Exercicis: Problemes d'optimització amb programació lineal

L'obrador del menjador escolar prepara pans de pessic ($x$) i magdalenes ($y$) per a la setmana cultural, amb les dades que es resumeixen a la figura.

Disposa de $40$ ous i de $25$ motlles per enfornar: cada pa de pessic utilitza $2$ ous i cada magdalena, $1$, i cada peça necessita un motlle. El benefici és de $1\ \text{€}$ per pa de pessic i de $0,75\ \text{€}$ per magdalena (treballa amb la funció objectiu en cèntims d'euro, $F(x, y) = 100x + 75y$).

• a) Planteja el sistema de restriccions.

• b) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• c) Determina quantes peces de cada tipus maximitzen el benefici i calcula aquest benefici.

Una escola de dansa obre dos nivells nous: iniciació ($x$ grups) i avançat ($y$ grups). Només disposa de $8$ franges horàries setmanals, i cada grup d'iniciació té $14$ alumnes i cada grup avançat, $10$, amb un màxim de $100$ alumnes en total. La quota mensual és de $50\ \text{€}$ en iniciació i de $40\ \text{€}$ en avançat.

• a) Planteja les restriccions.

• b) Determina quants grups de cada nivell maximitzen els ingressos mensuals i calcula l'ingrés màxim.

En un hort urbà compartit es plantaran tomateres ($x$) i enciams ($y$), amb les dades que es resumeixen a la figura.

Cada tomatera ocupa $1\ \text{m}^2$ i cada enciam, $0,5\ \text{m}^2$, i n'hi ha $12\ \text{m}^2$ disponibles (escriu la restricció com a $2x + y \leq 24$). El reg setmanal és de $3$ litres per tomatera i $1$ litre per enciam, amb un màxim de $30$ litres. S'estima un valor de collita de $5\ \text{€}$ per tomatera i de $2\ \text{€}$ per enciam.

• a) Planteja el sistema de restriccions.

• b) Calcula els vèrtexs de la regió factible.

• c) Troba la plantació que maximitza el valor de la collita.

L'organització d'un festival de música de barri encarrega samarretes ($x$) i bosses de roba ($y$) per vendre al mercat. El pressupost és de $600\ \text{€}$: cada samarreta costa $8\ \text{€}$ i cada bossa, $3\ \text{€}$. El proveïdor no pot servir més de $150$ unitats en total. En la venda es guanyen $5\ \text{€}$ per samarreta i $3\ \text{€}$ per bossa.

• a) Planteja les restriccions.

• b) Determina la comanda que maximitza el guany i calcula aquest guany.

Un obrador artesà elabora empanades de tonyina ($x$) i empanades vegetals ($y$), les dades de producció de les quals es resumeixen a la figura.

Les restriccions són la massa disponible, $2x + 3y \leq 60$, i les bandeixes de forn, $x + y \leq 25$. El benefici és de $3\ \text{€}$ per empanada de tonyina i de $4\ \text{€}$ per empanada vegetal.

• a) Escriu el sistema de restriccions complet.

• b) Representa la regió factible i troba els seus vèrtexs.

• c) Calcula la producció que maximitza el benefici i interpreta el resultat.

Una protectora d'animals prepara sacs de pinso barrejant dos ingredients, A ($x$ kg) i B ($y$ kg). Cada sac ha de contenir com a mínim $30$ unitats de proteïna (l'ingredient A n'aporta $3$ per kg i el B, $2$ per kg) i com a mínim $12$ unitats de fibra (cada kg de qualsevol dels dos n'aporta $1$). L'ingredient A costa $2\ \text{€}$ per kg i el B, $1,5\ \text{€}$ per kg.

• a) Planteja les restriccions (utilitza $F(x, y) = 4x + 3y$ com a cost en mitjos euros).

• b) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• c) Determina la composició del sac de cost mínim.

Cert o fals, raonant la resposta: «En un problema de programació lineal amb solució òptima única $(12, 8)$, aquest punt és necessàriament un vèrtex de la regió factible».

Un col·legi organitza l'excursió de fi de curs i contracta furgonetes de $9$ places ($x$) i minibusos de $18$ places ($y$). S'han de transportar com a mínim $180$ alumnes i l'empresa només disposa de $14$ vehicles en total. Cada furgoneta costa $60\ \text{€}$ i cada minibus, $150\ \text{€}$.

• a) Planteja el sistema de restriccions.

• b) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• c) Determina quants vehicles de cada tipus minimitzen el cost i calcula aquest cost mínim.

Marcos gestiona una petita empresa de càtering a Toledo i ha de preparar dos tipus de bandejas per a un esdeveniment: Bàsica ($x$) i Gourmet ($y$). Cada safata Bàsica requereix $20$ minuts de preparació i reporta un benefici de $8\ \text{€}$. Cada safata Gourmet requereix $40$ minuts de preparació i reporta un benefici de $14\ \text{€}$. Es disposa d'un màxim de $12$ hores de feina ($720$ minuts). A més, el contracte exigeix que el nombre de safates Gourmet preparades sigui almenys el doble que el de safates Bàsiques.

Marcos planteja el model següent:

Amb aquestes inequacions obté els vèrtexs $(0,0)$, $(36,0)$ i $(24,12)$, i conclou que el benefici màxim s'aconsegueix elaborant únicament $36$ safates Bàsiques i cap de Gourmet, obtenint $288\ \text{€}$.

1. a) Localitza i explica l'error conceptual que ha comès Marcos en traduir les condicions de l'enunciat al llenguatge algebraic.
2. b) Corregeix el sistema d'inequacions, representa de manera aproximada la veritable regió factible i determina les coordenades dels seus vèrtexs.
3. c) Calcula la solució òptima real avaluant la funció objectiu i compara el benefici obtingut amb la conclusió errònia de Marcos.

Una almàssera cooperativa de Jaén envasa oli d'oliva verge extra en dos formats: garrafes de $2$ litres ($x$) i garrafes de $5$ litres ($y$). En la jornada d'avui disposa d'una quota de $600$ litres d'oli i d'un màxim de $180$ envasos buits en total al magatzem. El marge de benefici comercial és de $4\ \text{€}$ per cada garrafa de $2$ litres i de $9\ \text{€}$ per cada garrafa de $5$ litres.

1. a) Abans de calcular res, fes una estimació raonada: l'envàs petit deixa un marge de $4/2 = 2\ \text{€}$ per litre envasat, mentre que el gran deixa $9/5 = 1,80\ \text{€}$ per litre. A primera vista, creus que convindrà esgotar tots els litres fabricant exclusivament garrafes de $2$ litres per maximitzar el benefici? Quin obstacle podria impedir-ho?
2. b) Planteja el sistema de restriccions, representa la regió factible i troba les coordenades de tots els seus vèrtexs.
3. c) Determina quantes garrafes de cada tipus s'han d'omplir per fer màxim el benefici i calcula aquest valor.
4. d) Comprova la teva estimació inicial: ha resultat ser l'opció purament intuïtiva la guanyadora? Explica quina restricció ha actuat com a factor limitant decisiu.

Un taller tèxtil fabrica motxilles urbanes ($x$) i motxilles de muntanya ($y$). La taula resumeix els minuts que cada model necessita a cada secció i els minuts disponibles al dia:

El benefici és de $12\ \text{€}$ per motxilla urbana i de $15\ \text{€}$ per motxilla de muntanya.

• a) Planteja el sistema de restriccions.

• b) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• c) Determina la producció diària que maximitza el benefici i el seu valor.

Un nutricionista esportiu combina barretes energètiques ($x$) i batuts ($y$) per a la dieta d'un ciclista. La pauta exigeix un mínim de $60$ unitats de carbohidrats (cada barreta n'aporta $4$ i cada batut, $3$) i de $30$ unitats de proteïna (cada barreta n'aporta $3$ i cada batut, $1$). Cada barreta costa $3\ \text{€}$ i cada batut, $2\ \text{€}$.

• a) Planteja el sistema de restriccions i representa la regió factible.

• b) Troba els seus vèrtexs.

• c) Calcula la combinació setmanal de cost mínim que compleix la pauta.

Una botiga de barri organitza els seus torns de dissabte: $x$ empleats al matí i $y$ a la tarda. Necessita almenys $4$ empleats al matí i $3$ a la tarda; el conveni no permet més de $12$ empleats en total, i el torn de tarda no pot tenir més del doble de persones que el de matí. La venda esperada per empleat és de $300\ \text{€}$ al matí i de $400\ \text{€}$ a la tarda.

• a) Planteja el sistema de restriccions.

• b) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• c) Determina la distribució de torns que maximitza la venda esperada.

Una fusteria de barri fabrica tamborets ($x$) i taules ($y$). Cada tamboret necessita $30$ minuts de tall i $60$ de poliment; cada taula, $60$ de tall i $30$ de poliment. La serra es pot utilitzar $10$ hores setmanals i la polidora, $11$ hores (escriu les restriccions com a $x + 2y \leq 20$ i $2x + y \leq 22$). El benefici és de $18\ \text{€}$ per tamboret i de $30\ \text{€}$ per taula.

• a) Planteja el sistema de restriccions.

• b) Representa la regió factible i troba els seus vèrtexs.

• c) Calcula la producció setmanal de benefici màxim.

• d) En la solució òptima, quina màquina es queda amb temps lliure? Calcula quant.

Una estudiant ha guanyat una beca de $3.000\ \text{€}$ i vol repartir-la entre un dipòsit segur ($x$ euros, al $4\ \%$ anual) i un fons amb un cert risc ($y$ euros, al $6\ \%$ anual). La seva família li aconsella que la quantitat del fons no superi la del dipòsit.

• a) Planteja el sistema de restriccions.

• b) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• c) Determina com ha de repartir els diners per maximitzar l'interès anual i calcula aquest interès.

Una cooperativa agrícola reparteix caixes de fruita amb furgonetes petites ($x$, de $40$ caixes) i grans ($y$, de $60$ caixes). Ha de repartir almenys $480$ caixes diàries; a la nau només hi caben $10$ vehicles carregant alhora, i per les rutes llargues es necessiten almenys $2$ furgonetes grans (utilitza les restriccions $2x + 3y \geq 24$, $x + y \leq 10$, $y \geq 2$). Cada furgoneta petita costa $25\ \text{€}$ al dia i cada gran, $40\ \text{€}$ (treballa amb $F(x, y) = 5x + 8y$).

• a) Representa la regió factible i troba els seus vèrtexs.

• b) Determina la flota diària de cost mínim i calcula aquest cost.

Una fruiteria compra taronges ($x$ kg) i pomes ($y$ kg). Pot emmagatzemar com a molt $400\ \text{kg}$ en total; el seu proveïdor li exigeix comprar almenys $100\ \text{kg}$ de taronges, i per espai a les cambres no pot comprar més de $250\ \text{kg}$ de taronges. El benefici és de $2\ \text{€}$ per kg de taronges i de $1,5\ \text{€}$ per kg de pomes. Un empleat planteja el problema escrivint $x + y \geq 400$ i $x \leq 100$.

• a) Troba els dos errors del plantejament de l'empleat i escriu el sistema correcte.

• b) Resol el problema correcte: quants kg de cada fruita maximitzen el benefici?

Un club de senderisme programa rutes curtes ($x$) i rutes llargues ($y$) cada mes. Cada ruta curta necessita $1$ guia i $2$ hores de furgoneta; cada ruta llarga, $2$ guies i $3$ hores de furgoneta. El club disposa de $10$ guies i de $18$ hores mensuals de furgoneta. Cada ruta curta deixa uns ingressos nets de $150\ \text{€}$ i cada llarga, de $240\ \text{€}$ (utilitza $F(x, y) = 5x + 8y$).

• a) Planteja el sistema de restriccions.

• b) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• c) Determina la programació mensual d'ingressos màxims i calcula aquests ingressos.

Una empresa de transport de Saragossa ha de traslladar $480$ persones a un esdeveniment esportiu. Per a fer-ho disposa de dos tipus de vehicles: autocars estàndard (tipus A), amb capacitat per a $60$ places i un cost de $450\ \text{€}$ per viatge; i microbusos (tipus B), amb capacitat per a $40$ places i un cost de $250\ \text{€}$ per viatge. La flota disponible per a aquell dia és d'un màxim de $8$ autocars tipus A i $9$ microbusos tipus B. A més, per reduir emissions al centre urbà, la normativa exigeix que el nombre de microbusos sigui almenys la meitat que el d'autocars estàndard.

1. a) Modela el problema mitjançant programació lineal: defineix clarament les variables de decisió, escriu el sistema d'inequacions que delimita les restriccions i expressa la funció de cost total que es vol minimitzar.
2. b) Dibuixa la regió factible en el pla cartesià i calcula analíticament les coordenades de tots els seus vèrtexs.
3. c) Determina quants vehicles de cada tipus s'han d'assignar perquè el cost sigui mínim garantint plaça a tots els assistents. Sobra cap plaça en els vehicles contractats?
4. d) Interpreta el resultat des del punt de vista econòmic: el cost per seient a l'autocar gran és de $450/60 = 7,50\ \text{€}$ i al microbús és de $250/40 = 6,25\ \text{€}$. Explica per què no es cobreix tot el servei únicament amb microbusos.

Una cooperativa agrícola del Campo de Cartagena disposa de $60$ hectàrees de regadiu per sembrar dos cultius d'hivern: bròcoli ($x$, en hectàrees) i carxofa ($y$, en hectàrees). Disposa d'un total de $160$ hores setmanals de maquinària pesant; cada hectàrea de bròcoli consumeix $2$ hores i cada hectàrea de carxofa consumeix $4$ hores. Per complir els compromisos adquirits amb les cadenes de distribució, és obligatori cultivar almenys $10$ hectàrees de carxofa.

El benefici per hectàrea de bròcoli és fix i ascendeix a $1.200\ \text{€}$, mentre que el benefici per hectàrea de carxofa depèn de la cotització setmanal a la llotja i es denota pel paràmetre $k$ (en euros per hectàrea), de manera que la funció de benefici és $B(x,y) = 1.200x + ky$.

1. a) Representa la regió factible del problema i calcula les coordenades de tots els seus vèrtexs.
2. b) Si l'equip tècnic constata que la solució òptima que maximitza els ingressos de la cooperativa va ser plantar exactament $40$ hectàrees de bròcoli i $20$ hectàrees de carxofa, dedueix algebraicament entre quins valors va oscil·lar la cotització $k$ de la carxofa.
3. c) Quin significat pràctic té el valor extrem $k = 1.200\ \text{€}$? Què passa amb la solució òptima del problema per a aquest valor concret?

(Model d'examen.) Una empresa envasa suc natural ($x$ litres) i suc de concentrat ($y$ litres). Cada litre de natural necessita $3$ kg de taronja, $1$ kg de mango i $2$ minuts de línia d'envasament; cada litre de concentrat, $2$ kg de taronja, $2$ kg de mango i $2$ minuts de línia. Diàriament es disposa de $120$ kg de taronja, $50$ kg de mango i $70$ minuts de línia (restriccions: $3x + 2y \leq 120$, $x + 2y \leq 50$, $x + y \leq 35$). El benefici és de $4\ \text{€}$ per litre de natural i de $5\ \text{€}$ per litre de concentrat.

• a) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• b) Determina la producció diària de benefici màxim.

• c) En la producció òptima, sobra algun recurs? Calcula quina quantitat sobra de cadascun.

Un petit taller produeix dos articles amb les restriccions $2x + y \leq 40$, $x + 2y \leq 40$, $x \geq 0$, $y \geq 0$. El segon article deixa un benefici fix de $10\ \text{€}$ per unitat, però el primer depèn del preu de mercat: $p$ euros per unitat, amb $p > 0$. La funció objectiu és $F(x, y) = px + 10y$.

• a) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• b) Demostra que si $p < 5$ el millor és fabricar només el segon article.

• c) Demostra que si $p > 20$ el millor és fabricar només el primer.

• d) Quina producció maximitza el benefici quan $5 < p < 20$? I què passa exactament a $p = 5$ i a $p = 20$?

Es vol preparar un aliment per a aus barrejant dos pinsos, A ($x$ kg) i B ($y$ kg). La barreja ha de contenir almenys $24$ unitats del nutrient N1 (A n'aporta $2$, B n'aporta $1$), almenys $18$ del nutrient N2 (A n'aporta $1$, B n'aporta $2$) i almenys $10$ del nutrient N3 (tots dos n'aporten $1$). El pinso A costa $1,2\ \text{€}$ per kg i el B, $0,8\ \text{€}$ per kg.

• a) Planteja el sistema de restriccions i comprova que la regió factible no és acotada.

• b) Troba els seus vèrtexs (compte: no totes les interseccions de rectes frontera són vèrtexs de la regió).

• c) Determina la barreja de cost mínim i calcula aquest cost.

• d) Raona per què en aquest problema té sentit parlar de mínim encara que la regió no sigui acotada.

Una impressora 3D produeix figures d'escacs ($x$) i testos ($y$) amb les restriccions $3x + 2y \leq 36$ (grams de filament, en desenes), $x + y \leq 15$ (hores d'impressió disponibles, en mitges hores) i $x \geq 0$, $y \geq 0$. El benefici és de $6\ \text{€}$ per figura i de $4\ \text{€}$ per test.

• a) Troba els vèrtexs de la regió factible i avalua el benefici en aquests.

• b) Demostra que hi ha infinites produccions que donen el benefici màxim i identifica el segment de solucions.

• c) Dona tres produccions òptimes de coordenades enteres.

• d) Explica quina relació hi ha entre la funció objectiu i la restricció del filament que causa aquest fenomen.

Un concert benèfic ven entrades generals ($x$, a $12\ \text{€}$) i entrades prèmium ($y$, a $25\ \text{€}$), amb les condicions que es resumeixen a la figura.

El recinte té un aforament màxim de $500$ persones; la zona prèmium només admet $200$ persones, i l'organització s'ha compromès a posar a la venda almenys $100$ entrades generals.

• a) Planteja el sistema de restriccions.

• b) Representa la regió factible i troba els seus vèrtexs.

• c) Calcula la combinació d'entrades que maximitza la recaptació i el seu import.

• d) Si l'ajuntament amplia l'aforament a $550$ persones, quant augmenta la recaptació màxima? Resol-ho i explica per què l'augment no és proporcional al nou aforament.

Un club esportiu encarrega a un taller samarretes normals ($x$) i samarretes tècniques ($y$). El taller disposa de $40$ hores de confecció (cada samarreta requereix $1$ hora: $x + y \leq 40$) i de $60$ metres de teixit (les normals gasten $2$ metres i les tècniques, $1$: $2x + y \leq 60$). Per acord amb el club, les samarretes tècniques no poden superar el $60\ \%$ del total produït.

• a) Expressa la condició del percentatge com una inequació lineal en $x$ i $y$.

• b) Troba els vèrtexs de la regió factible.

• c) Si cada samarreta normal deixa $10\ \text{€}$ de benefici i cada tècnica, $8\ \text{€}$, determina la producció de benefici màxim.

• d) Està activa (es compleix amb igualtat) la restricció del percentatge en la solució òptima? Interpreta-ho.

Un ajuntament vol plantar almenys $100$ arbres d'ombra ($x$) i $80$ arbres de flor ($y$) en un parc. Cada arbre d'ombra costa $80\ \text{€}$ i cadascun de flor, $40\ \text{€}$, i la partida pressupostària és de $6.000\ \text{€}$ (restricció $2x + y \leq 150$).

• a) Planteja el sistema complet i demostra que la regió factible és buida.

• b) Calcula el pressupost mínim que fa el problema factible mantenint les altres dades, i comprova que amb aquest pressupost la regió factible consta d'un únic punt.

• c) Amb un pressupost de $12.000\ \text{€}$, troba els vèrtexs de la regió i determina la plantació que maximitza el nombre total d'arbres.

Una AMPA organitza el viatge d'estudis i negocia amb una empresa d'autocars: autocars grans ($x$, de $55$ places, a $400\ \text{€}$) i petits ($y$, de $35$ places, a $300\ \text{€}$). Han de viatjar almenys $385$ persones i l'empresa només té $5$ autocars grans disponibles.

• a) Planteja el sistema de restriccions (simplifica la de places a $11x + 7y \geq 77$).

• b) Resol el problema com si les variables fossin contínues: troba els vèrtexs i el cost mínim teòric.

• c) Com que els autocars han de ser enters, busca la millor solució entera i calcula el sobrecost respecte de l'òptim continu.

• d) Explica per què la millor solució entera no s'obté simplement arrodonint el vèrtex òptim continu.

Una planta gallega de tractament d'aigües residuals utilitza dos agents biodegradables, X ($x$, en kg) i Y ($y$, en kg), per neutralitzar abocaments químics. Els requeriments mediambientals exigeixen verificar simultàniament:

Es plantegen dos estudis independents:

• Estudi 1: Minimitzar el cost del tractament, donat per $C(x,y) = 30x + 20y$ (en euros).

• Estudi 2: Maximitzar l'índex de regeneració bacteriana, estimat en $R(x,y) = 4x + 5y$ punts.

En resoldre l'exercici, dos estudiants discrepen sobre el mètode a emprar:

• Lucía afirma: «El mètode d'avaluar tots els vèrtexs és universal; n'hi ha prou amb trobar els vèrtexs, substituir-los i el valor més gran serà sempre el màxim i el més petit el mínim».

• David respon: «En aquest problema, el mètode d'avaluar només els vèrtexs pot conduir a una conclusió matemàticament falsa; és imprescindible representar la regió i recolzar-se en el mètode de les rectes de nivell i el seu vector director».

1. a) Dibuixa la regió factible, calcula els seus vèrtexs i classifica-la raonadament en fitada o no fitada.
2. b) Analitza qui té raó en l'Estudi 1 (minimitzar cost): aplica el mètode dels vèrtexs i justifica per què en aquest cas sí que és legítim assegurar que s'ha trobat el mínim absolut.
3. c) Analitza la discussió en l'Estudi 2 (maximitzar regeneració): demostra l'error que cometria Lucía si apliqués el seu criteri i utilitza les rectes de nivell per justificar quina és la resposta correcta sobre l'existència de màxim.
4. d) Sintetitza: formula un criteri general que permeti a un alumne de Batxillerat decidir quan és suficient avaluar vèrtexs i quan és obligatori recórrer a les rectes de nivell.

Durant la campanya de vacunació estacional en una àrea sanitària d'Andalusia, es dissenyen dues modalitats d'equips mòbils: Equip Ràpid ($x$) i Equip Complet ($y$).

• Recursos disponibles per jornada: $60$ professionals d'infermeria i $120$ hores de vehicles assistencials.

• Requeriments per equip: cada Equip Ràpid necessita $1$ infermer/a i $3$ hores de vehicle; cada Equip Complet necessita $2$ infermers/es i $2$ hores de vehicle.

• Requisits assistencials: per cobertura mínima en zones rurals aïllades, han de funcionar almenys $10$ Equips Ràpids i almenys $5$ Equips Complets. Així mateix, per evitar descompensacions en la qualitat assistencial, el nombre d'Equips Ràpids no pot superar el triple del nombre d'Equips Complets, i el d'Equips Complets no pot superar el de Ràpids.

• Rendiment: cada Equip Ràpid administra $80$ vacunes al dia i cada Equip Complet administra $110$ vacunes al dia.

1. a) Escriu el sistema complet d'inequacions lineals i determina les coordenades de tots els vèrtexs de la regió factible.
2. b) Troba quants equips de cada tipus s'han de desplegar diàriament per maximitzar el nombre total de vacunes administrades i calcula aquest valor màxim.
3. c) Anàlisi de sensibilitat i coll d'ampolla: la delegació de salut disposa d'un pressupost extraordinari i ha de triar únicament entre dues millores per a la fase següent:

• Opció 1: Contractar $10$ hores addicionals de vehicles (passant de $120$ a $130$ hores).

• Opció 2: Incorporar $4$ infermers/es addicionals (passant de $60$ a $64$ professionals).

Sense necessitat de dibuixar de nou la regió completa, calcula el nou òptim per a cadascuna de les dues opcions i raona quin dels dos recursos aporta més rendiment marginal per unitat afegida.

Repte del tema. Imagina que gestiones la parada de berenars del viatge de final de curs. El teu objectiu és determinar quants lots de dos tipus ($x$ i $y$) has de preparar per maximitzar el benefici net.

1. Fase 1: Recollida de dades. Consulta el web d'un supermercat del teu barri i anota el preu real de dos ingredients base (per exemple, fruita i fruits secs). Dissenya dos lots diferents amb aquests ingredients i calcula el cost unitari de cadascun.

2. Fase 2: Plantejament del model. Fixa un pressupost màxim disponible de $60$ € i un pes màxim transportable de $12,5$ kg. Formula la funció objectiu $F(x, y)$ del benefici i el sistema d'inequacions lineals que reculli les restriccions de cost, pes i existències no negatives ($x \ge 0$, $y \ge 0$).

3. Fase 3: Resolució gràfica amb GeoGebra. Introdueix les inequacions per delimitar la regió factible, calcula les coordenades exactes dels seus vèrtexs i avalua la funció objectiu en cadascun d'ells.

4. Fase 4: Proposta raonada. Redacta un informe executiu breu (una pàgina) que inclogui la taula de vèrtexs, la gràfica exportada i la teva recomanació final justificada sobre el repartiment òptim.

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de dades reals i formulació del sistema d'inequacions.

• Destresa en l'ús de GeoGebra per representar la regió factible i identificar vèrtexs.

• Aplicació correcta del teorema fonamental de la programació lineal i interpretació de la solució.

• Claredat expositiva i presentació de la proposta final.