Sucesos dependientes e independientes

En un experimento aleatorio se lanza una moneda equilibrada (con las caras $C$ y $X$) y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Se consideran los siguientes sucesos:

• $A$: "Obtener cara en la moneda".

• $B$: "Obtener un número par en el dado".

Razona si los sucesos $A$ y $B$ son dependientes o independientes y calcula la probabilidad de que ocurran ambos a la vez, es decir, $P(A \cap B)$.

Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de encestar un tiro libre de $0,8$. Si lanza dos tiros libres seguidos y asumimos que el éxito en el segundo lanzamiento es independiente del resultado del primero, calcula:

1. a) La probabilidad de que enceste los dos tiros.
2. b) La probabilidad de que falle los dos tiros.
3. c) La probabilidad de que enceste al menos uno.

Una urna contiene 5 bolas de color naranja y 3 bolas de color violeta. Se extraen dos bolas de forma consecutiva con reemplazamiento (se devuelve la primera bola a la urna antes de extraer la segunda).

Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de color naranja. ¿Influye el resultado de la primera extracción en la probabilidad de la segunda?

Utilizando la misma urna del ejercicio anterior (5 bolas naranjas y 3 violetas), se extraen ahora dos bolas sin reemplazamiento.

1. a) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea naranja sabiendo que la primera fue violeta.
2. b) ¿Son estos sucesos independientes? Justifica tu respuesta comparando este resultado con la probabilidad de extraer una bola naranja en la primera posición.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que conocemos sus probabilidades: $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,4$. Si sabemos que los sucesos son independientes, calcula:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$

Considera dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio de los que se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0,5$, $P(B | A) = 0,4$ y $P(B | \bar{A}) = 0,4$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$ y $P(\bar{A} \cap B)$.
2. b) A partir de los resultados anteriores, calcula $P(B)$.
3. c) Demuestra si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. ¿Qué conclusión puedes sacar sobre la probabilidad de $B$ cuando esta no varía aunque sepamos que $A$ ha ocurrido o no ha ocurrido?

De una baraja española de 40 cartas se extraen dos cartas sucesivamente y sin devolución. Sean los sucesos:

• $A$: "La primera carta es un Rey".

• $B$: "La segunda carta es un Rey".

Calcula la probabilidad de $B$ condicionada a $A$, es decir, $P(B|A)$. ¿Es esta probabilidad igual a la probabilidad de obtener un Rey en la primera extracción? Justifica si los sucesos son dependientes o independientes.

Una marca de ropa deportiva sabe que el $70\%$ de sus clientes compran zapatillas de running. De aquellos que compran zapatillas, el $40\%$ también adquiere una camiseta técnica. Por otro lado, entre los que no compran zapatillas, solo el $15\%$ adquiere la camiseta técnica.

1. a) Si elegimos un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que compre la camiseta técnica?
2. b) ¿Son los sucesos "comprar zapatillas" y "comprar camiseta" independientes? Razona la respuesta analizando si el hecho de comprar zapatillas modifica la probabilidad de comprar la camiseta.

En un estuche hay 10 rotuladores: 6 son de color azul y 4 son de color rojo. Se extraen sucesivamente y sin devolución dos rotuladores.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean azules?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea rojo si el primero fue azul?
3. c) ¿Son los sucesos "el primer rotulador es azul" y "el segundo rotulador es azul" independientes? Justifica tu respuesta comparando las probabilidades condicionadas.