Problemas de optimización con programación lineal
Un taller fabrica dos modelos de mochila con los mismos dos operarios y las mismas horas de taller. ¿Cuántas mochilas de cada modelo conviene fabricar para ganar lo máximo posible? Esta pregunta —repartir unos recursos limitados entre dos actividades para maximizar un beneficio o minimizar un coste— es un problema de programación lineal. Ya sabes plantear restricciones, dibujar la región factible y encontrar sus vértices; en este apartado juntas todo eso con la función objetivo, la cantidad que quieres maximizar o minimizar, para resolver el problema completo de principio a fin.
Las piezas de un problema de programación lineal
El obrador del comedor escolar prepara bizcochos ($x$) y magdalenas ($y$) para la semana cultural, con los datos que se resumen en la figura. Dispone de $40$ huevos y de…
El obrador del comedor escolar prepara bizcochos ($x$) y magdalenas ($y$) para la semana cultural, con los datos que se resumen en la figura.
Dispone de $40$ huevos y de $25$ moldes de horneado: cada bizcocho usa $2$ huevos y cada magdalena, $1$, y cada pieza necesita un molde. El beneficio es de $1\ \text{€}$ por bizcocho y de $0,75\ \text{€}$ por magdalena (trabaja con la función objetivo en céntimos de euro, $F(x, y) = 100x + 75y$).
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a) Plantea el sistema de restricciones.
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b) Halla los vértices de la región factible.
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c) Determina cuántas piezas de cada tipo maximizan el beneficio y calcula dicho beneficio.
Método completo: de la tabla de datos a la solución
Un taller textil fabrica mochilas urbanas ($x$) y mochilas de montaña ($y$). La tabla resume los minutos que cada modelo necesita en cada sección y los minutos…
Un taller textil fabrica mochilas urbanas ($x$) y mochilas de montaña ($y$). La tabla resume los minutos que cada modelo necesita en cada sección y los minutos disponibles al día:
| Sección | Urbana | Montaña | Disponible |
|---|---|---|---|
| Corte | $2$ | $3$ | $240$ |
| Costura | $3$ | $2$ | $210$ |
El beneficio es de $12\ \text{€}$ por mochila urbana y de $15\ \text{€}$ por mochila de montaña.
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a) Plantea el sistema de restricciones.
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b) Halla los vértices de la región factible.
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c) Determina la producción diaria que maximiza el beneficio y su valor.
Una escuela de danza abre dos niveles nuevos: iniciación ($x$ grupos) y avanzado ($y$ grupos). Solo dispone de $8$ franjas horarias semanales, y cada grupo de iniciación…
Una escuela de danza abre dos niveles nuevos: iniciación ($x$ grupos) y avanzado ($y$ grupos). Solo dispone de $8$ franjas horarias semanales, y cada grupo de iniciación tiene $14$ alumnos y cada grupo avanzado, $10$, con un máximo de $100$ alumnos en total. La cuota mensual es de $50\ \text{€}$ en iniciación y de $40\ \text{€}$ en avanzado.
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a) Plantea las restricciones.
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b) Determina cuántos grupos de cada nivel maximizan los ingresos mensuales y calcula el ingreso máximo.
Maximizar beneficio o ingresos
Los problemas de maximizar suelen venir de una empresa con recursos limitados (materia prima, horas de trabajo, espacio) que quiere sacar el mayor partido económico posible.
(Modelo de examen.)* Una empresa envasa zumo natural ($x$ litros) y zumo de concentrado ($y$ litros). Cada litro de natural necesita $3$ kg de naranja, $1$ kg de mango y…
(Modelo de examen.) Una empresa envasa zumo natural ($x$ litros) y zumo de concentrado ($y$ litros). Cada litro de natural necesita $3$ kg de naranja, $1$ kg de mango y $2$ minutos de línea de envasado; cada litro de concentrado, $2$ kg de naranja, $2$ kg de mango y $2$ minutos de línea. Diariamente se dispone de $120$ kg de naranja, $50$ kg de mango y $70$ minutos de línea (restricciones: $3x + 2y \leq 120$, $x + 2y \leq 50$, $x + y \leq 35$). El beneficio es de $4\ \text{€}$ por litro de natural y de $5\ \text{€}$ por litro de concentrado.
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a) Halla los vértices de la región factible.
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b) Determina la producción diaria de beneficio máximo.
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c) En la producción óptima, ¿sobra algún recurso? Calcula qué cantidad sobra de cada uno.
En un huerto urbano compartido se van a plantar tomateras ($x$) y lechugas ($y$), con los datos que se resumen en la figura. Cada tomatera ocupa $1\ \text{m}^2$ y cada…
En un huerto urbano compartido se van a plantar tomateras ($x$) y lechugas ($y$), con los datos que se resumen en la figura.
Cada tomatera ocupa $1\ \text{m}^2$ y cada lechuga, $0,5\ \text{m}^2$, y hay $12\ \text{m}^2$ disponibles (escribe la restricción como $2x + y \leq 24$). El riego semanal es de $3$ litros por tomatera y $1$ litro por lechuga, con un máximo de $30$ litros. Se estima un valor de cosecha de $5\ \text{€}$ por tomatera y de $2\ \text{€}$ por lechuga.
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a) Plantea el sistema de restricciones.
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b) Calcula los vértices de la región factible.
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c) Halla la plantación que maximiza el valor de la cosecha.
Minimizar coste
En los problemas de minimizar, las restricciones suelen ser de tipo $\geq$ (mínimos que hay que cubrir: nutrientes, plazas, horas de atención), y buscas el vértice de menor coste, no de mayor. La región, al tener restricciones $\geq$, suele ser no acotada hacia arriba, pero eso no impide que exista un mínimo.
Un nutricionista deportivo combina barritas energéticas ($x$) y batidos ($y$) para la dieta de un ciclista. La pauta exige un mínimo de $60$ unidades de carbohidratos…
Un nutricionista deportivo combina barritas energéticas ($x$) y batidos ($y$) para la dieta de un ciclista. La pauta exige un mínimo de $60$ unidades de carbohidratos (cada barrita aporta $4$ y cada batido, $3$) y de $30$ unidades de proteína (cada barrita aporta $3$ y cada batido, $1$). Cada barrita cuesta $3\ \text{€}$ y cada batido, $2\ \text{€}$.
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a) Plantea el sistema de restricciones y representa la región factible.
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b) Halla sus vértices.
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c) Calcula la combinación semanal de coste mínimo que cumple la pauta.
Un colegio organiza la excursión de fin de curso y contrata furgonetas de $9$ plazas ($x$) y minibuses de $18$ plazas ($y$). Deben transportarse al menos $180$ alumnos y…
Un colegio organiza la excursión de fin de curso y contrata furgonetas de $9$ plazas ($x$) y minibuses de $18$ plazas ($y$). Deben transportarse al menos $180$ alumnos y la empresa solo dispone de $14$ vehículos en total. Cada furgoneta cuesta $60\ \text{€}$ y cada minibus, $150\ \text{€}$.
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a) Plantea el sistema de restricciones.
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b) Halla los vértices de la región factible.
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c) Determina cuántos vehículos de cada tipo minimizan el coste y calcula ese coste mínimo.
Restricciones menos evidentes
Algunos enunciados esconden una restricción dentro de una frase que no es una simple suma o un simple mínimo: proporciones ("el doble de", "no más del triple de") o relaciones entre las dos variables. Hay que traducirlas con cuidado antes de seguir.
Una tienda de barrio organiza sus turnos de sábado: $x$ empleados por la mañana e $y$ por la tarde. Necesita al menos $4$ empleados por la mañana y $3$ por la tarde; el…
Una tienda de barrio organiza sus turnos de sábado: $x$ empleados por la mañana e $y$ por la tarde. Necesita al menos $4$ empleados por la mañana y $3$ por la tarde; el convenio no permite más de $12$ empleados en total, y el turno de tarde no puede tener más del doble de personas que el de mañana. La venta esperada por empleado es de $300\ \text{€}$ por la mañana y de $400\ \text{€}$ por la tarde.
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a) Plantea el sistema de restricciones.
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b) Halla los vértices de la región factible.
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c) Determina la distribución de turnos que maximiza la venta esperada.
Laboratorio: optimización digital y sensibilidad
Una cooperativa produce cantidades divisibles x e y de dos mezclas. Tiene restricciones $x,y\ge0$, $x+y\le5$ y $2x+y\le8$; el margen es $F=3x+2y$. Dibuja las cuatro inecuaciones en una herramienta gráfica. En una hoja con optimizador lineal, reserva dos celdas para x e y, una tercera para =3*x+2*y (sustituye x e y por sus referencias) y otras para las restricciones. Maximiza F seleccionando un método lineal y las cuatro restricciones. Predice primero el vértice ganador.
El esquema muestra la recta de nivel que toca el polígono en el óptimo:
Cambia el coeficiente 3 de x por c. Con $c=1$ el óptimo es $(0,5)$; con $c=2$ todo el lado de $(0,5)$ a $(3,2)$ es óptimo; con $c=5$ lo es $(4,0)$. Conjetura los umbrales y demuéstralos comparando valores en los vértices; comprueba también c=4. Entrega tabla, gráfico, salida y prueba.
Algoritmo alternativo: enumera pares de fronteras, resuelve cada sistema si su determinante no es cero, descarta cruces que incumplan restricciones y evalúa F en los restantes. Modifícalo para conservar todos los empates y prueba una región vacía. Este algoritmo de vértices solo resuelve por sí solo el caso acotado no vacío; en regiones no acotadas hay que estudiar direcciones de crecimiento. Si las cantidades deben ser enteras, añade esa condición: redondear una solución continua puede incumplir restricciones o perder el óptimo.