Probabilidad condicionada

En una baraja española de 40 cartas, se extrae una carta al azar. Consideramos los sucesos $A$: "sacar un rey" y $B$: "sacar una figura" (sota, caballo o rey). Calcula la probabilidad de que la carta sea un rey sabiendo que ha salido una figura, es decir, determina $P(A|B)$.

Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que la probabilidad de su intersección es $P(A \cap B) = 0,12$ y que la probabilidad del suceso $B$ es $P(B) = 0,4$. Calcula la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$.

Se ha realizado una encuesta a 100 estudiantes de 1º de Bachillerato sobre su preferencia entre dos ámbitos de estudio. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

Si elegimos un estudiante al azar y resulta ser una chica, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera Letras? Calcula $P(L|M)$.

Una urna contiene 5 bolas azules y 3 bolas rojas. Extraemos dos bolas de forma consecutiva con reemplazamiento (devolvemos la primera bola a la urna antes de sacar la segunda).

1. a) Representa el experimento mediante un diagrama de árbol.
2. b) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea roja sabiendo que la primera fue azul. ¿Son sucesos dependientes o independientes?

En una liga de E-sports, un equipo tiene una probabilidad de ganar el partido del $70\%$ si juega en su servidor local ($L$), pero esta probabilidad baja al $40\%$ si juega en un servidor externo ($E$). Se sabe que el $60\%$ de los partidos los juega como local.

1. a) Representa la situación mediante un diagrama de árbol.
2. b) Si el equipo ha ganado el último partido, ¿cuál es la probabilidad de que haya jugado en su servidor local?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad total de que el equipo gane un partido cualquiera?

Se lanzan dos dados cúbicos equilibrados con las caras numeradas del $1$ al $6$. Consideramos los siguientes sucesos:

• $S$: "La suma de los puntos obtenidos es igual a $7$".

• $A$: "En el primer dado ha salido un número par".

Calcula:

1. a) El espacio muestral de la suma de los puntos y la probabilidad del suceso $S$.
2. b) La probabilidad de que la suma sea $7$ sabiendo que en el primer dado ha salido un número par, $P(S/A)$.
3. c) ¿Influye el hecho de que el primer dado sea par en la probabilidad de que la suma sea $7$? Justifica si los sucesos son dependientes o independientes.

En un laboratorio de ciberseguridad, un algoritmo de inteligencia artificial analiza correos electrónicos para detectar phishing. Se sabe que:

• El $5\%$ de los correos que recibe la empresa son intentos de estafa (phishing).

• Si un correo es phishing, el algoritmo lo identifica correctamente como "sospechoso" en el $98\%$ de los casos.

• Si un correo es legítimo, el algoritmo se equivoca y lo marca como "sospechoso" en el $3\%$ de las ocasiones (falso positivo).

Si un empleado recibe una alerta de "correo sospechoso" en su bandeja de entrada:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad real de que el correo sea efectivamente un intento de phishing?
2. b) Si el algoritmo indica que el correo es "seguro", ¿cuál es la probabilidad de que se trate de un error y realmente sea phishing?

Se realiza un estudio sobre las actividades de los alumnos en un instituto de Madrid. Los datos muestran que:

• El $80\%$ de los alumnos estudia un segundo idioma ($I$).

• El $60\%$ de los alumnos participa en algún equipo deportivo del instituto ($D$).

• El $30\%$ de los que estudian un segundo idioma no participan en ningún equipo deportivo.

Elegimos un alumno al azar. Calcula:

1. a) La probabilidad de que haga ambas actividades.
2. b) Sabiendo que participa en un equipo deportivo, la probabilidad de que también estudie un segundo idioma.
3. c) La probabilidad de que no haga ninguna de las dos actividades.