Integrales semi inmediatas
$\displaystyle\int (3x-4)^5\,dx$ no está literalmente en la tabla, pero se le parece mucho: es una potencia, solo que elevada no a $x$ sino a $3x-4$. Estas integrales se llaman semi inmediatas: con un pequeño ajuste de constantes, se resuelven con la misma tabla de antes.
Argumento lineal: cuando dentro hay $ax+b$
Calcula la siguiente integral indefinida de una función potencial compuesta, realizando el ajuste de la constante necesaria para que el integrando coincida con la…
Calcula la siguiente integral indefinida de una función potencial compuesta, realizando el ajuste de la constante necesaria para que el integrando coincida con la derivada de la función interna:
$$\int (3x - 4)^5 \, dx$$Halla la primitiva de la función exponencial cuya derivada requiere un pequeño ajuste numérico en el coeficiente: $$\int e^{2x + 3} \, dx$$
Halla la primitiva de la función exponencial cuya derivada requiere un pequeño ajuste numérico en el coeficiente:
$$\int e^{2x + 3} \, dx$$Un creador de contenido ha analizado que la tasa de crecimiento de sus seguidores en una red social sigue una función marginal dada por $f'(x) = (2x + 5)^3$, donde $x$…
Un creador de contenido ha analizado que la tasa de crecimiento de sus seguidores en una red social sigue una función marginal dada por $f'(x) = (2x + 5)^3$, donde $x$ representa el tiempo en meses. Calcula la familia de funciones primitivas $F(x)$ que describen el número total de seguidores.
Tipo logarítmico: cuando el numerador es (casi) la derivada del denominador
Determina la integral indefinida de la siguiente función racional. Observa que el numerador es casi la derivada del denominador, por lo que se trata de una integral de…
Determina la integral indefinida de la siguiente función racional. Observa que el numerador es casi la derivada del denominador, por lo que se trata de una integral de tipo logarítmico:
$$\int \frac{1}{5x - 2} \, dx$$En el estudio de una campaña publicitaria en redes sociales, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los seguidores de una cuenta viene dado por la función…
En el estudio de una campaña publicitaria en redes sociales, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los seguidores de una cuenta viene dado por la función $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$. Calcula la función de seguidores totales $f(x)$ sabiendo que es una integral de tipo logarítmico:
$$\int \frac{x}{x^2 + 9} \, dx$$Una empresa de mensajería determina que el coste marginal de enviar un paquete a una distancia $x$ (en cientos de kilómetros) viene dado por la función…
Una empresa de mensajería determina que el coste marginal de enviar un paquete a una distancia $x$ (en cientos de kilómetros) viene dado por la función $C'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 4}$. Determina la función de coste total $C(x)$, sabiendo que existen unos costes fijos de gestión (cuando $x=0$) de $10$ euros.
Tipo potencial y exponencial: $u^n\cdot u'$ y $e^u\cdot u'$
La velocidad de carga de una batería de grafeno en un laboratorio se comporta según la función $v(t) = t \cdot e^{t^2}$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Calcula la…
La velocidad de carga de una batería de grafeno en un laboratorio se comporta según la función $v(t) = t \cdot e^{t^2}$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Calcula la función que representa la energía total acumulada $E(t)$, teniendo en cuenta que en el instante inicial $t = 0$, la energía acumulada es de $5$ unidades.
Resuelve la siguiente integral indefinida identificando la estructura de la derivada de una función compuesta (tipo potencia): $$\int (x^2 + 1) \cdot (x^3 + 3x - 2)^4…
Resuelve la siguiente integral indefinida identificando la estructura de la derivada de una función compuesta (tipo potencia):
$$\int (x^2 + 1) \cdot (x^3 + 3x - 2)^4 dx$$En un laboratorio de biología, se estudia la propagación de una bacteria. La tasa de variación de la población $P(t)$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue la ley:…
En un laboratorio de biología, se estudia la propagación de una bacteria. La tasa de variación de la población $P(t)$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue la ley:
$$P'(t) = \frac{10t^2}{(t^3 + 8)^2}$$Si inicialmente ($t=0$) hay $1.000$ bacterias, determina la población de bacterias al cabo de $2$ horas.
Reconocer el patrón antes de operar
Antes de ponerte a calcular, mira la función e identifica: ¿qué parte hace de $u(x)$ (lo que va elevado, en el exponente, bajo la raíz o en el denominador) y qué parte hace de $u'(x)$ (lo que la acompaña)? Si encajan salvo una constante, es semi inmediata.
Dada la función $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$, se pide: 1. Hallar su primitiva general $F(x)$. 2. Determinar el valor de la constante $C$ para que la primitiva cumpla que…
Dada la función $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$, se pide:
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Hallar su primitiva general $F(x)$.
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Determinar el valor de la constante $C$ para que la primitiva cumpla que $F(0) = \ln(2) + 3$.
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^6}}$ que pasa por el origen de coordenadas. Pista: Intenta relacionar el exponente del numerador con el…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^6}}$ que pasa por el origen de coordenadas. Pista: Intenta relacionar el exponente del numerador con el del denominador para identificar una estructura de tipo arcoseno.