Integración de fracciones racionales
Un coste marginal, un ritmo de contagio, una velocidad de crecimiento: muchos modelos económicos y sociales se escriben como un cociente de polinomios $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$. Ese cociente no está en la tabla de integrales inmediatas, así que el trabajo consiste en transformarlo en una suma de piezas que sí lo estén. Qué piezas salgan depende del grado de $P$ y de las raíces de $Q$.
División previa: cuando el numerador no es "más pequeño"
Antes de descomponer nada, mira los grados. Si el numerador tiene grado igual o mayor que el denominador, la fracción no es "propia" todavía.
Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, debemos realizar una división polinómica previa. Realiza la división y calcula la integral de la…
Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, debemos realizar una división polinómica previa. Realiza la división y calcula la integral de la siguiente función:
$$\int \frac{x + 5}{x + 2} dx$$Halla una función primitiva $F(x)$ de $f(x) = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 4}$ que cumpla la condición de que su gráfica pase por el punto $(3, \ln 5)$. Pista:…
Halla una función primitiva $F(x)$ de $f(x) = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 4}$ que cumpla la condición de que su gráfica pase por el punto $(3, \ln 5)$. Pista: Realiza primero la división polinómica.
El numerador es (casi) la derivada del denominador
Antes de lanzarte a descomponer en fracciones simples, comprueba siempre este caso particular: a veces el numerador ya es (o se parece mucho a) la derivada del denominador. Entonces toda la fracción se integra de golpe, sin buscar raíces.
Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}$. Pista: Observa si el numerador es la derivada del denominador.
Calcula la integral indefinida de la función $f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 7}$. Pista: Observa si el numerador es la derivada del denominador.
Calcula el valor de la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{e^{2x}}{e^x + 2} \, dx$ utilizando el cambio de variable $e^x = t$. Una vez realizado el…
Calcula el valor de la integral definida $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{e^{2x}}{e^x + 2} \, dx$ utilizando el cambio de variable $e^x = t$. Una vez realizado el cambio, resuelve la integral racional resultante.
Raíces reales simples: una fracción por cada raíz
Cuando el numerador no es la derivada del denominador, factoriza el denominador en raíces y plantea una fracción por cada una.
Las empresas usan constantemente la expresión "coste total a partir del coste marginal": si $C'(x)$ es racional, $C(x)$ sale integrando.
Para resolver integrales racionales por el método de descomposición en fracciones simples, primero debemos descomponer el denominador. Calcula la siguiente integral…
Para resolver integrales racionales por el método de descomposición en fracciones simples, primero debemos descomponer el denominador. Calcula la siguiente integral sabiendo que el denominador ya está factorizado:
$$\int \frac{1}{(x - 2)(x - 5)} dx$$Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional descomponiéndola previamente en fracciones simples: $$\int \frac{5x - 7}{x^2 - 5x + 6} dx$$ Para…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional descomponiéndola previamente en fracciones simples:
$$\int \frac{5x - 7}{x^2 - 5x + 6} dx$$Para resolverlo, identifica primero las raíces del denominador y descompón el integrando en la forma $\frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}$.
Determina los valores de los parámetros reales $A$ y $B$ para que se verifique la siguiente igualdad de descomposición en fracciones simples: $$\frac{x + 11}{x^2 - 2x -…
Determina los valores de los parámetros reales $A$ y $B$ para que se verifique la siguiente igualdad de descomposición en fracciones simples:
$$\frac{x + 11}{x^2 - 2x - 15} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 3}$$Una vez hallados, calcula la integral indefinida de la función original.
Raíces reales múltiples
Si una raíz se repite, hace falta una fracción por cada potencia, no solo una.
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9}$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 4$ y $x = 6$.…
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 6x + 9}$, el eje de abscisas $OX$ y las rectas verticales $x = 4$ y $x = 6$.
Nota que el denominador presenta una raíz real doble. Utiliza la descomposición adecuada para este caso.
Dada la función $f(x) = \dfrac{1}{x^3 - x}$, determina el área del recinto limitado por la curva, el eje de abscisas y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 3$. Presenta…
Dada la función $f(x) = \dfrac{1}{x^3 - x}$, determina el área del recinto limitado por la curva, el eje de abscisas y las rectas verticales $x = 2$ y $x = 3$. Presenta el resultado final utilizando un único logaritmo.
Determina los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la función $F(x) = A \cdot \ln|x+1| + B \cdot \ln|x-2| + \dfrac{C}{x-2}$ sea una primitiva de…
Determina los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que la función $F(x) = A \cdot \ln|x+1| + B \cdot \ln|x-2| + \dfrac{C}{x-2}$ sea una primitiva de $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 1}{(x+1)(x-2)^2}$.