Sucesos dependientes e independientes

Un estudiante de 1º de Bachillerato tiene dos exámenes el mismo día: Matemáticas e Inglés. La probabilidad de aprobar Matemáticas es $P(M) = 0,7$ y la de aprobar Inglés es $P(I) = 0,8$. Suponiendo que aprobar un examen no influye en el resultado del otro:

1. a) Calcula la probabilidad de aprobar ambos exámenes.
2. b) Calcula la probabilidad de no aprobar ninguno de los dos.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabemos que la probabilidad de que ocurra el suceso $A$ es $P(A) = 0,6$ y la probabilidad de que ocurra el suceso $B$ es $P(B) = 0,3$. Si se sabe que los sucesos son independientes, calcula la probabilidad de que ocurran los dos a la vez, es decir, $P(A \cap B)$.

Una urna contiene 5 bolas amarillas y 3 bolas lilas. Extraemos dos bolas de la urna de forma consecutiva y sin devolución.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este experimento, indicando la probabilidad de cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.

En una máquina de chicles hay bolas de tres colores: 10 rojas, 6 azules y 4 verdes. Un niño saca un chicle, anota su color, lo vuelve a introducir en la máquina y saca un segundo chicle.

1. a) Justifica si los sucesos "sacar bola roja en la primera" y "sacar bola azul en la segunda" son dependientes o independientes.
2. b) Calcula la probabilidad de que el primer chicle sea azul y el segundo sea verde.

Extraemos dos cartas de una baraja española de 40 cartas, una tras otra y sin devolver la primera a la baraja.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un Rey?
2. b) Sabiendo que la primera carta fue un Rey, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también sea un Rey?
3. c) ¿Son estos sucesos dependientes o independientes?

Dos componentes electrónicos de un dron, $A$ y $B$, funcionan de forma independiente. La probabilidad de que falle el componente $A$ es de $0,05$ y la probabilidad de que falle el componente $B$ es de $0,08$.

1. a) Calcula la probabilidad de que el dron pueda seguir volando si para ello es necesario que al menos uno de los dos componentes funcione correctamente.

1. b) Calcula la probabilidad de que falle exactamente uno de los dos componentes.

En un popular videojuego de estrategia, los jugadores abren "cofres legendarios" para obtener recompensas. La probabilidad de obtener un héroe de nivel S en el primer cofre es de solo $0,05$. Sin embargo, el juego tiene un sistema de "suerte acumulada": si no obtienes el héroe en un cofre, la probabilidad de obtenerlo en el siguiente aumenta en $0,02$ respecto a la probabilidad del cofre anterior. Si obtienes el héroe, la probabilidad vuelve a ser $0,05$ para el siguiente intento.

Calcula la probabilidad de que un jugador necesite abrir exactamente tres cofres para obtener su primer héroe de nivel S.