Diagramas de árbol

En una estantería de una habitación juvenil hay dos cajas de zapatillas. La Caja A contiene $3$ pares de zapatillas blancas y $2$ pares de zapatillas negras. La Caja B contiene $2$ pares de blancas y $4$ pares de negras. Un estudiante elige una caja al azar (con la misma probabilidad) y, sin mirar, extrae un par de zapatillas.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que represente esta situación, indicando las probabilidades en cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que las zapatillas elegidas sean de color blanco.

En un torneo de e-sports, un jugador tiene que superar dos fases. En la Fase 1, la probabilidad de éxito es de $0,8$. Si supera la primera, pasa a la Fase 2, donde la probabilidad de éxito es de $0,6$. Si no supera la primera fase, queda eliminado directamente.

1. a) Elabora el diagrama de árbol correspondiente.

1. b) Calcula la probabilidad de que el jugador complete con éxito las dos fases del torneo.

En una plataforma de streaming de música, el $40 \%$ de los usuarios tiene una cuenta "Premium" y el $60 \%$ una cuenta "Gratuita". Se sabe que el $80 \%$ de los usuarios Premium escuchan música a diario, mientras que solo el $30 \%$ de los usuarios con cuenta gratuita lo hacen. Elegido un usuario al azar:

1. a) Calcula la probabilidad de que escuche música a diario.

1. b) Si sabemos que el usuario elegido es Premium, ¿cuál es la probabilidad de que no escuche música a diario?

Un popular streamer de videojuegos emite contenido en tres plataformas distintas: Twitch, YouTube y TikTok Live. Según sus estadísticas, el $45\,\%$ de sus seguidores ven sus directos en Twitch, el $35\,\%$ en YouTube y el $20\,\%$ restante en TikTok. Se sabe que el porcentaje de seguidores que interactúan en el chat es del $12\,\%$ en Twitch, del $8\,\%$ en YouTube y del $25\,\%$ en TikTok.

Si elegimos un seguidor al azar de este streamer:

1. a) Representa la situación mediante un diagrama de árbol.

1. b) Calcula la probabilidad de que el seguidor elegido interactúe en el chat.

1. c) Si sabemos que el seguidor elegido no interactúa en el chat, ¿cuál es la probabilidad de que sea un seguidor de YouTube?

En un torneo de E-sports, un jugador debe elegir entre dos personajes: "Guerrero" o "Mago". La probabilidad de elegir al Guerrero es del $60\,\%$. Si elige al Guerrero, tiene una probabilidad de ganar la partida de $0,7$. Si elige al Mago, su probabilidad de victoria aumenta a $0,85$.

1. a) Construye el diagrama de árbol asociado al experimento.

1. b) Calcula la probabilidad de que el jugador gane la partida.

1. c) Si el jugador ha perdido la partida, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera elegido al Guerrero?

En una urna tenemos $4$ bolas rojas y $6$ bolas azules. Extraemos dos bolas de forma sucesiva sin devolución (sin volver a meter la primera bola en la urna).

1. a) Representa el proceso mediante un diagrama de árbol indicando las probabilidades en cada rama. Ten en cuenta que la composición de la urna cambia tras la primera extracción.

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color?

En una urna digital de un juego de azar hay 10 esferas: 6 azules y 4 blancas. El experimento consiste en extraer dos esferas de forma sucesiva y sin reemplazamiento.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol detallando las probabilidades en cada rama.

1. b) Calcula la probabilidad de que las dos esferas sean del mismo color.

1. c) Calcula la probabilidad de que la primera esfera sea azul sabiendo que la segunda ha sido blanca.

Un estudiante de 2º de Bachillerato ha preparado 18 de los 25 temas de un examen de Historia. El examen consiste en elegir al azar un tema de entre dos extraídos por el profesor.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno sepa los dos temas extraídos?

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe el examen (es decir, que sepa al menos uno de los dos temas)?

1. c) Si el alumno ha aprobado el examen, ¿cuál es la probabilidad de que supiera solo uno de los dos temas extraídos?

Una tienda de ropa online envía sus pedidos a través de dos empresas de logística, A y B. El $70\,\%$ de los pedidos se envían con la empresa A y el resto con la empresa B. Se ha observado que el $5\,\%$ de los pedidos de la empresa A llegan con retraso, mientras que en la empresa B el retraso afecta al $10\,\%$ de los paquetes.

1. a) Calcula la probabilidad de que un pedido llegue a tiempo.

1. b) Si un cliente recibe su pedido con retraso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido transportado por la empresa A?

Una empresa de mensajería utiliza tres rutas para entregar paquetes en una ciudad difícil. La ruta A (usada el 40 % de las veces) tiene una probabilidad de retraso del 15 %. La ruta B (usada el 35 %) tiene un retraso del 10 %. La ruta C se usa el resto de las veces y tiene un retraso del 20 %. Si un paquete llega con retraso, se le aplica un protocolo de auditoría. Este protocolo falla y no detecta el motivo real del retraso en el 5 % de los casos de la ruta A, en el 8 % de la ruta B y en el 12 % de la ruta C.

1. a) Representa mediante un diagrama de árbol la probabilidad de que un paquete elegido al azar sufra un retraso y su auditoría sea fallida.
2. b) Calcula la probabilidad de que un paquete seleccionado al azar tenga una auditoría fallida por causa de un retraso.
3. c) Sabiendo que la auditoría ha sido fallida, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete no hubiera viajado por la ruta A?

Una empresa tecnológica produce procesadores en tres plantas: P1 (produce el 50 %), P2 (30 %) y P3 (20 %). El porcentaje de procesadores que superan la velocidad de 4GHz es del 80 % en P1, 70 % en P2 y 60 % en P3. Los procesadores que no superan esa velocidad se someten a un proceso de optimización que logra que el 40 % de ellos finalmente sí la superen.

1. a) Utilizando un diagrama de árbol, calcula la probabilidad de que un procesador elegido al azar de la producción total supere finalmente los 4GHz.
2. b) Si un procesador no supera los 4GHz tras todo el proceso, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la planta P1 o de la P2?