Exercicis: Diagrames d'arbre

En un prestatge d'una habitació juvenil hi ha dues caixes de sabatilles. La Caixa A conté $3$ parells de sabatilles blanques i $2$ parells de sabatilles negres. La Caixa B conté $2$ parells de blanques i $4$ parells de negres. Un estudiant tria una caixa a l'atzar (amb la mateixa probabilitat) i, sense mirar, extreu un parell de sabatilles.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre que representi aquesta situació, indicant les probabilitats a cada branca.

1. b) Calcula la probabilitat que les sabatilles triades siguin de color blanc.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un creador de contingut de TikTok observa que el $70 \%$ dels seus vídeos són d'humor i el $30 \%$ són de reptes (challenges). La probabilitat que un vídeo d'humor es torni viral és de $0,1$, mentre que per als vídeos de reptes aquesta probabilitat puja a $0,4$.

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre.

1. b) Si triem un vídeo a l'atzar del seu perfil, quina és la probabilitat que sigui un vídeo viral?

En un torneig d'e-sports, un jugador ha de superar dues fases. A la Fase 1, la probabilitat d'èxit és de $0,8$. Si supera la primera, passa a la Fase 2, on la probabilitat d'èxit és de $0,6$. Si no supera la primera fase, queda eliminat directament.

1. a) Elabora el diagrama d'arbre corresponent.

1. b) Calcula la probabilitat que el jugador meitat/completi amb èxit les dues fases del torneig.

Un estudiant de 2n de Batxillerat ha preparat el $60 \%$ dels temes d'un examen de Geografia. L'examen consisteix a extreure un tema a l'atzar d'una bossa. Si el tema extret és un dels que ha estudiat, la probabilitat d'aprovar és de $0,9$. Si el tema és un dels que no ha estudiat, la probabilitat d'aprovar cau a $0,2$.

1. a) Fes un diagrama d'arbre amb les dades del problema, indicant la probabilitat a cada branca.

1. b) Quina és la probabilitat total que l'alumne aprovi l'examen?

En una plataforma de streaming de música, el $40 \%$ dels usuaris té un compte "Premium" i el $60 \%$ un compte "Gratuït". Se sap que el $80 \%$ dels usuaris Premium escolten música diàriament, mentre que només el $30 \%$ dels usuaris amb compte gratuït ho fan. Triat un usuari a l'atzar:

1. a) Calcula la probabilitat que escolti música diàriament.

1. b) Si sabem que l'usuari triat és Premium, quina és la probabilitat que no escolti música diàriament?

Per anar a l'institut, un adolescent utilitza l'autobús el $80 \%$ dels dies i la resta hi va caminant. Quan va en autobús, arriba tard el $5 \%$ de les vegades. Tanmateix, quan va caminant, arriba tard el $15 \%$ de les vegades perquè es distreu pel camí.

1. a) Construeix el diagrama d'arbre.

1. b) Calcula la probabilitat que un dia qualsevol arribi puntual a l'institut.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una urna tenim $4$ boles vermelles i $6$ boles blaves. Extraiem dues boles de manera successiva sense devolució (sense tornar a ficar la primera bola a la urna).

1. a) Representa el procés mitjançant un diagrama d'arbre indicant les probabilitats a cada branca. Tingues en compte que la composició de la urna canvia després de la primera extracció.

1. b) Quina és la probabilitat que les dues boles extretes siguin del mateix color?

Una botiga de roba esportiva rep dessuadores de dues fàbriques. La Fàbrica 1 aporta el $60 \%$ de les existències i la Fàbrica 2 el $40 \%$ restant. El $2 \%$ de les dessuadores de la Fàbrica 1 tenen algun defecte de costura, mentre que a la Fàbrica 2 el percentatge de defectes és del $5 \%$.

1. a) Representa la situació amb un arbre de probabilitats (dibuixa'l tu: primer la fàbrica de procedència i després si la dessuadora té defecte o no, indicant la probabilitat de cada branca).

1. b) Calcula la probabilitat que una dessuadora triada a l'atzar no tingui cap defecte.

Lucía està resolent un problema sobre les proves pràctiques per obtenir el carnet de conduir en una autoescola. El $60\,\%$ dels aspirants aprova en la primera convocatòria. D'aquells que suspenen la primera vegada, el $70\,\%$ aconsegueix aprovar en la segona convocatòria. Lucía vol calcular la probabilitat que una persona triada a l'atzar aprovi el carnet en alguna de les dues primeres convocatòries.

En la seva llibreta escriu el següent:

«Construeixo l'arbre: en la primera etapa tinc les branques Aprovar ($0,6$) i Suspendre ($0,4$). De la branca de Suspendre trec dues noves branques: Aprovar en 2a ($0,7$) i Suspendre en 2a ($0,3$). Per tant, la probabilitat d'aprovar en alguna de les dues convocatòries és la suma d'aprovar en la primera o en la segona: $0,6 + 0,7 = 1,3$. Com que em dóna més d'$1$, l'enunciat ha d'estar mal redactat perquè una probabilitat no pot ser més gran que $1$».

1. a) Localitza l'error conceptual que comet Lucía en operar amb les branques de l'arbre i explica per què el seu raonament de sumar directament $0,6$ i $0,7$ és incorrecte.
2. b) Dibuixa el diagrama d'arbre correcte detallant els successos en cada nivell i les probabilitats (marginals i condicionades) de cada branca.
3. c) Corregeix el càlcul i troba la probabilitat real que un aspirant aprovi el carnet en alguna de les dues primeres convocatòries.

En una almàssera de Jaén, l'oliva rebuda es classifica segons el mètode de recol·lecció: batuda tradicional ($40\,\%$) o vibració mecànica ($60\,\%$). A causa dels cops durant la collita, el $10\,\%$ de l'oliva recollida per batuda perd la qualitat òptima per produir oli «Verge Extra», mentre que en la recol·lecció mecànica aquest percentatge ascendeix al $25\,\%$. Es vol calcular la probabilitat que una mostra aleatòria d'oliva sigui apta per a oli «Verge Extra».

Per resoldre aquest problema, dos companys de classe proposen estratègies diferents:

• Sergio afirma: «És més còmode inventar-se un total de $1.000$ kg d'oliva i construir una taula de contingència amb els quilos de cada tipus».

• Alba sosté: «És molt més directe i rigorós plantejar un diagrama d'arbre de dues etapes, perquè les dades de l'enunciat ja són probabilitats condicionades seqüencials».

1. a) Compara els dos plantejaments: quin dels dos mètodes representa de manera més natural l'estructura de la informació donada a l'enunciat i per què?
2. b) Resol el problema aplicant el diagrama d'arbre: calcula la probabilitat que una mostra seleccionada a l'atzar proporcioni oli «Verge Extra».
3. c) Justifica si el mètode de la taula proposat per Sergio hauria arribat exactament al mateix resultat numèric i reflexiona sobre quin inconvenient metodològic pot tenir inventar un total hipotètic d'individus enfront de l'ús de l'arbre.

Un popular streamer de videojocs emet contingut en tres plataformes diferents: Twitch, YouTube i TikTok Live. Segons les seves estadístiques, el $45\,\%$ dels seus seguidors veuen els seus directes a Twitch, el $35\,\%$ a YouTube i el $20\,\%$ restant a TikTok. Se sap que el percentatge de seguidors que interactuen al xat és del $12\,\%$ a Twitch, del $8\,\%$ a YouTube i del $25\,\%$ a TikTok.

Si triem un seguidor a l'atzar d'aquest streamer:

1. a) Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre.

1. b) Calcula la probabilitat que el seguidor triat interactuï al xat.

1. c) Si sabem que el seguidor triat no interactua al xat, quina és la probabilitat que sigui un seguidor de YouTube?

Una aplicació de salut utilitza un sensor intel·ligent per detectar si un usuari està realitzant exercici aeròbic intens. El sensor és capaç de detectar correctament l'activitat el $98\,\%$ de les vegades. Tanmateix, quan l'usuari està en repòs o caminant a poc a poc, el sensor dóna un "fals positiu" (indica erròniament que fa exercici intens) en el $3\,\%$ dels casos. Segons les dades de la comunitat d'usuaris, s'estima que passen el $15\,\%$ del temps realitzant activitat intensa.

1. a) Quina és la probabilitat que, en un moment triat a l'atzar, l'aplicació indiqui que l'usuari està realitzant exercici intens?

1. b) Si l'aplicació indica que l'usuari està realitzant exercici intens, calcula la probabilitat que realment estigui en repòs o caminant a poc a poc.

En un torneig d'E-sports, un jugador ha d'escollir entre dos personatges: "Guerrer" o "Mag". La probabilitat d'escollir el Guerrer és del $60\,\%$. Si escull el Guerrer, té una probabilitat de guanyar la partida de $0,7$. Si escull el Mag, la seva probabilitat de victòria augmenta a $0,85$.

1. a) Construeix el diagrama d'arbre associat a l'experiment, indicant a cada branca la seva probabilitat.

1. b) Calcula la probabilitat que el jugador guanyi la partida.

1. c) Si el jugador ha perdut la partida, quina és la probabilitat que hagués escollit el Guerrer?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una botiga de roba en línia envia les seves comandes a través de dues empreses de logística, A i B. El $70\,\%$ de les comandes s'envien amb l'empresa A i la resta amb l'empresa B. S'ha observat que el $5\,\%$ de les comandes de l'empresa A arriben amb retard, mentre que a l'empresa B el retard afecta el $10\,\%$ dels paquets.

1. a) Calcula la probabilitat que una comanda arribi a temps.

1. b) Si un client rep la seva comanda amb retard, quina és la probabilitat que hagi estat transportada per l'empresa A?

En una urna digital d'un joc d'atzar hi ha 10 esferes: 6 blaves i 4 blanques. L'experiment consisteix a extreure dues esferes de forma successiva i sense reemplaçament.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre detallant les probabilitats a cada branca.

1. b) Calcula la probabilitat que les dues esferes siguin del mateix color.

1. c) Calcula la probabilitat que la primera esfera sigui blava sabent que la segona ha estat blanca.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un estudiant de 2n de Batxillerat ha preparat 18 dels 25 temes d'un examen d'Història. L'examen consisteix a triar un tema d'entre dos extrets a l'atzar pel professor.

1. a) Quina és la probabilitat que l'alumne sàpiga els dos temes extrets?

1. b) Quina és la probabilitat que l'alumne aprovi l'examen (és a dir, que sàpiga almenys un dels dos temes)?

1. c) Si l'alumne ha aprovat l'examen, quina és la probabilitat que sabés només un dels dos temes extrets?

En un institut, el $40\,\%$ dels alumnes són de Ciències i el $60\,\%$ de Ciències Socials. El $75\,\%$ dels alumnes de Ciències utilitza el transport escolar, mentre que només el $30\,\%$ dels de Ciències Socials ho fa.

1. a) Si triem un alumne a l'atzar, quina és la probabilitat que no utilitzi el transport escolar?

1. b) Si seleccionem un alumne que utilitza el transport escolar, quina és la probabilitat que sigui de Ciències Socials?

Una fàbrica d'auriculars sense fils produeix dos models: "Basic" i "Pro". El $65\,\%$ de la producció correspon al model Basic. El control de qualitat detecta que el $2\,\%$ dels auriculars Basic són defectuosos, mentre que per al model Pro el percentatge d'unitats defectuoses és del $1\,\%$.

1. a) Calcula la probabilitat que un auricular triat a l'atzar sigui defectuós.

1. b) Si un auricular és defectuós, quin model és més probable que sigui? Justifica la teva resposta calculant les probabilitats a posteriori.

En el centre de classificació d'una empresa de comerç electrònic a Madrid, el $90\,\%$ dels paquets s'embala mitjançant una línia robotitzada d'alta velocitat i el $10\,\%$ restant a través d'una línia manual per a articles de formes irregulars. La línia robotitzada comet una fallada en el precintatge en el $2\,\%$ dels enviaments, mentre que la línia manual té una taxa de fallada en el precintatge del $18\,\%$.

Abans de sortir a repartiment, un sensor detecta un paquet que presenta un defecte en el precintatge.

1. a) Estima i raona abans de calcular: A simple vista, creus que és més probable que aquest paquet defectuós procedeixi de la línia robotitzada o de la línia manual? Justifica la teva intuïció sospesant dos factors contraposats: la gran diferència en el volum de paquets que processa cada línia enfront de la diferència en les seves taxes d'error.
2. b) Dibuixa el diagrama d'arbre complet que modeli la situació, indicant clarament la partició del primer nivell i les probabilitats condicionades del segon nivell.
3. c) Calcula la probabilitat total que un paquet triat a l'atzar al centre presenti un precintament defectuós.
4. d) Comprova formalment la teva estimació: calcula la probabilitat que el paquet defectuós provingui de la línia robotitzada. Compara el resultat numèric exacte amb el que havies respost a l'apartat a) i explica quin biaix sol portar a equivocar-se en aquest tipus de situacions.

Segons dades del Ministeri d'Educació i Formació Professional sobre les proves d'accés a la universitat (EvAU) en una comunitat autònoma, el $60\,\%$ de l'alumnat matriculat procedeix de la modalitat de Ciències i Tecnologia, i el $40\,\%$ de la modalitat d'Humanitats i Ciències Socials. En la convocatòria ordinària, el $95\,\%$ dels estudiants de Ciències supera la fase general obligatòria, mentre que a Humanitats i Ciències Socials la supera el $90\,\%$.

D'entre els qui superen la fase general, el $35\,\%$ de l'alumnat de Ciències i el $20\,\%$ del d'Humanitats i Ciències Socials aconsegueixen una qualificació definitiva superior a $10$ punts (sobre $14$) gràcies a les matèries ponderades de la fase voluntària.

1. a) Modela la trajectòria acadèmica d'un estudiant triat a l'atzar mitjançant un diagrama d'arbre de tres nivells: modalitat de Batxillerat, superació de la fase general i consecució d'una nota final superior a $10$ punts. Anota a cada branca la seva probabilitat corresponent en notació decimal.
2. b) Calcula la probabilitat que un estudiant triat a l'atzar d'aquesta comunitat superi la fase general i a més obtingui una nota superior a $10$ punts.
3. c) Identifica el camí de l'arbre que descriu un estudiant d'Humanitats i Ciències Socials que aprova la fase general però no supera els $10$ punts. Calcula la seva probabilitat i interpreta quin percentatge del total d'estudiants de Batxillerat representa aquest perfil concret.

En una plataforma d'e-sports, els jugadors es classifiquen segons el seu rang en: Bronze (50 %), Plata (30 %) i Or (20 %). S'ha observat que la probabilitat que un jugador faci trampes (programari prohibit) depèn del seu rang: a Bronze és del 2 %, a Plata és del 5 % i a Or és del 10 %. El sistema de seguretat FairPlay detecta correctament el trampós el 98 % de les vegades, però dóna un "fals positiu" (acusa un jugador net) en el 1 % dels casos.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre que representi la situació d'un jugador triat a l'atzar que passa pel control de seguretat.
2. b) Calcula la probabilitat que el sistema FairPlay emeti una alerta de "jugador trampós".
3. c) Si el sistema ha emès una alerta, quina és la probabilitat que el jugador sigui realment innocent i de rang Or?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de missatgeria utilitza tres rutes per lliurar paquets en una ciutat difícil. La ruta A (utilitzada el 40 % de les vegades) té una probabilitat de retard del 15 %. La ruta B (utilitzada el 35 %) té un retard del 10 %. La ruta C s'utilitza la resta de vegades i té un retard del 20 %. Si un paquet arriba amb retard, se li aplica un protocol d'auditoria. Aquest protocol falla i no detecta el motiu real del retard en el 5 % dels casos de la ruta A, en el 8 % de la ruta B i en el 12 % de la ruta C.

1. a) Representa mitjançant un diagrama d'arbre la probabilitat que un paquet triat a l'atzar pateixi un retard i la seva auditoria sigui fallida.
2. b) Calcula la probabilitat que un paquet seleccionat a l'atzar tingui una auditoria fallida per causa d'un retard.
3. c) Sabent que l'auditoria ha estat fallida, quina és la probabilitat que el paquet no hagués viatjat per la ruta A?

Es disposa de tres urnes amb la composició de boles de colors següent:

• Urna $U_1$: 5 blanques, 3 negres i 2 vermelles.

• Urna $U_2$: 4 blanques i 6 negres.

• Urna $U_3$: 2 blanques, 5 negres i 3 vermelles.

L'experiment consisteix a llançar un dau equilibrat. Si surt un nombre primer, s'extreu una bola de $U_1$. Si surt un nombre compost, s'extreu una bola de $U_2$. En qualsevol altre cas, s'extreu de $U_3$. Després de l'extracció, la bola s'introdueix a l'urna de la qual no va ser extreta que tingui més boles blanques en aquell moment (en cas d'empat, s'elegeix $U_3$). Finalment, s'extreu una segona bola d'aquesta última urna.

1. a) Construeix el diagrama d'arbre detallat de les dues extraccions.
2. b) Quina és la probabilitat que la segona bola extreta sigui vermella?
3. c) Si la segona bola ha estat vermella, quina és la probabilitat que la primera hagués estat blanca?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un estudi sobre hàbits de son entre adolescents revela que el 25 % dorm menys de 6 hores, el 60 % dorm entre 6 i 8 hores, i la resta dorm més de 8 hores. La probabilitat de tenir falta de concentració a la primera classe del matí és de 0,8 per al primer grup, 0,3 per al segon i 0,1 per al tercer. A més, si un alumne té falta de concentració, la probabilitat que oblidi lliurar la seva tasca és de 0,7, mentre que si està concentrat aquesta probabilitat baixa a 0,05.

1. a) Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar oblidi lliurar la seva tasca.
2. b) Si un alumne ha lliurat la seva tasca correctament, quina és la probabilitat que pertanyi al grup que dorm més de 8 hores?

En una fàbrica d'aerogeneradors, l'1 % de les pales presenta microfissures estructurals. S'utilitza un sistema d'escaneig per ultrasons que detecta la fissura amb una probabilitat de 0,99. Tanmateix, l'escàner té una probabilitat de 0,03 d'indicar que hi ha una fissura quan la pala està sana. Per assegurar el control, si l'escàner indica "fissura", es realitza una segona prova manual independent que detecta la fissura real amb probabilitat 0,95 i té un marge d'error de l'1 % en pales sanes.

1. a) Calcula la probabilitat que una pala passi per totes dues proves i sigui declarada "defectuosa".
2. b) Si una pala ha estat declarada "defectuosa" després de les dues proves, quina és la probabilitat que realment no tingui cap microfissura?

Tres amics, l'Hugo, la Silvia i la Clara, juguen a un joc d'estratègia per torns. La probabilitat que guanyi l'Hugo és $P(H) = 0,2$, la de la Silvia és $P(S) = 0,5$ i la de la Clara és $P(C) = 0,3$. Després de guanyar una partida, la probabilitat que el mateix jugador guanyi la següent augmenta un 20 % respecte a la seva probabilitat inicial (restant aquesta diferència proporcionalment als altres dos jugadors).

1. a) Si la Silvia guanya la primera partida, Construeix l'arbre de probabilitats per a la segona partida.
2. b) Calcula la probabilitat que la Silvia guanyi les dues primeres partides.
3. c) Si sabem que la Silvia ha guanyat la segona partida, quina és la probabilitat que la Clara hagués guanyat la primera?

Es té una caixa amb 10 telèfons mòbils intel·ligents, dels quals 3 tenen la pantalla defectuosa. S'extreuen dos telèfons a l'atzar, l'un rere l'altre i sense reemplaçament.

• Si el primer extret és defectuós, es llança una moneda trucada on la probabilitat de cara és 0,7. Si surt cara, s'extreu un tercer telèfon de la caixa.

• Si el primer extret no és defectuós, es llança un dau equilibrat. Si surt un nombre més gran que 4, s'extreu un tercer telèfon.

1. a) Calcula la probabilitat que el nombre total de telèfons defectuosos extrets sigui exactament 2.
2. b) Sabent que al final de l'experiment s'han extret exactament 2 telèfons defectuosos, quina és la probabilitat que el primer telèfon extret fos correcte?

Una empresa tecnològica produeix processadors en tres plantes: P1 (en produeix el 50 %), P2 (30 %) i P3 (20 %). El percentatge de processadors que superen la velocitat de 4 GHz és de l'80 % a P1, 70 % a P2 i 60 % a P3. Els processadors que no superen aquesta velocitat es sotmeten a un procés d'optimització que aconsegueix que el 40 % d'ells finalment sí que la superin.

1. a) Utilitzant un diagrama d'arbre, calcula la probabilitat que un processador triat a l'atzar de la producció total superi finalment els 4 GHz.
2. b) Si un processador no supera els 4 GHz després de tot el procés, quina és la probabilitat que procedeixi de la planta P1 o de la P2?

En una planta de tractament i reciclatge de residus tecnològics, els circuits integrats es desvien de manera automatitzada cap a dues línies de garbellament: la línia $A$ i la línia $B$. La proporció de components que es deriva a la línia $A$ és un valor desconegut $p$ (amb $0 < p < 1$), derivant-se la resta ($1 - p$) a la línia $B$.

Els registres tècnics demostren que un component processat a la línia $A$ resulta reutilitzable directament amb una probabilitat de $0,75$. En canvi, a la línia $B$, la probabilitat de reutilització directa és de només $0,35$.

Tots els components que no són reutilitzables directament passen a una segona fase de refinament químic per extreure metalls preciosos: a la línia $A$, el $20\,\%$ dels no reutilitzables permet recuperar metalls preciosos, mentre que a la línia $B$ s'aconsegueix recuperar metalls preciosos en el $40\,\%$ dels no reutilitzables.

1. a) Dibuixa el diagrama d'arbre complet que representi les etapes del procés, deixant les probabilitats de les primeres branques en funció del paràmetre $p$.
2. b) Obtén l'expressió algebraica simplificada, en funció de $p$, que representi la probabilitat que un circuit integrat triat a l'atzar acabi proporcionant metalls preciosos després de fallar la reutilització directa.
3. c) Sabent que al final de la jornada exactament el $13\,\%$ del total de components rebuts a la planta acaba aportant metalls preciosos mitjançant el refinament químic, planteja una equació i dedueix el valor original de la proporció $p$.
4. d) Justifica analíticament si seria possible, modificant únicament la distribució inicial d'entrada $p$, aconseguir que el percentatge global de components que aporten metalls preciosos sigui igual al $30\,\%$.

Un laboratori de control de qualitat farmacèutic ha de validar un lot reduït de $15$ unitats d'un reactiu biològic. Se sap amb certesa que al lot hi ha exactament $3$ unitats defectuoses i $12$ de correctes. A causa del cost del procediment, s'aplica una inspecció seqüencial destructiva (les unitats analitzades queden inutilitzades i, per tant, s'extreuen sense reemplaçament), regida pel protocol següent:

• S'extreu una primera unitat a l'atzar: si resulta defectuosa, el lot se suspèn i s'atura immediatament el procés.

• Si la primera unitat és correcta, s'extreu una segona unitat. Si aquesta segona és defectuosa, s'extreu obligatòriament una tercera unitat per desempatar; en canvi, si la segona resulta correcta, el lot es declara apte i el procés finalitza immediatament.

• Si s'ha hagut d'arribar a la tercera extracció, el lot es declara apte si aquesta tercera unitat és correcta, i se suspèn definitivament si és defectuosa.

1. a) Modela tot el protocol mitjançant un diagrama d'arbre. Tingues present que les branques tenen diferent longitud (arbre truncat segons el resultat) i que la composició del lot varia després de cada extracció. Expressa les probabilitats de cada branca com a fraccions irreductibles.
2. b) Justifica de manera raonada per què en aquest experiment seria un error greu calcular les probabilitats de les branques assumint independència entre les etapes successives.
3. c) Calcula la probabilitat total que el lot acabi sent declarat apte.
4. d) Imagina que la prova no fos destructiva i les extraccions es realitzessin amb reemplaçament (retornant cada unitat després d'examinar-la). Raona, sense necessitat de calcular tots els decimals, si la probabilitat de declarar el lot apte en exactament dues extraccions seria més gran, més petita o igual que en el cas sense reemplaçament.