Exercicis: Probabilitat condicionada

En un grup de 2n de Batxillerat s'ha realitzat una enquesta sobre l'ús d'ulleres i el gènere dels estudiants. Els resultats es mostren en la taula de contingència següent:

Si seleccionem un alumne a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que sigui un noi, sabent que porta ulleres.
2. b) La probabilitat que porti ulleres, sabent que és una noia.

En una biblioteca municipal, es sap que la probabilitat que un soci s'emporti en préstec una novel·la és $P(N) = 0,6$ i la probabilitat que s'emporti un còmic és $P(C) = 0,4$. A més, la probabilitat que s'emporti tots dos és $P(N \cap C) = 0,15$.

Calcula la probabilitat que un soci s'emporti un còmic si sabem que ja s'ha emportat una novel·la.

Un analista de xarxes socials estudia el comportament dels adolescents en dues aplicacions: TikTok ($T$) i Instagram ($I$). Les dades indiquen que:

• El $70 \%$ dels joves utilitza TikTok.

• El $50 \%$ utilitza Instagram.

• La probabilitat que un jove utilitzi Instagram sabent que utilitza TikTok és $0,4$.

Calcula la probabilitat que un jove triat a l'atzar utilitzi totes dues aplicacions ($P(T \cap I)$) i raona si els successos són independents.

En un estoig hi ha 5 subratlladors fluorescents: 3 són de color groc i 2 són de color rosa. Extraiem dos subratlladors de manera consecutiva i sense reemplaçament (sense tornar el primer a l'estoig).

Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre i calcula la probabilitat que el segon subratllador extret sigui rosa, sabent que el primer va ser groc.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que la probabilitat de $A$ és $P(A) = 0,5$, la de $B$ és $P(B) = 0,3$ i la probabilitat de la seva unió és $P(A \cup B) = 0,65$.

A partir del diagrama de Venn següent, identifica la zona ombrejada i calcula $P(A|B)$.

En una lliga escolar de bàsquet, el $40 \%$ dels participants són jugadors experimentats ($E$) i la resta són principiants ($P$). Es sap que el $80 \%$ dels experimentats arriben a la final ($F$), mentre que només el $20 \%$ dels principiants ho aconsegueixen.

Si triem un participant a l'atzar i sabem que és principiant, quina és la probabilitat que arribi a la final? Expressa el resultat utilitzant la notació de probabilitat condicionada.

S'ha realitzat un estudi sobre els hàbits de lectura d'un grup d'estudiants. La probabilitat que un estudiant llegeixi premsa digital és $P(L) = 0,45$. La probabilitat que llegeixi premsa digital i a més escolti pòdcasts de notícies és $P(L \cap S) = 0,18$.

Troba la probabilitat que un estudiant escolti pòdcasts de notícies, sabent que és lector de premsa digital.

En una botiga de roba esportiva, el $60 \%$ de les vendes són sabatilles de running ($Z$) i el $40 \%$ són sabatilles de bàsquet ($B$). El $20 \%$ dels compradors de sabatilles de running també adquireix mitjons tècnics ($C$).

Si un client ha comprat unes sabatilles de running, quina és la probabilitat que no hagi comprat mitjons tècnics? (Recorda la propietat del succés contrari en la probabilitat condicionada).

En un institut d'Educació Secundària s'ha realitzat un sondeig sobre activitats extraescolars. Les dades reflecteixen que el $45\,\%$ de l'alumnat practica esport de manera habitual ($D$), el $30\,\%$ assisteix a tallers artístics ($A$) i el $15\,\%$ participa en ambdues activitats. La Lucía, una alumna de 2n de Batxillerat, vol calcular la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar participi en tallers artístics sabent que fa esport ($P(A|D)$), i escriu al seu quadern el següent:

«Com que hi ha un $15\,\%$ d'alumnes que fan ambdues coses sobre el total, tenim que $P(A|D) = 0,15$. A més, la probabilitat de fer esport sabent que assisteix a art és exactament la mateixa, $P(D|A) = 0,15$, perquè la intersecció és commutativa ($A \cap D = D \cap A$)».

1. a) Assenyala amb precisió els dos errors conceptuals comesos per la Lucía i explica per què el seu raonament contradiu la idea de «reducció de l'espai mostral» pròpia de la probabilitat condicionada.
2. b) Corregeix el plantejament i calcula de manera justificada els valors correctes de $P(A|D)$ i de $P(D|A)$.

En una acadèmia d'idiomes que prepara per a l'acreditació oficial del nivell B2 d'anglès, el $70\,\%$ de l'alumnat matriculat assisteix de manera regular a classes presencials ($C$), mentre que el $30\,\%$ restant es prepara de manera autodidacta pel seu compte ($\overline{C}$). D'acord amb l'històric de convocatòries de l'acadèmia, aprova l'examen oficial el $80\,\%$ dels qui van a classe presencial, però només el $40\,\%$ dels qui estudien pel seu compte.

1. a) Abans d'efectuar cap càlcul analític, fes una estimació raonada: si sabem que un estudiant qualsevol ha aprovat l'examen ($A$), la probabilitat que pertanyi al grup d'assistència presencial, $P(C|A)$, hauria de ser més gran, més petita o igual que el $70\,\%$ inicial? Justifica de manera intuïtiva la teva estimació.
2. b) Modela la situació mitjançant el càlcul de probabilitats compostes per obtenir formalment el valor exacte de $P(C|A)$. A continuació, compara el resultat amb la teva estimació inicial i argumenta per què la informació a posteriori modifica la certesa que teníem sobre el succés inicial.

En una enquesta realitzada a 200 alumnes d'un institut sobre l'ús de xarxes socials, s'ha observat que 120 utilitzen TikTok, 100 utilitzen Instagram i 60 utilitzen totes dues plataformes. Si seleccionem un alumne a l'atzar, calcula:

1. a) La probabilitat que utilitzi Instagram sabent que ja utilitza TikTok.
2. b) La probabilitat que no utilitzi TikTok si sabem que utilitza Instagram.
3. c) Són els successos "ser usuari de TikTok" i "ser usuari d'Instagram" independents? Justifica la resposta matemàticament.

Una marca de roba urbana fabrica les seves dessuadores en dos tallers diferents. El taller $A$ produeix el $60\%$ de les peces de roba i el taller $B$ la resta. Es sap que el $5\%$ de les dessuadores del taller $A$ té algun defecte de cosit, mentre que al taller $B$ el percentatge de defectes és del $8\%$. Es tria una dessuadora a l'atzar de la botiga i resulta ser defectuosa. Calcula la probabilitat que hagi estat fabricada al taller $A$.

Un estudiant de 2n de Batxillerat ha preparat 18 dels 25 temes de què consta l'examen final d'Història. L'examen consisteix a triar a l'atzar dos temes del total i desenvolupar-ne un.

1. a) Calcula la probabilitat que l'alumne se sàpiga els dos temes extrets.
2. b) Calcula la probabilitat que l'alumne aprovi l'examen (és a dir, que se sàpiga almenys un dels dos temes).

En un club de lectura, el $70\%$ dels socis llegeix novel·les de misteri i el $45\%$ llegeix assaigs. A més, es sap que el $30\%$ dels socis llegeix tots dos tipus de llibres. Si seleccionem un soci que sabem que no llegeix assaigs, quina és la probabilitat que sí que llegeixi novel·les de misteri?

Un centre de tecnificació esportiva classifica els seus atletes segons la seva dieta (Equilibrada o Deficient) i el seu rendiment en el darrer trimestre (Alt o Baix). Les dades es recullen en la taula de contingència següent:

Calcula:

1. a) $P(R | D)$
2. b) $P(\bar{D} | \bar{R})$
3. c) Determina si tenir una dieta equilibrada i tenir un rendiment alt són successos independents.

Un test de detecció d'una malaltia rara, que pateix el $1\%$ de la població, dona positiu en el $96\%$ dels malalts (sensibilitat). Tanmateix, també dona un "fals positiu" en el $2\%$ de les persones sanes.

1. a) Calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar doni positiu en el test.
2. b) Si el test d'una persona ha donat positiu, quina és la probabilitat real que estigui malalta?

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,6$ i $P(A \cup B) = 0,8$.

1. a) Calcula $P(A | B)$.
2. b) Calcula $P(B | \bar{A})$.
3. c) Són $A$ i $B$ successos incompatibles? Són independents?

En una prova d'atletisme per relleus, la primera corredora té una probabilitat de completar el seu relleu sense penalització de $0,8$. La segona corredora, de forma independent a la primera, té una probabilitat de $0,7$.

1. a) Quina és la probabilitat que totes dues completin el seu relleu sense penalització?
2. b) Sabent que almenys una de les dues ha completat el seu relleu sense penalització, quina és la probabilitat que la primera ho hagi aconseguit?

A partir d'una adaptació de les dades de l'Enquesta de Població Activa (EPA) de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre la població jove espanyola de 18 a 29 anys, s'extreuen les probabilitats següents relatives a la situació laboral i residencial:

• La probabilitat que una persona jove estigui emancipada (visqui fora de la llar familiar) és $P(E) = 0,16$.

• La probabilitat que tingui un contracte laboral indefinit és $P(I) = 0,45$.

• La probabilitat que no estigui emancipada i alhora no disposi de contracte indefinit ascendeix al $51\,\%$ ($P(\overline{E} \cap \overline{I}) = 0,51$).

1. a) Utilitza les lleis de De Morgan per calcular la probabilitat que una persona jove estigui emancipada, tingui contracte indefinit o totes dues coses ($P(E \cup I)$).
2. b) Dedueix la probabilitat que una persona jove seleccionada a l'atzar compleixi simultàniament totes dues condicions: estar emancipada i tenir contracte indefinit ($P(E \cap I)$).
3. c) Si s'escull a l'atzar una persona jove que disposa de contracte indefinit, calcula la probabilitat condicionada que estigui emancipada, $P(E|I)$. Interpreta el resultat obtingut comparant-lo amb la probabilitat marginal $P(E)$ i conclou si disposar de contracte indefinit afavoreix o no l'emancipació juvenil.

Una plataforma de venda en línia distribueix les seves comandes a través de dues modalitats de lliurament: «Enviament Estàndard» ($S$) i «Enviament Urgent» ($U$). El $60\,\%$ de les compres es gestiona mitjançant enviament estàndard i el $40\,\%$ mitjançant enviament urgent. Una comanda pot patir incidències de retard en el lliurament ($R$). Se sap pels registres de l'operador logístic que, entre els enviaments urgents, la probabilitat de patir un retard és de tot just $P(R|U) = 0,02$.

El departament de control de qualitat s'ha fixat com a objectiu prioritari que, d'entre tots els enviaments que arribin amb retard als clients, la probabilitat que corresponguin a la modalitat urgent no superi el $10\,\%$ (és a dir, exigeix que $P(U|R) = 0,10$).

Determina quina ha de ser la taxa màxima admissible de retard en els enviaments estàndard, és a dir, el valor de la probabilitat condicionada $P(R|S)$, perquè la companyia compleixi exactament amb l'estàndard de qualitat fixat.

En un gimnàs, el $60 \%$ dels socis té una quota "Mensual" ($S_1$) i la resta una quota "Anual" ($S_2$). Se sap que el $15 \%$ dels socis amb quota mensual es dona de baixa abans de finalitzar el primer mes, mentre que entre els socis amb quota anual només es dona de baixa el $5 \%$ en aquest període.

Si seleccionem un soci a l'atzar que s'ha donat de baixa abans del primer mes, calcula la probabilitat que tingués contractada la quota mensual.

Disposem de dues urnes opaques. La urna $U_A$ conté 4 boles blanques i 6 boles negres. La urna $U_B$ conté 5 boles blanques i 3 de negres. L'experiment consisteix a extreure una bola de la urna $U_A$ i, sense mirar-ne el color, introduir-la a la urna $U_B$. A continuació, s'extreuen dues boles simultàniament de la urna $U_B$.

Si les dues boles extretes de la segona urna resulten ser blanques, quina és la probabilitat que la bola transferida des de la primera urna fos negra? Expressa el resultat en forma de fracció irreductible.

Un estudi sobre hàbits digitals en adolescents revela que el $70 \%$ dels estudiants d'un centre utilitza una xarxa social de microblogging ($M$). Se sap que el $40 \%$ dels usuaris d'aquesta xarxa ha experimentat fatiga digital ($F$), mentre que entre els qui no la fan servir, el percentatge de fatiga digital es redueix al $10 \%$.

El diagrama d'arbre següent recull aquestes dades a cada branca:

Calcula les probabilitats següents:

1. a) Probabilitat que un estudiant triat a l'atzar no faci servir la xarxa social i no tingui fatiga digital.

1. b) Si un estudiant afirma tenir fatiga digital, quina és la probabilitat que no sigui usuari d'aquesta xarxa social?

1. c) Són els successos «ser usuari de la xarxa social» i «tenir fatiga digital» independents? Justifica la resposta matemàticament.

Una fàbrica de components per a smartphones utilitza tres màquines, $A$, $B$ i $C$, per produir una peça específica. La màquina $A$ produeix el $45 \%$ del total, la $B$ el $30 \%$ i la $C$ la resta. S'ha detectat que el $2 \%$ de les peces de $A$ són defectuoses, el $3 \%$ de les de $B$ i el $5 \%$ de les de $C$.

Si es tria una peça a l'atzar i resulta ser defectuosa, determina raonadament quina màquina és més probable que l'hagi fabricat. Per fer-ho, calcula les tres probabilitats a posteriori utilitzant el teorema de Bayes.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un espai mostral tals que coneixem $P(A \cup B) = 0,9$, $P(B|A) = 0,4$ i $P(A|\overline{B}) = 0,8$, on $\overline{B}$ representa el succés contrari de $B$.

Utilitzant les propietats de l'àlgebra de successos i la definició de probabilitat condicionada, calcula:

1. $P(A \cap B)$

2. $P(A)$

3. $P(B)$

Ajuda: Planteja un sistema d'equacions utilitzant les definicions de probabilitat condicionada.

En el procés de selecció per a un programa d'intercanvi escolar, un estudiant ha de superar dues fases consecutives. La probabilitat de superar la primera fase és de $0,7$. Si supera la primera, la probabilitat de superar la segona és de $0,6$. En canvi, si no supera la primera fase, té una oportunitat de "repesca" on la probabilitat de superar la segona fase cau a $0,2$.

1. Calcula la probabilitat que l'estudiant superi la segona fase.

2. Sabent que l'estudiant ha superat la segona fase, quina és la probabilitat que NO hagués superat la primera fase originalment?

Un centre de salut realitza un test de detecció d'una intolerància alimentària que afecta el $2 \%$ de la població. El test no és perfecte: dona positiu en el $98 \%$ de les persones que realment pateixen la intolerància, però també dona un "fals positiu" en el $3 \%$ de les persones sanes.

Si a un adolescent se li realitza el test i el resultat és positiu:

1. Quina és la probabilitat que realment sigui intolerant?

2. Interpreta el resultat obtingut en relació amb l'eficàcia del test per realitzar diagnòstics massius en poblacions on la prevalença de la malaltia és molt baixa.

En una aula de 2n de Batxillerat, el $60 \%$ dels alumnes són dones. Es sap que el $80 \%$ de les dones ha aprovat el darrer examen de matemàtiques, mentre que el percentatge d'aprovats entre els homes ha estat del $x \%$.

Si la probabilitat que una persona triada a l'atzar de l'aula hagi aprovat l'examen és de $0,74$, calcula el valor de $x$ (percentatge d'aprovats entre els homes). Posteriorment, calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar sigui home, sabent que ha suspès l'examen.

En una investigació sociosanitària sobre una infecció respiratòria estacional en una població de 1000 persones, es disposa de la informació clínica següent:

• 200 persones presenten símptomes compatibles amb la infecció ($S$) i la resta són asimptomàtiques ($\overline{S}$).

• El $75\,\%$ de les persones amb símptomes dona positiu en un test ràpid de diagnòstic ($T$).

• Entre les persones asimptomàtiques, un $10\,\%$ dona resultat positiu en el test (fals positiu).

L'equip mèdic necessita determinar la probabilitat que una persona triada a l'atzar que ha donat positiu en el test sigui realment una persona asimptomàtica, és a dir, $P(\overline{S}|T)$.

1. a) Planteja la resolució d'aquesta situació a través de dues estratègies metodològiques diferents:

• Mètode 1: Construcció d'un diagrama d'arbre probabilístic i aplicació rigorosa de les fórmules axiomàtiques de probabilitat condicionada i intersecció.

• Mètode 2: Elaboració d'una taula de contingència de freqüències absolutes repartint les 1000 persones a les cel·les corresponents.

1. b) Executa tots dos mètodes fins a obtenir el valor de $P(\overline{S}|T)$ i verifica que condueixen al mateix resultat numèric.
2. c) Realitza una valoració crítica comparant tots dos camins: quin dels dos mètodes consideres més pedagògic i menys propens a errors de comprensió per traslladar aquest resultat a un equip de gestors públics no familiaritzats amb l'estadística formal? Justifica la teva resposta.

En una comarca costanera, l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) activa el protocol d'«Alerta per temporal de pluja torrencial» ($A$) en el $8\,\%$ de les jornades de tardor. Els registres històrics de l'observatori local indiquen que efectivament plou de manera torrencial ($L$) en el $5\,\%$ dels dies de tardor. A més, les dades revelen que la probabilitat que plogui torrencialment en una jornada en què s'ha activat l'alerta prèvia és $P(L|A) = 0,50$.

1. a) Demostra mitjançant la definició formal de successos independents si l'activació de l'alerta ($A$) i la presència real de pluja torrencial ($L$) són successos independents. Explica el significat operatiu que té aquesta conclusió per als serveis de Protecció Civil.
2. b) Calcula la probabilitat que s'hagi activat l'alerta meteorològica sabent que en una jornada determinada finalment no es van registrar pluges torrencials, és a dir, $P(A|\overline{L})$.
3. c) Durant una roda de premsa, un portaveu municipal sosté la crítica següent: «Atès que $P(L|A) = 0,50$, el sistema d'avisos d'AEMET falla la meitat de les vegades; per tant, l'alerta manca completament d'utilitat informativa». Rebat matemàticament aquesta afirmació comparant la probabilitat condicionada amb la probabilitat a priori de pluja torrencial sense alerta, i reflexiona sobre el cost asimètric dels dos tipus d'errors possibles (falsa alarma enfront de temporal imprevist).