonada i determina quants candidats de cada modalitat de cultiu es van presentar a l'elecció.
3. c) Suposa que, abans de la votació, es modifica el reglament perquè la comissió delegada passi a tenir $5$ integrants en lloc de $3$ (mantenint-se el mateix grup de $10$ candidats amb el valor de $k$ trobat). Calcula la probabilitat que en la nova comissió els productors d'oliverar intensiu assoleixin la majoria absoluta (és a dir, almenys $3$ dels $5$ llocs).