Probabilidad condicionada

En una biblioteca municipal, se sabe que la probabilidad de que un socio se lleve prestada una novela es $P(N) = 0,6$ y la probabilidad de que se lleve un cómic es $P(C) = 0,4$. Además, la probabilidad de que se lleve ambos es $P(N \cap C) = 0,15$.

Calcula la probabilidad de que un socio se lleve un cómic si sabemos que ya se ha llevado una novela.

Un analista de redes sociales estudia el comportamiento de los adolescentes en dos aplicaciones: TikTok ($T$) e Instagram ($I$). Los datos indican que:

• El $70 \%$ de los jóvenes usa TikTok.

• El $50 \%$ usa Instagram.

• La probabilidad de que un joven use Instagram sabiendo que usa TikTok es $0,4$.

Calcula la probabilidad de que un joven elegido al azar utilice ambas aplicaciones ($P(T \cap I)$) y razona si los sucesos son independientes.

En un estuche hay 5 subrayadores fluorescentes: 3 son de color amarillo y 2 son de color rosa. Extraemos dos subrayadores de forma consecutiva y sin reemplazamiento (sin devolver el primero al estuche).

Representa la situación mediante un diagrama de árbol y calcula la probabilidad de que el segundo subrayador extraído sea rosa, sabiendo que el primero fue amarillo.

Un estudiante de 2º de Bachillerato ha preparado 18 de los 25 temas de los que consta el examen final de Historia. El examen consiste en elegir al azar dos temas del total y desarrollar uno de ellos.

1. a) Calcula la probabilidad de que el alumno se sepa los dos temas extraídos.
2. b) Calcula la probabilidad de que el alumno apruebe el examen (es decir, que se sepa al menos uno de los dos temas).

Disponemos de dos urnas opacas. La urna $U_A$ contiene 4 bolas blancas y 6 bolas negras. La urna $U_B$ contiene 5 bolas blancas y 3 negras. El experimento consiste en extraer una bola de la urna $U_A$ y, sin mirar su color, introducirla en la urna $U_B$. A continuación, se extraen dos bolas simultáneamente de la urna $U_B$.

Si las dos bolas extraídas de la segunda urna resultan ser blancas, ¿cuál es la probabilidad de que la bola transferida desde la primera urna fuera negra? Expresa el resultado en forma de fracción irreducible.

En un grupo de 2º de Bachillerato se ha realizado una encuesta sobre el uso de gafas y el género de los estudiantes. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:

Si seleccionamos un alumno al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea un chico, sabiendo que lleva gafas.
2. b) La probabilidad de que lleve gafas, sabiendo que es una chica.

En una encuesta realizada a 200 alumnos de un instituto sobre el uso de redes sociales, se ha observado que 120 utilizan TikTok, 100 utilizan Instagram y 60 utilizan ambas plataformas. Si seleccionamos un alumno al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que utilice Instagram sabiendo que ya utiliza TikTok.
2. b) La probabilidad de que no utilice TikTok si sabemos que utiliza Instagram.
3. c) ¿Son los sucesos "ser usuario de TikTok" y "ser usuario de Instagram" independientes? Justifica la respuesta matemáticamente.

Un centro de tecnificación deportiva clasifica a sus atletas según su dieta (Equilibrada o Deficiente) y su rendimiento en el último trimestre (Alto o Bajo). Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

Calcula:

1. a) $P(R | D)$
2. b) $P(\bar{D} | \bar{R})$
3. c) Determina si tener una dieta equilibrada y tener un rendimiento alto son sucesos independientes.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que la probabilidad de $A$ es $P(A) = 0,5$, la de $B$ es $P(B) = 0,3$ y la probabilidad de su unión es $P(A \cup B) = 0,65$.

A partir del siguiente diagrama de Venn, identifica la zona sombreada y calcula $P(A|B)$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,6$ y $P(A \cup B) = 0,8$.

1. a) Calcula $P(A | B)$.
2. b) Calcula $P(B | \bar{A})$.
3. c) ¿Son $A$ y $B$ sucesos incompatibles? ¿Son independientes?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que conocemos $P(A \cup B) = 0,9$, $P(B|A) = 0,4$ y $P(A|\overline{B}) = 0,8$, donde $\overline{B}$ representa el suceso contrario de $B$.

Utilizando las propiedades del álgebra de sucesos y la definición de probabilidad condicionada, calcula:

1. $P(A \cap B)$

2. $P(A)$

3. $P(B)$

Ayuda: Plantea un sistema de ecuaciones utilizando las definiciones de probabilidad condicionada.