Exercicis: Integrals semiimmediates

Calcula la següent integral indefinida d'una funció potencial composta, realitzant l'ajust de la constant necessària perquè l'integrand coincideixi amb la derivada de la funció interna:

Troba la primitiva de la funció exponencial la derivada de la qual requereix un petit ajust numèric en el coeficient:

Determina la integral indefinida de la següent funció racional. Observa que el numerador és gairebé la derivada del denominador, per la qual cosa es tracta d'una integral de tipus logarítmic:

Calcula la integral de la funció trigonomètrica següent. Recorda que en integrar $\cos(f(x))$, has de tenir present la derivada de l'argument $f'(x)$:

Resol la integral de la funció arrel següent. Per facilitar el càlcul, expressa-la primer com una potència d'exponent fraccionari:

En l'estudi d'una campanya publicitària a les xarxes socials, s'ha determinat que el ritme de creixement dels seguidors d'un compte, $x$ dies després de començar la campanya, ve donat per la funció $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 9}$, amb $x \geq 0$.

Calcula l'expressió general de la funció de seguidors totals $f(x)$, sabent que es tracta d'una integral de tipus logarítmic:

Calcula la integral de la funció potencial següent multiplicada per una constant. Assegura't d'identificar correctament la derivada de la base per ajustar el coeficient:

Una empresa de missatgeria ha calculat que el seu cost marginal (el cost d'enviar un paquet addicional) segueix la funció $C'(x) = 6 \cdot e^{3x}$. Troba l'expressió de la funció de cost total $C(x)$ mitjançant el càlcul de la seva integral indefinida:

En una prova escrita, l'Elena havia de calcular la següent integral indefinida:

El seu desenvolupament va ser el següent:

1. a) Deriva la funció $F(x) = 5 \ln|3x + 2|$ obtinguda per l'Elena i comprova si coincideix amb l'integrand inicial. Explica amb les teves paraules quin factor numèric va oblidar incloure i per què la regla de la cadena obliga a dividir entre 3 en integrar expressions amb argument lineal $ax+b$.
2. b) Escriu la resolució correcta pas a pas i determina la primitiva específica $G(x)$ la gràfica de la qual passa pel punt $(0, 2)$.

Et demanen calcular la integral indefinida:

1. a) Mètode 1: Desenvolupa prèviament el quadrat del binomi i integra el polinomi resultant terme a terme.
2. b) Mètode 2: Resol-la directament com una integral quasi immediata de tipus potencial $\int [u(x)]^n \cdot u'(x) \, dx$, ajustant la constant necessària perquè aparegui la derivada de l'argument interior.
3. c) Desenvolupa algebraicament l'expressió obtinguda en el Mètode 2 i explica per què totes dues solucions són correctes i equivalents malgrat que difereixen en el terme constant numèric. Quin dels dos mètodes triaries si l'enunciat demanés calcular $\int (4x - 1)^6 \, dx$? Justifica la teva elecció.

Un creador de contingut ha analitzat que la taxa de creixement dels seus seguidors en una xarxa social segueix una funció marginal donada per $f'(x) = (2x + 5)^3$, on $x$ representa el temps en mesos. Calcula la família de funcions primitives $F(x)$ que descriuen el nombre total de seguidors.

Una empresa de missatgeria determina que el cost marginal d'enviar un paquet a una distància $x$ (en centenars de quilòmetres) ve donat per la funció $C'(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x + 4}$. Determina la funció de cost total $C(x)$, sabent que hi ha uns costos fixos de gestió (quan $x=0$) de $10$ euros.

La velocitat de càrrega d'una bateria de grafè en un laboratori es comporta segons la funció $v(t) = t \cdot e^{t^2}$, on $t$ és el temps en minuts. Calcula la funció que representa l'energia total acumulada $E(t)$, tenint en compte que en l'instant inicial $t = 0$, l'energia acumulada és de $5$ unitats.

Calcula la integral indefinida de la funció següent, aplicant la regla de les funcions de tipus logarítmic:

A la figura tens la gràfica de l'integrand $f(x)=\dfrac{\cos(x)}{2+\sin(x)}$.

Troba la primitiva de la funció $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ la gràfica de la qual passa pel punt $P(4, 10)$. Pista: Expressa l'arrel com una potència d'exponent negatiu per identificar la forma de la funció composta.

El departament de màrqueting d'una marca de sabatilles ha detectat que les vendes diàries $V(t)$ varien de forma estacional segons la derivada $V'(t) = 100 \cdot \cos(2t)$, on $t$ és el temps en dies des de l'inici de la campanya. Troba la funció de vendes totals $V(t)$ sabent que el primer dia ($t=0$) es van realitzar $500$ vendes.

Resol la següent integral indefinida identificant l'estructura de la derivada d'una funció composta (tipus potència):

Donada la funció $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$, es demana:

1. a) Trobar la seva primitiva general $F(x)$, escrita en la forma $F(x) = \ldots + C$, on $C$ és la constant d'integració.

1. b) Determinar el valor de la constant $C$ perquè la primitiva compleixi que $F(0) = \ln(2) + 3$.

Es considera la família de funcions racionals contínues dependents d'un paràmetre real $k \neq 0$:

1. a) Calcula la família general de primitives $F_k(x) = \int f_k(x) \, dx$, indicant per quina constant has de multiplicar i dividir per transformar-la en una integral de tipus logarítmic $\frac{u'(x)}{u(x)}$.
2. b) Determina els valors exactes de $k$ i de la constant d'integració $C$ sabent que la primitiva buscada compleix simultàniament dues condicions: la seva gràfica talla l'eix d'ordenades en $y = 1$ i a més passa pel punt $(4, 1 + \ln(5))$.
3. c) Amb la primitiva particular obtinguda a l'apartat anterior, raona si $F(x)$ té cap punt amb tangent horitzontal en el seu domini sense necessitat de tornar a aplicar regles de derivació des de zero.

En una explotació agrícola intensiva d'Almeria, el cabal instantani d'aigua demandat per un sistema de fertirrigació durant les primeres 4 hores de funcionament continu ve regulat per la funció marginal:

on $t$ representa el temps transcorregut en hores ($t \in [0, 4]$) i $c(t)$ s'expressa en metres cúbics per hora ($\text{m}^3/\text{h}$).

1. a) Abans de calcular la primitiva, realitza una estimació raonada del volum total d'aigua consumit en aquestes 4 hores: calcula el cabal a l'inici ($t=0$) i al final de l'interval ($t=4$), i utilitza aquests dos valors extrems per establir una cota inferior i una cota superior del consum total.
2. b) Modela la funció de volum acumulat d'aigua $V(t) = \int c(t) \, dt$ com una integral quasi immediata de tipus potencial compost amb argument lineal, sabent que en l'instant inicial encara no s'havia consumit aigua ($V(0) = 0$).
3. c) Calcula mitjançant $V(4)$ el volum exacte consumit al cap de les 4 hores i comprova si la teva estimació de l'apartat a) era coherent amb aquest valor real.

Calcula la primitiva de la funció $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^6}}$ que passa per l'origen de coordenades. A la figura tens la gràfica de $f$, que està definida a $(-1,\,1)$ i té asímptotes verticals en $x=-1$ i $x=1$. Pista: Intenta relacionar l'exponent del numerador amb el del denominador per identificar una estructura de tipus arcsinus.

Un nou videojoc de món obert consumeix dades mòbils segons un ritme de transferència donat per la funció $D'(t) = \frac{e^t}{1 + e^{2t}}$, on $t$ és el temps en hores i $D'(t)$ es mesura en gigabytes per hora (GB/h). Si en començar a jugar ($t=0$) el comptador de dades estava en $0,5$ GB, determina la funció $D(t)$ que permet calcular el consum total acumulat en qualsevol instant.

Determina la integral indefinida de la següent funció, realitzant els ajustos de constants necessaris perquè el numerador sigui la derivada exacta de la funció interna:

Un influencer analitza el ritme de creixement dels seus seguidors en una xarxa social. La velocitat de creixement ve donada per $S'(t) = \frac{300 \cdot \ln t}{t}$ seguidors per dia, on $t$ és el temps en dies transcorreguts des del llançament d'una campanya publicitària ($t \ge 1$). Sabent que en el moment inicial ($t=1$) comptava amb $5.000$ seguidors, troba l'expressió de la funció $S(t)$.

Troba totes les funcions primitives de la funció $f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 13}$.

Calcula la primitiva $F(x)$ de la funció $f(x) = \text{tg } x \cdot \sec^2 x$ que compleix la condició $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$. Quin valor prendria la funció a $x = 0$?

En un laboratori de biologia, s'estudia la propagació d'un bacteri. La taxa de variació de la població $P(t)$ en funció del temps $t$ (en hores) segueix la llei:

Si inicialment ($t=0$) hi ha $1.000$ bacteris, determina la població de bacteris al cap de $2$ hores.

Troba la funció $f(x)$ sabent que la seva derivada segona és $f''(x) = 12x^2 - 6x$ i que la recta tangent a la seva gràfica en el punt d'abscissa $x = 1$ és la recta $y = 4x - 2$.

Nota: Aquest exercici requereix integrar dues vegades de forma consecutiva funcions amb estructures de potències compostes.

Segons dades estadístiques de l'Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre incidències en el transport metropolità, la taxa a la qual es registren reclamacions d'usuaris (en centenars de persones per hora) durant una jornada laboral entre les 6:00 ($t=0$) i les 14:00 ($t=8$) ve descrita per la funció marginal:

on $t$ és el temps transcorregut en hores des de les 6:00.

1. a) Identifica l'estructura quasi immediata de l'integrand: expressa el numerador com a múltiple de la derivada del denominador, escriu l'ajust de la constant necessari i obtén la família de primitives $R(t) = \int r(t) \, dt$.
2. b) Determina la funció concreta $R(t)$ que expressa el nombre acumulat de reclamacions (en centenars) sabent que a les 6:00 del matí no es registrava cap reclamació acumulada ($R(0) = 0$).
3. c) Un portaveu de l'empresa de transport afirma públicament que abans de les 14:00 ($t=8$) no se superaran en cap cas les 1500 reclamacions. Modela i analitza analíticament si aquesta afirmació és园 vertadera o falsa. Si és falsa, calcula a quina hora exacta del dia (amb hores i minuts) es va assolir la reclamació número 1500.

En un examen, un estudiant proposa la següent resolució per a la integral indefinida $\int e^{-x^2} \, dx$:

«Com que la derivada de l'exponent és $(-x^2)' = -2x$, multiplico per $-2x$ a dins de la integral i compenso dividint entre $-2x$ a fora per tenir la derivada multiplicant:

1. a) Deriva la funció $F(x) = -\frac{1}{2x} e^{-x^2}$ obtinguda per l'estudiant aplicant la regla del producte o del quocient i demostra formalment que el resultat no coincideix amb la funció de l'integrand $e^{-x^2}$.
2. b) Explica l'error conceptual de fons: per què la propietat de linealitat $\int k \cdot f(x)\, dx = k \int f(x)\, dx$ només és aplicable quan $k$ és una constant real no nul·la i no permet extreure expressions que depenguin de la variable d'integració $x$?
3. c) Recolzant-te en la teva explicació anterior, analitza les següents tres integrals. Justifica amb rigor quines sí que són quasi immediates i resol-les ajustant la constant corresponent, i identifica quina és estructuralment impossible de resoldre com a quasi immediata: