Exercicis: Teorema de Bayes

En una plataforma de streaming, el $60\,\%$ de les sèries són de producció pròpia, mentre que la resta són de productores externes. Es sap que el $15\,\%$ de les sèries de producció pròpia són del gènere de ciència-ficció, mentre que en les externes aquest percentatge puja al $25\,\%$. Si triem una sèrie a l'atzar i resulta ser de ciència-ficció, quina és la probabilitat que sigui una producció pròpia de la plataforma?

Una marca de sabatilles fabrica els seus models en dues fàbriques diferents: el $70\,\%$ a la fàbrica $A$ i el $30\,\%$ a la fàbrica $B$. El control de qualitat ha detectat que el $2\,\%$ de les sabatilles de la fàbrica $A$ tenen algun defecte de costura, mentre que a la fàbrica $B$ els defectes apareixen en el $5\,\%$ de la producció. Un client compra unes sabatilles i descobreix que tenen un defecte de costura. Calcula la probabilitat que hagin estat fabricades a la fàbrica $B$.

En un institut, el $40\,\%$ dels alumnes de 2n de Batxillerat són de l'opció de Ciències i el $60\,\%$ de Ciències Socials. S'ha observat que aproven l'assignatura d'Anglès el $85\,\%$ dels alumnes de Ciències i el $90\,\%$ dels de Ciències Socials. Si triem un alumne a l'atzar que sabem que ha aprovat Anglès, quina és la probabilitat que pertanyi a la modalitat de Ciències?

Un influencer reparteix les seves publicacions entre dues xarxes socials: Instagram ($75\,\%$) i TikTok ($25\,\%$). Se sap que el $40\,\%$ de les seves fotos a Instagram reben més de 10.000 «likes», mentre que a TikTok només el $20\,\%$ dels seus vídeos superen aquesta xifra. Si rebem una notificació que una de les seves publicacions ha superat els 10.000 «likes», quina probabilitat hi ha que sigui un vídeo de TikTok?

Un filtre de correu electrònic classifica automàticament els missatges com a spam. El filtre marca correctament com a spam el $98\,\%$ dels correus que realment ho són. Tanmateix, també envia a la carpeta de spam el $4\,\%$ dels correus legítims. S'estima que el $10\,\%$ del correu que arriba a una bústia és spam. Si un correu triat a l'atzar ha estat marcat com a spam, calcula la probabilitat que realment ho sigui.

Una botiga de videojocs ven consoles de dues marques: "N-Switch" i "PlayPro". El $65\,\%$ de les vendes són de PlayPro i la resta de N-Switch. El servei tècnic informa que el $3\,\%$ de les PlayPro es retornen per fallida de fàbrica, mentre que a les N-Switch el percentatge de devolució és del $2\,\%$. Si un client retorna una consola defectuosa, quina és la probabilitat que sigui una PlayPro?

Per arribar al centre, un estudiant pot anar en autobús ($80\,\%$ de les vegades) o en bicicleta ($20\,\%$). Quan va en autobús, arriba tard el $10\,\%$ dels dies a causa del trànsit. Quan va en bicicleta, només arriba tard el $5\,\%$ de les vegades. Si un dia l'estudiant arriba tard a classe, calcula la probabilitat que hagi anat en autobús.

En una empresa de desenvolupament de programari, el $70\,\%$ dels programadors utilitza el llenguatge Python i el $30\,\%$ utilitza Java. S'estima que el $10\,\%$ dels codis escrits en Python contenen errors de sintaxi crítics, mentre que en Java aquest percentatge és del $15\,\%$. Si es detecta un error de sintaxi crític en un fragment de codi, quina és la probabilitat que hagi estat programat en Python?

En un institut, el $40\,\%$ de l'alumnat de 2n de Batxillerat cursa la modalitat d'Humanitats i Ciències Socials i el $60\,\%$ la de Ciències i Tecnologia. En la convocatòria ordinària de les PAU, aprova el $85\,\%$ dels estudiants de Socials i el $90\,\%$ dels de Ciències. En triar a l'atzar una persona que ha superat aquesta prova, es vol calcular la probabilitat que procedeixi d'Humanitats i Ciències Socials.

En Mateo escriu al seu examen:

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual comès per en Mateo en el denominador. Per què sumar directament $0{,}85 + 0{,}90$ és incorrecte des del punt de vista del teorema de la probabilitat total?
2. b) Planteja l'expressió correcta segons el teorema de Bayes i calcula el valor exacte de la probabilitat en forma de fracció irreductible i arrodonit a quatre xifres decimals.

En una gran ciutat espanyola, el $70\,\%$ de les persones que es desplacen diàriament a la feina utilitzen el metro i el $30\,\%$, l'autobús urbà. Els registres de mobilitat revelen que el metro pateix retards significatius en el $10\,\%$ dels seus trajectes, mentre que l'autobús s'endarrereix en el $40\,\%$ de les ocasions a causa del trànsit. Una persona arriba avui amb retard al seu lloc de treball.

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric, estima de manera qualitativa i raonada: sabent que el metro transporta més del doble de viatgers que l'autobús, però l'autobús falla quatre vegades més que el metro, creus que la probabilitat que la persona endarrerida hagi viatjat en autobús serà inferior, igual o superior a $0{,}5$? Justifica la teva conjectura.
2. b) Aplica el teorema de Bayes per calcular la probabilitat exacta que aquesta persona hagi viatjat en autobús.
3. c) Compara el resultat numèric obtingut amb la teva estimació inicial i valora si confirma o contradiu la teva intuïció.

En un centre de salut s'està realitzant un estudi sobre l'eficàcia d'un test de diagnòstic per a una al·lèrgia alimentària que afecta el $8\,\%$ de la població juvenil. Les dades clíniques indiquen que, si una persona pateix l'al·lèrgia, el test dona positiu en el $95\,\%$ dels casos. D'altra banda, si la persona no pateix l'al·lèrgia, el test dona un "fals positiu" (resultat positiu sense estar malalt) en el $4\,\%$ de les ocasions. Si es tria un jove a l'atzar i el seu resultat en el test és positiu, calcula la probabilitat que realment pateixi aquesta al·lèrgia.

Una xarxa social utilitza un algorisme d'intel·ligència artificial per detectar comentaris d'odi. Es sap que el $5\,\%$ dels comentaris publicats són realment inapropiats. L'algorisme identifica correctament com a "inapropiat" el $98\,\%$ dels comentaris que realment ho són. Tanmateix, etiqueta erròniament com a "inapropiat" el $3\,\%$ dels comentaris que són respectuosos. Si el sistema acaba de bloquejar un comentari per marcar-lo com a "inapropiat", quina és la probabilitat que el comentari fos realment respectuós?

Una empresa de logística d'última milla distribueix paquets en una ciutat utilitzant tres tipus de vehicles: furgonetes elèctriques ($60\,\%$), motocicletes ($30\,\%$) i bicicletes de càrrega ($10\,\%$). La probabilitat que un paquet arribi amb retard és del $2\,\%$ si es lliura en furgoneta, del $5\,\%$ si és en motocicleta i del $8\,\%$ si és en bicicleta. Si un client truca per queixar-se perquè el seu paquet ha arribat tard, quina és la probabilitat que el repartidor anés en bicicleta de càrrega?

En una acadèmia de preparació per a la EvAU, el $40\,\%$ dels alumnes està matriculat en el grup de Ciències, el $35\,\%$ en el de Ciències Socials i el $25\,\%$ en el d'Humanitats. En acabar el curs, han superat la prova d'accés el $92\,\%$ dels alumnes de Ciències, el $88\,\%$ dels de Ciències Socials i el $80\,\%$ dels d'Humanitats. Triat un alumne del centre a l'atzar que sabem que ha aprovat la EvAU, calcula la probabilitat que pertanyi al grup de Ciències Socials.

Un fabricant de components electrònics per a telèfons intel·ligents té tres línies de producció: A, B i C. La línia A produeix el $45\,\%$ dels components, la B el $30\,\%$ i la C el $25\,\%$. Es sap que la probabilitat que un component sigui defectuós és del $1\,\%$ a la línia A, del $2\,\%$ a la línia B i del $3\,\%$ a la línia C. Si es selecciona un component a l'atzar i resulta ser defectuós, determina raonadament quina línia de producció és més probable que l'hagi fabricat.

En una ciutat, el $70\,\%$ dels ciutadans utilitza una aplicació mòbil per pagar el transport públic, mentre que la resta utilitza targeta física. S'observa que el $15\,\%$ dels que utilitzen l'aplicació tenen problemes de lectura en el validador, enfront del $5\,\%$ dels que utilitzen targeta física. Si un validador emet un senyal d'error de lectura, quina és la probabilitat que l'usuari estigui intentant pagar amb l'aplicació mòbil?

Un centre de reciclatge processa envasos que provenen de dos districtes de la ciutat, Nord i Sud. El $60\,\%$ dels envasos provenen del districte Nord. A la planta de processament es detecta que el $10\,\%$ dels envasos del Nord estan mal classificats pels ciutadans, mentre que al districte Sud aquest percentatge ascendeix al $15\,\%$. Si l'operari de la cinta selecciona un envàs a l'atzar i comprova que està correctament classificat, quina és la probabilitat que provingui del districte Nord?

Un equip d'e-sports juga les seves partides d'un torneig sota dues condicions climàtiques de xarxa: "Latència Baixa" ($P=0,75$) i "Latència Alta" ($P=0,25$). Quan la latència és baixa, l'equip guanya el $80\,\%$ dels seus enfrontaments. Tanmateix, si la latència és alta, la seva probabilitat de victòria cau al $40\,\%$. Sabent que l'equip acaba de guanyar una partida, quina és la probabilitat que estiguessin jugant amb latència alta?

Segons dades basades en enquestes de l'Institut Nacional d'Estadística (INE) sobre comerç electrònic a Espanya, els mètodes de pagament habituals es distribueixen en: targeta bancària ($65\,\%$), plataformes o moneders digitals ($25\,\%$) i transferència o contra reemborsament ($10\,\%$). Els departaments de seguretat bancària estimen que es detecta alguna anomalia o frau en l'$1{,}2\,\%$ dels pagaments amb targeta, en el $0{,}8\,\%$ de les compres amb moneder digital i en el $3\,\%$ de les operacions per transferència o contra reemborsament.

1. a) Modela la situació mitjançant un diagrama en arbre de probabilitats, definint amb claredat els successos i assignant a cada branca la seva probabilitat corresponent.
2. b) Si el sistema d'alerta intercepta una transacció fraudulenta, calcula la probabilitat que hagi estat realitzada mitjançant targeta bancària.
3. c) L'equip antifrau disposa de recursos limitats i només pot auditar a fons el canal que acumuli el volum absolut més gran de fraus detectats. Quin mètode de pagament han de prioritzar? Justifica la resposta explicant per què no necessites recalcular el denominador complet per comparar les causes.

Una central hortofructícola de la Comunitat Valenciana processa taronges procedents únicament de dues cooperatives agràries, $A$ i $B$. La cooperativa $A$ subministra una proporció $p$ dels lots rebuts ($0 < p < 1$), mentre que la cooperativa $B$ subministra la resta ($1-p$). Les inspeccions fitosanitàries de control de qualitat determinen que el $2\,\%$ dels lots d'$A$ i el $5\,\%$ dels lots de $B$ no compleixen l'estàndard exigit per a la seva exportació a la Unió Europea.

1. a) Sabent que, en seleccionar a l'atzar un lot que ha resultat no apte per a l'exportació, la probabilitat a posteriori que provingui de la cooperativa $A$ és exactament igual a $\frac{4}{9}$, planteja una equació i calcula el valor de la proporció $p$ del subministrament total aportada per aquesta cooperativa.
2. b) Raona i interpreta el resultat: com és possible que, tenint la cooperativa $A$ una taxa d'errors percentual sensiblement menor que la de $B$ ($2\,\%$ enfront de $5\,\%$), la probabilitat que un lot defectuós provingui d'$A$ arribi a una fracció tan elevada com $\frac{4}{9}$?

Una multinacional tecnològica utilitza tres proveïdors diferents per als microxips dels seus nous ordinadors portàtils per a gaming. El proveïdor $A$ subministra el $45\%$ dels xips, el proveïdor $B$ el $35\%$, i la resta procedeixen del proveïdor $C$. Es sap per controls de qualitat previs que el $1\%$ dels xips de $A$ són defectuosos, mentre que per a $B$ i $C$ aquests percentatges són del $2\%$ i del $3\%$, respectivament. Un usuari compra un portàtil i, al cap d'un mes d'ús, pateix una fallida crítica a causa del microxip. Calcula la probabilitat que el xip defectuós hagi estat subministrat pel proveïdor $B$.

L'algorisme d'una xarxa social classifica el contingut en tres categories: "Viral" ($15\%$), "Tendència" ($35\%$) i "Estàndard" ($50\%$). La probabilitat que un usuari aturi el seu scroll i vegi un vídeo sencer és del $80\%$ si és Viral, del $40\%$ si és Tendència i de només el $10\%$ si és Estàndard. Si observem que un usuari acaba de veure un vídeo sencer, quina és la probabilitat que l'algorisme no l'hagués classificat originalment com a Viral?

Una fàbrica de peces de precisió utilitza una màquina de visió artificial per controlar la qualitat de la seva producció. Es sap que només el $0,5\%$ de les peces fabricades presenta algun defecte. La màquina detecta correctament el $96\%$ de les peces defectuoses, però també marca erròniament com a defectuosa el $2\%$ de les peces correctes. Si la màquina acaba de marcar una peça com a defectuosa, calcula la probabilitat que la peça estigui realment en perfecte estat.

Una empresa de missatgeria utilitza furgonetes elèctriques ($60\%$) i de combustió ($40\%$). S'ha observat que el $5\%$ dels trajectes realitzats per furgonetes elèctriques pateixen retards a causa de la necessitat de recàrrega intermèdia, mentre que el retard en les de combustió ocorre en el $8\%$ dels casos per problemes de trànsit. Sabent que un paquet ha arribat amb retard, determina la probabilitat que hagi estat transportat per una furgoneta elèctrica.

Tres canals de streaming ($N$, $H$ i $D$) es reparteixen el mercat de subscriptors en una ciutat en proporcions del $40\%$, $30\%$ i $30\%$, respectivament. La probabilitat que un subscriptor de $N$ cancel·li la seva subscripció aquest mes és del $0,05$; per a $H$ és del $0,08$ i per a $D$ és del $0,12$. Si triem a l'atzar un ciutadà que acaba de cancel·lar la seva subscripció a un d'aquests canals, quina és la probabilitat que fos client de $D$?

Un sistema de seguretat biomètrica utilitza reconeixement facial o empremta dactilar. El $70\%$ de les vegades s'utilitza la cara i el $30\%$ l'empremta. El sistema falla en identificar un usuari autoritzat el $2\%$ de les vegades amb la cara i el $1\%$ amb l'empremta. D'altra banda, permet l'accés a un intrús el $0,5\%$ de les vegades amb la cara i el $0,1\%$ amb l'empremta. Sabent que el sistema ha denegat l'accés a un usuari autoritzat, calcula la probabilitat que estigués intentant entrar mitjançant reconeixement facial.

En un estudi sobre hàbits de lectura en adolescents, es va dividir la mostra en tres grups segons el temps diari davant de pantalles: Baix ($20\%$), Mitjà ($50\%$) i Alt ($30\%$). La probabilitat que un jove del grup Baix llegeixi almenys un llibre al mes és de $0,7$; per al grup Mitjà és de $0,4$ i per al grup Alt és de $0,15$. Si seleccionem un adolescent a l'atzar i afirma no haver llegit cap llibre l'últim mes, calcula la probabilitat que pertanyi al grup de consum de pantalles "Alt".

Una factoria té dues màquines, $M_1$ i $M_2$, que produeixen la mateixa peça. $M_1$ produeix el triple de peces que $M_2$. El percentatge de peces defectuoses de $M_1$ és del $k\%$ i el de $M_2$ és del $4\%$. Es sap que si es tria una peça a l'atzar i resulta ser defectuosa, la probabilitat que procedeixi de la màquina $M_2$ és de $4/13$. Calcula el valor de $k$ i, a continuació, la probabilitat que una peça triada a l'atzar sigui defectuosa.

En una campanya de salut laboral s'aplica un test de cribratge per a la detecció precoç d'una alteració metabòlica asimptomàtica la prevalença de la qual en la població activa és de només el $0{,}5\,\%$. La sensibilitat de la prova (probabilitat de donar positiu estant afectat) és del $98\,\%$, mentre que la taxa de falsos positius (probabilitat de donar positiu no estant afectat) és del $2\,\%$. Una treballadora obté un resultat positiu en el test rutinari.

1. a) Calcula la probabilitat que la treballadora realment pateixi l'afecció resolent el problema a través de dos camins independents:

• Camí 1: Diagrama en arbre i formulació analítica del teorema de Bayes amb probabilitats condicionades.

• Camí 2: Taula de contingència basada en freqüències naturals, construïda a partir d'una població hipotètica de $10\,000$ treballadors representatius.

1. b) Compara ambdós mètodes i argumenta quin resulta més clarificador per explicar a un pacient no matemàtic per què un test amb un $98\,\%$ d'encert genera una probabilitat real d'estar malalt sorprenentment baixa. Relaciona el teu raonament amb el concepte de la 'fal·làcia de la freqüència base'.

La Direcció General de Trànsit (DGT) empra dispositius indiciaris en saliva per detectar el consum recent de substàncies incompatibles amb la conducció. Suposem un test que presenta una sensibilitat del $96\,\%$ (detecta el $96\,\%$ dels conductors que n'han consumit) i una taxa de falsos positius del $3\,\%$ (dona positiu en el $3\,\%$ dels conductors que no n'han consumit).

Considera dos escenaris operatius molt diferents:

• Escenari 1 (Control preventiu general a la carretera): la prevalença real de consum entre els conductors sotmesos a aquest control aleatori és de l'$1\,\%$.

• Escenari 2 (Control específic després d'una infracció greu o conducció temerària): la prevalença real de consum en aquest col·lectiu s'eleva al $20\,\%$.

1. a) Calcula, per a cadascun dels dos escenaris, la probabilitat que un conductor que ha donat un resultat positiu en el test de saliva hagi consumit realment la substància.
2. b) A partir dels resultats obtinguts, reflexiona i argumenta de manera crítica: per què el marc legal espanyol exigeix preceptivament contrastar el test indiciari amb una segona prova de laboratori toxicològic abans d'imposar sancions penals o de privació de drets, en lloc d'actuar amb el resultat del primer test? Com condiciona el tipus de control (aleatori enfront de dirigit) la probabilitat de condemnar injustament una persona innocent?

Repte del tema. Imagina que assessores un observatori d'ocupació. La teva missió és investigar la relació entre nivell formatiu i desocupació juvenil ($16$-$24$ anys) a la teva comunitat utilitzant dades reals de l'INE (EPA).

1. Recollida i taula: Descarrega de l'INE les dades de l'últim trimestre que creuin formació (estudis superiors o no) i situació laboral (ocupat o aturat). En un full de càlcul, elabora la taula de contingència amb les freqüències absolutes i relatives.

2. Esdeveniments i enfocaments: Defineix l'espai mostral i els esdeveniments elementals. Assigna probabilitats mitjançant la interpretació freqüentista i reflexiona sobre com diferiria respecte a la regla de Laplace o la probabilitat subjectiva. Mitjançant les propietats de la probabilitat, calcula unions i interseccions, i comprova analíticament si l'ocupació i els estudis superiors són esdeveniments dependents o independents ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$).

3. Arbre i Bayes: Construeix el diagrama d'arbre associat. Emprant la probabilitat condicionada, determina la probabilitat total d'ocupació i aplica el teorema de Bayes per trobar la probabilitat que un jove triat a l'atzar amb feina tingui titulació superior.

4. Producte final: Lliura un full de càlcul amb els càlculs i un informe executiu (1 pàgina) amb les teves conclusions.

Es valorarà:

• Precisió a la taula de contingència i a l'arbre amb dades de l'INE.

• Rigor en el càlcul de probabilitats, probabilitat total i Bayes.

• Justificació conceptual de la independència i els tipus de probabilitat.

• Qualitat analítica i claredat en les conclusions de l'informe.