Exercicis: Successos dependents i independents

En un experiment aleatori es llença una moneda equilibrada (amb les cares $C$ i $X$) i un dau de sis cares numerades de l'1 al 6. Es consideren els successos següents:

• $A$: "Obtenir cara a la moneda".

• $B$: "Obtenir un nombre parell al dau".

Raona si els successos $A$ i $B$ són dependents o independents i calcula la probabilitat que ocorrin tots dos a la vegada, és a dir, $P(A \cap B)$.

Una urna conté 5 boles de color taronja i 3 boles de color violeta. S'extreuen dues boles de manera consecutiva amb reemplaçament (es retorna la primera bola a l'urna abans d'extreure la segona).

1. a) Calcula la probabilitat que les dues boles extretes siguin de color taronja.

1. b) El resultat de la primera extracció influeix en la probabilitat de la segona? Justifica la resposta.

Utilitzant la mateixa urna de l'exercici anterior (5 boles taronges i 3 violetes), s'extreuen ara dues boles sense reemplaçament.

1. a) Calcula la probabilitat que la segona bola sigui taronja sabent que la primera va ser violeta.
2. b) Són aquests successos independents? Justifica la teva resposta comparant aquest resultat amb la probabilitat d'extreure una bola taronja en la primera posició.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un espai mostral tals que en coneixem les probabilitats: $P(A) = 0,6$ i $P(B) = 0,4$. Si sabem que els successos són independents, calcula:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$

En una classe de 2n de Batxillerat, el $40\%$ dels alumnes utilitza habitualment la xarxa social Instagram ($I$) i el $25\%$ utilitza TikTok ($T$). Se sap a més que l'ús de totes dues xarxes és independent entre si. Si triem un alumne a l'atzar, calcula la probabilitat que:

1. a) Utilitzi totes dues xarxes socials.
2. b) No en utilitzi cap de les dues.

Un jugador de bàsquet té una probabilitat d'encistellar un tir lliure de $0,8$. Si llança dos tirs lliures seguits i assumim que l'èxit en el segon llançament és independent del resultat del primer, calcula:

1. a) La probabilitat que encistelli tots dos tirs.
2. b) La probabilitat que falli tots dos tirs.
3. c) La probabilitat que n'encistelli almenys un.

D'una baralla espanyola de 40 cartes (hi ha 4 Reis) s'extreuen dues cartes successivament i sense reposició. Siguin els successos:

• $A$: "La primera carta és un Rei".

• $B$: "La segona carta és un Rei".

El diagrama d'arbre mostra la situació. Les probabilitats de la primera extracció ja són escrites; les de la segona extracció, marcades amb «?», les has de determinar tu.

Calcula la probabilitat de $B$ condicionada a $A$, és a dir, $P(B|A)$. És aquesta probabilitat igual a la probabilitat d'obtenir un Rei en la primera extracció? Justifica si els successos són dependents o independents.

Es disposa de la informació següent sobre dos successos $X$ i $Y$:

$P(X) = 0,5$, $P(Y) = 0,3$ i $P(X \cap Y) = 0,15$.

Demostra matemàticament si els successos $X$ i $Y$ són independents. Per a fer-ho, comprova si es compleix la condició necessària que relaciona la probabilitat de la intersecció amb el producte de les probabilitats individuals.

En un examen de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials es proposa la qüestió següent: «Dos successos $A$ i $B$ d'un mateix experiment aleatori compleixen que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ i a més són incompatibles ($A \cap B = \emptyset$). Són successos independents?».\nMarcos respon al seu examen:\n«Sí, són independents perquè en ser incompatibles no es tallen, la qual cosa significa que el succés $A$ no té res a veure amb el succés $B$ i, per tant, no s'influeixen mútuament».\na) Identifica i explica detalladament l'error de raonament que comet Marcos, aclarint la diferència conceptual entre que dos successos siguin incompatibles i que siguin independents.\nb) Demostra formalment, aplicant la condició matemàtica d'independència, si aquests successos són o no independents.

D'una baralla espanyola de 40 cartes s'extreuen successivament dues cartes. Considera els esdeveniments $O_1$: «la primera carta extreta és un or» i $O_2$: «la segona carta extreta és un or».\na) Abans d'efectuar operacions numèriques, estima i raona si saber que s'ha verificat l'esdeveniment $O_1$ fa que la probabilitat d'$O_2$ augmenti, disminueixi o es quedi igual en dos supòsits diferents: 1) si l'extracció es realitza amb reemplaçament, i 2) si es realitza sense reemplaçament.\nb) Comprova la teva estimació calculant en ambdós supòsits $P(O_2)$ i $P(O_2|O_1)$, i justifica a partir dels resultats en quin cas els esdeveniments són independents i en quin són dependents.

En un estudi sobre el consum de contingut en streaming entre joves, s'ha observat que la probabilitat que un estudiant estigui subscrit a la plataforma A és $P(A) = 0,6$, mentre que la probabilitat que estigui subscrit a la plataforma B és $P(B) = 0,5$. A més, se sap que la probabilitat que no estigui subscrit a cap de les dues és $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

1. a) Calcula la probabilitat que un estudiant estigui subscrit a totes dues plataformes.
2. b) Determina si els successos "estar subscrit a la plataforma A" i "estar subscrit a la plataforma B" són successos independents. Justifica la teva resposta comparant $P(A \cap B)$ amb $P(A) \cdot P(B)$.

Una marca de roba esportiva sap que el $70\%$ dels seus clients compren sabates de running. D'aquells que compren sabates, el $40\%$ també adquireix una samarreta tècnica. D'altra banda, entre els qui no compren sabates, només el $15\%$ adquireix la samarreta tècnica.

1. a) Si triem un client a l'atzar, quina és la probabilitat que compri la samarreta tècnica?
2. b) Són els successos "comprar sabates" i "comprar samarreta" independents? Raona la resposta analitzant si el fet de comprar sabates modifica la probabilitat de comprar la samarreta.

En un centre educatiu, el $45\%$ dels alumnes de 2n de Batxillerat són de la modalitat de Ciències Socials ($CS$), el $35\%$ de Ciències i Tecnologia ($CT$) i la resta d'Arts ($A$). Se sap que la probabilitat que a un alumne li agradi l'estadística és $0,8$ si és de $CS$, $0,6$ si és de $CT$ i $0,3$ si és d'$A$.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre que representi aquesta situació, indicant a cada branca la seva probabilitat.

1. b) El gust per l'estadística és un succés independent de la modalitat de batxillerat cursada? Demostra-ho matemàticament per al cas de la modalitat de Ciències Socials.

Siguin $A$ i $B$ dos successos tals que $P(A) = 0,4$ i $P(B) = 0,3$.

1. a) Si $A$ i $B$ són successos independents, calcula $P(A \cup B)$ i $P(A | B)$.
2. b) Si $A$ i $B$ són successos dependents i sabem que $P(A \cap B) = 0,2$, calcula $P(B | A)$.
3. c) En el cas b), són $A$ i $B$ successos incompatibles? Justifica la teva resposta.

Un creador de contingut digital té dos canals: un de videojocs ($V$) i un altre de cuina ($C$). El $60\%$ dels seus subscriptors segueixen el canal $V$, el $40\%$ segueixen el canal $C$ i el $20\%$ segueixen tots dos canals.

1. a) Si seleccionem un subscriptor a l'atzar que sabem que segueix el canal de cuina, quina és la probabilitat que també segueixi el de videojocs?
2. b) A la vista de les dades, diries que el fet de seguir un canal influeix en la probabilitat de seguir l'altre? Justifica si els successos són dependents o independents.

En un estoig hi ha 10 retoladors: 6 són de color blau i 4 són de color vermell. S'extreuen successivament i sense devolució dos retoladors.

1. a) Quina és la probabilitat que tots dos siguin blaus?
2. b) Quina és la probabilitat que el segon sigui vermell si el primer va ser blau?
3. c) Són els successos "el primer retolador és blau" i "el segon retolador és blau" independents? Justifica la teva resposta comparant les probabilitats condicionades.

S'han classificat els accidents de trànsit en una ciutat segons el tipus de vehicle i si el conductor era menor de 25 anys. Les dades es recullen en la taula següent:

1. a) Si triem un accident a l'atzar, quina és la probabilitat que el conductor sigui menor de 25 anys?
2. b) Si sabem que l'accident va ser d'un ciclomotor, quina és la probabilitat que el conductor sigui menor de 25 anys?
3. c) Utilitzant els resultats anteriors, explica raonadament si els successos "ser menor de 25 anys" i "conduir un ciclomotor" són independents.

Considera dos successos $A$ i $B$ d'un experiment aleatori dels quals es coneixen les probabilitats següents: $P(A) = 0,5$, $P(B | A) = 0,4$ i $P(B | \bar{A}) = 0,4$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$ i $P(\bar{A} \cap B)$.
2. b) A partir dels resultats anteriors, calcula $P(B)$.
3. c) Demostra si els successos $A$ i $B$ són independents. Quina conclusió pots treure sobre la probabilitat de $B$ quan aquesta no varia encara que sabem que $A$ ha ocorregut o no ha ocorregut?

A partir d'una mostra representativa de joves de 20 a 29 anys a Espanya (amb dades inspirades en l'Enquesta de Condicions de Vida de l'INE), s'analitza la relació entre tenir una feina remunerada (esdeveniment $E$) i haver-se emancipat de la llar familiar (esdeveniment $H$). Se sap que el $40\,\%$ dels joves té feina ($P(E) = 0,40$), que la probabilitat d'estar emancipat sabent que es té feina és $P(H|E) = 0,35$ i que la probabilitat global que un jove estigui emancipat és $P(H) = 0,26$.\na) Calcula la probabilitat que un jove triat a l'atzar treballi i estigui emancipat al mateix temps, $P(E \cap H)$.\nb) Determina formalment si els esdeveniments «tenir feina» i «estar emancipat» són estadísticament independents.\nc) Interpreta el resultat obtingut en el context socioeconòmic de l'estudi: el fet de treballar incrementa, redueix o deixa inalterada la probabilitat d'emancipació respecte a la mitjana de la joventut?

En un grup de 50 estudiants de 2n de Batxillerat, 30 estan matriculats a Francès ($F$) i un nombre desconegut $k$ d'estudiants està matriculat a Informàtica ($I$). Se sap que exactament 12 estudiants cursen ambdues assignatures alhora.\na) Planteja i resol l'equació que permet calcular el valor exacte de $k$ perquè els esdeveniments «cursar Francès» i «cursar Informàtica» siguin estadísticament independents en triar un alumne a l'atzar.\nb) Suposa que a l'inici del segon trimestre s'incorporen al centre 10 nous estudiants que es matriculen únicament a Informàtica (per la qual cosa el total passa a ser de 60 alumnes, mentre que els que cursen ambdues matèries continuen sent 12). Amb el valor de $k$ trobat, justifica si els esdeveniments continuen sent independents o si han passat a ser dependents.

En una plataforma de reproducció en línia (streaming), l'algorisme recomana una sèrie basada en dos criteris: el gènere (esdeveniment $G$) i la popularitat (esdeveniment $P$). Se sap que la probabilitat que a un usuari li agradi una sèrie és de $0,6$. La probabilitat que sigui recomanada pel seu gènere és $0,45$ i la que sigui recomanada per la seva popularitat és $0,4$. Sabent que a un usuari li agrada una sèrie, la probabilitat que l'algorisme l'hagi recomanat pel seu gènere és de $0,5$. A més, els esdeveniments «agradar la sèrie» i «ser recomanada per la seva popularitat» són independents.

Calcula raonadament:

1. a) La probabilitat que una sèrie sigui recomanada pel seu gènere i a més agradi a l'usuari.
2. b) La probabilitat que a un usuari li agradi una sèrie o aquesta hagi estat recomanada per la seva popularitat.
3. c) Són independents els esdeveniments «ser recomanada pel seu gènere» i «agradar la sèrie»? Justifica la resposta amb càlculs.

Disposem de dues urnes amb les composicions següents: la urna $U_1$ conté 4 boles vermelles i 6 de negres; la urna $U_2$ conté 3 boles vermelles i 2 de negres. L'experiment consisteix a extreure una bola a l'atzar de $U_1$ i introduir-la a $U_2$, sense mirar-ne el color. A continuació, s'extreuen simultàniament dues boles de $U_2$.

1. a) Calcula la probabilitat que les dues boles extretes de $U_2$ siguin de diferent color.
2. b) Si les dues boles extretes de $U_2$ han resultat ser negres, quina és la probabilitat que la bola transvasada des de $U_1$ fos vermella?

Un sistema de ciberseguretat industrial utilitza tres nodes de verificació ($N_1, N_2, N_3$) disposats en sèrie, de manera que el sistema només permet l'accés si tots tres nodes validen l'entrada. La probabilitat que el node $N_1$ falli és de $0,02$. El node $N_2$ és més sensible: si $N_1$ ha validat l'entrada, la probabilitat que $N_2$ falli és de $0,05$, però si $N_1$ ha fallat, el node $N_2$ es bloqueja i falla amb probabilitat $1$. Finalment, el node $N_3$ funciona de manera independent de la resta amb una probabilitat d'encert del $0,98$.

1. a) Quina és la probabilitat que una entrada legítima sigui rebutjada pel sistema?
2. b) Si el sistema ha rebutjat una entrada, calcula la probabilitat que la fallada s'hagi produït exclusivament al node $N_2$.

En un estudi sociològic sobre l'ús d'energies renovables, es classifiquen els individus en "proactius" ($A$) o "passius" ($B$). Se sap que el $30\%$ de la població és proactiva. La probabilitat que un individu proactiu instal·li panells solars és de $0,8$, mentre que per a un individu passiu aquesta probabilitat es redueix a $0,2$. Es trien dues persones a l'atzar de manera independent.

1. a) Calcula la probabilitat que almenys una de les dues persones instal·li panells solars.
2. b) Sabent que només una de les dues persones ha instal·lat panells solars, quina és la probabilitat que aquesta persona pertanyi al grup dels proactius?

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que $P(A^c \cap B^c) = 0,2$, $P(A | B) = 0,4$ i $P(B | A) = 0,5$.

1. a) Calcula les probabilitats dels successos $A$ i $B$. (Indicació: utilitza la definició de probabilitat condicionada per plantejar un sistema d'equacions).
2. b) Determina si els successos $A$ i $B$ són independents. Justifica la teva resposta.
3. c) Calcula $P(A^c \cup B)$.

Un test de diagnòstic per a una malaltia rara (que afecta el $0,5\%$ de la població) dona un $2\%$ de falsos positius (persones sanes a les quals el test dona positiu) i un $1\%$ de falsos negatius (persones malaltes a les quals el test dona negatiu).

1. a) Si una persona es sotmet a la prova i dona positiu, i seguidament es sotmet a una segona prova idèntica i independent que també dona positiu, quina és la probabilitat que realment estigui malalta?
2. b) Comenta el resultat obtingut comparant-lo amb la probabilitat després d'un únic test positiu.

Un institut organitza el menjador en tres torns. El $20\%$ de l'alumnat menja en el primer torn, el $50\%$ en el segon i el $30\%$ en el tercer. La puntualitat en tornar a classe depèn del torn: del primer torn arriba tard un $10\%$, del segon un $5\%$ i del tercer un $x\%$. Sabent que la probabilitat que un alumne triat a l'atzar arribi puntual a classe és de $0,923$:

1. a) Determina el valor de $x$ (percentatge d'alumnes que arriben tard del tercer torn).
2. b) Si un alumne ha arribat tard a classe, de quin torn és més probable que procedeixi?

En un torneig de videojocs, un jugador ha de superar dues fases. La probabilitat de superar la primera fase és $0,7$. Si supera la primera, la probabilitat de superar la segona és $0,5$. Si no supera la primera, se li dona una oportunitat de "repesca" que supera amb probabilitat $0,3$. Si supera la repesca, entra en la segona fase, però amb una probabilitat d'èxit de només $0,2$ a causa del cansament acumulat.

1. a) Calcula la probabilitat que el jugador superi finalment el torneig (superar la segona fase).
2. b) Si el jugador ha superat el torneig, quina és la probabilitat que ho hagi aconseguit sense necessitat de passar per la repesca?

En un servei d'urgències hospitalàries, el $60\,\%$ dels pacients ingressa amb patologies lleus (esdeveniment $L$) i el $40\,\%$ restant amb patologies greus (esdeveniment $G = \bar{L}$). Per protocol clínic, al $30\,\%$ dels pacients lleus se'ls realitza una prova d'imatge radiològica (esdeveniment $R$), mentre que aquesta prova es prescriu al $75\,\%$ dels pacients greus.\nPer determinar si els esdeveniments «patir una patologia lleu» i «requerir una prova radiològica» són dependents o independents, dos analistes del centre proposen camins diferents:\n- Mètode 1: Calcular $P(R)$ fent servir el teorema de la probabilitat total i comprovar si es compleix la igualtat del producte $P(L \cap R) = P(L) \cdot P(R)$.\n- Mètode 2: Comparar directament la dada condicionada $P(R|L)$ amb el valor global de $P(R)$ o bé contrastar directament $P(R|L)$ amb $P(R|G)$.\na) Aplica amb rigor ambdós mètodes realitzant tots els càlculs numèrics necessaris i enuncia la conclusió obtinguda sobre la independència.\nb) Compara críticament ambdós enfocaments: raona quin dels dos mètodes és més eficient (requereix menys passos de càlcul per respondre a la pregunta) i quin avantatge interpretatiu ofereix contrastar $P(R|L)$ enfront de $P(R|G)$ respecte a limitar-se a comprovar la fórmula del producte.

Segons registres històrics climatològics en una comarca agrícola mediterrània durant el mes d'octubre, la probabilitat que plogui un dia qualsevol és $P(L) = 0,30$. A causa de la inestabilitat atmosfèrica persistent, es constata que si un dia plou, la probabilitat que torni a ploure l'endemà puja a $0,58$; en canvi, si un dia no plou, la probabilitat de pluja l'endemà descendeix a $0,18$.\nConsidera dos dies consecutius qualssevol (dia 1 i dia 2) amb esdeveniments $L_1$: «plou el dia 1» i $L_2$: «plou el dia 2».\na) Demostra formalment, mitjançant la definició de probabilitat condicionada, si els esdeveniments $L_1$ i $L_2$ són independents o dependents.\nb) Un model de predicció simplista assumeix la hipòtesi d'independència temporal, considerant que $P(L_1 \cap L_2) = P(L_1) \cdot P(L_2) = 0,30 \cdot 0,30 = 0,09$. Calcula la probabilitat real que plogui tots dos dies consecutius sabent que el dia previ al dia 1 va ser sec (no va ploure).\nc) Un agricultor decideix no aplicar un tractament fitosanitari si la probabilitat que plogui els dos dies consecutius supera el $10\,\%$. Explica quina decisió prendria sota el model simplista i quina decisió prendria amb el model real (partint del fet que el dia previ va ser sec). Valora les conseqüències pràctiques de modelitzar esdeveniments dependents com si fossin independents.